大学生物理竞赛1(力学)汇总

质心系中质点 mi 的速度: vi vi vc
三、质心运动定律
质点系的动量为 P
P
N
pi
N
midri
N
d
i 1
mi ri
i 1
i1 dt
dt
d(mrc ) m drc
dt
dt
p mvc
N
rc
mi ri
i 1
m
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
p mvc
mvc
vc
rcw A
l 2
w
A
vc rc P
LB
1 24
m l2w0
LB IBwB
1 wB 8 w0
反向转了
Lc
③ 再次插入O孔前后
LO IOwB
w0
wB
1 8
w0
Lo Iowo
逆时针转
m,l
A
O
B
最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转角速度的大小
w0
1 8
w0
角速度的方向：垂直纸面向外。
物理竞赛辅导 力 学 (Ⅰ)
参考资料
1. 教材 2. 大学物理学 (5册) 张三慧主编
清华大学出版社 3. 历年考题
参赛组: 非物理类A 组
补充知 识 质心
质心 ( Center of Mass)
一、质心的位置
对于N个粒子组成的系统，定义系
统的质量中心，其位矢
NN
rc
mi ri
i 1 N
mi ri
NDt ·3R = I2 w2
②
I2
1 2
m2 R2
m2 (3R)2
19 2
m2 R2
57 4
m R2
O2Biblioteka 对于弹性碰撞有，1 2
I1w12
1 2
I
w2
22
1 2
I1w02
③
O1
R 2R
R N1
w0 R N N R
m1 w1
w2
整理方程组得到
– NDt =
9 4
m
R(w1
w0
)
①
3NDt
R
57 4
mR2w2
i 1
m
mi
z C rc
xO
i 1
mi ri
y
N
mi xi
xc
i 1
m
N
mi yi
yc
i 1
m
N
mi zi
zc
i 1
m
对连续分布的物体，质心的位矢为
rc
rdm m
xc
xdm m
yc
ydm m
zc
zdm m
dm dV dm dS dm dl
二、质心系
质心在其中静止的平动参照系。
ri ri rc
f
·
ij
· ·
·
·
· f ji· j rj
o
Min (ri fij )
Min 0
合外力矩
i
i j
d
M
i
Mi
i
ri Fi
( dt
i
Li )
M
dL
dt
合外力矩为零，质点系总角动量守恒。
Lo
i
rc
ri pi mi ri
i i
ri rc ri
miv(ircvrci)
对于质点系：
F
dP
dt
m dvc
dt
质心运动定理
F mac
补充知 识 角动量
质点系的角动量守恒定律
Mi
内力矩
ri
(Fi
i j
fij )
dLi dt
Fi
ri
fij
rj
f
ji
ri
f ij
rj
(
f ij
)
(ri rj ) fij 为零
·
ri
i
pi
LO Lc rc p
drc
P
0
dt
dLO dt
dLc dt
dp
rc dt
MO
z'
z x' C O' ri
ri
rc
mi
y'
O
y
x
dLO dt
dLc dt
rc
dp dt
MO
MO ri Fi
(ri
rc
)
Fi
z'
z
x' C O' ri
ri
rc
mi
y'
②
I1(w1 w0 )(w1 w0 ) I2w22
③
化简方程 9(w1 w0 ) 19w2 2(w1 w0 ) 3w2
w1
11 65
w0
w2
36 65
w0
解2 ：
对于m1， 利用动量定理。以向右为正
N1Dt – NDt=mw1·2R –mw0·2R=2mR(w1 –w0)
① 插入A孔前后
IA
IB
1 3
ml2
LA LA
LA Lc rc P
LA Lc Iow0
m,l
LA I AwA
A
O
B
LA Lc Iow0
wA
Io IA
w0
1 4 w0
LA I AwA
m,l
② 插入 B 孔前后
A
wB
O
rc
B
LB Lc rc P
LB
Iow A
l 2
今将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平 方向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍 如前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时， 将另一光滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细 杆AOB 绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。
解：
Io
1 12
m l2 ,
y
ri
Fi
rc
Fi
xO
r
Fi
rc
dp dt
Mc
质心系中： Mc
dLc
dt
dLc
dt
dp
rc dt
例：（ 18th, 9分 ）均匀细杆AOB 的A 端、B 端和中央位置O 处各有1个光滑的小孔。先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O
孔以角速度 w0 作顺时针方向旋转，如图（图平面为大桌面）。
O2
O1
R 2R
R N1
R N N R m2
m1 w1
w2
O1 R
w0
R m1
O2 R
2R
R m2
解1 ：
利用角动量方程，对于摆1 相对于O1 点(以垂直屏幕向外为正)
– NDt ·2R = I1 w1– I1 w0
①
I1
1 2
mR2
m(2R)2
9 2
mR2
摆2 相对于O2 点(以垂直屏幕向外为正)
N mi ri 0
i 1
N mi vi 0
i 1
N N
mi (ri rc ) miri ' 0
i 1
i 1
z'
z
x' C O' ri
ri
rc
mi
y'
O
y
x
质心系中
N mi vi 0
i 1
（零动量参照系）
z'
z
x' C O' ri
ri
rc
mi
y'
O
y
x
质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量 守恒定律适用，而且，总动量 为零。
vi
(vc
vi
)
(mvc ) rc
mi vi (
vi
z'
z x' C O' rc
O
x
mi ri)
vc
ri
ri
mi
mi
y
ri
y'
vi
p
零
零
Lc Li
i
Lo Lc rc p
dLO dLc d(rc p)
dt dt
dt
dLc dt
rc
dp dt
drc dt
p
例（25届17题，10分）半径同为R，质量分别为m1=m 和m2=3m/2 的两个匀质圆盘，边缘部分分别用长为R和 2R 的轻杆固定地连
接后，挂在高度差为R的两块天花板下，可以无摩擦地左右摆动。
开始时两个摆静止在图示位置，质量为m1的摆盘自由释放后，将
以角速度w0 与质量为m2 的静止摆盘发生弹性碰撞。试求碰撞后 瞬间，两个摆盘的右向摆动的角速度w1和w2 （均带正负号）。