数学模型第02章第五版ppt课件
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第2章系统的数学模型02精选全文完整版
的传递函数。
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
姜启源数学模型第五版第二章
分析与建模
甲的无差别曲线
如果甲占有(x1,y1)与占有
y
(x2,y2)具有同样的满意程度, y0
即p1, p2对甲是无差别的.
y1
将所有与p1, p2无差别的点 连接起来, 得到一条无差别 y2
曲线MN.
O
.M
M1
p1
p3(x3,y3)
. .p2
N1
N
x1
x2
x0 x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.
参数估计 • 根据测试数据对模型作拟合.
• 调查交通工程学的相关资料：
司机反应时间c1约为0.7~1s， 系数c2约为0.01( mh2/km2)
城市通行能力模型
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.
3个参数之间的基本关系 q vk
交通流的主要参数及基本规律 q vk
速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 司机被迫减速
数据分析、机理分析 线性模型 v v f (1 k / k j )
vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时)
流量q与密度k 的关系 q v f k(1 k / k j )
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
Ta d
k2
Ta
Tb l
k1
数学模型 第五版
数学模型
数
学
求解 世
界
数学模型的解答
将实际问题“翻译”成数学问题. 两次“翻译”
将数学解答“翻译”回实际对象.
实践 理论 实践
1.7 数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的非预制性
模型的渐进性
模型的条理性
模型的强健性
模型的技艺性
模型的可转移性
模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态、…
2. 建模的关键是什么？ 变量表示椅子的位置. 函数 f(), g() 表示椅脚与地面的距离.
3. 建模过程中有无不严谨之处？ 椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？
做自己的模型
• 亲自动手，踏踏实实地做几个实际题目——
不妨从包饺子这样的简单问题开始.
• 提倡在实际生活中发现、提出问题，建立模型 .
s2
1 2
a
2t
2 2
vmax a1t1 , vmax a2t2
相邻路障间行驶总距离
s
s1
s2
v2 max 2
1 ( a1
1 )
a2
给定vmax，由测试数据估计a1，a2 ，
s = 路障间距
计算 测试数据作图 大致线性关系 t = cv+d
t
6
5 加速行驶
3
5
2
1
40
v
0
0
10
20
30
40
t
时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
• 回答原问题（船速为20km/h）
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
运筹学胡运权第五版课件-第二章
min Z 3 x1 2 x2 3 x3 4 x4 x1 2 x2 3 x3 4 x4 3 x2 3x3 4 x4 5 s.t. 2 x1 3 x2 7 x3 4 x4 2 x1 0，x2 0, x3、x4无约束 解：对偶问题为： max W 3 y1 5 y2 2 y3
3、矩阵形式： P max z CX AX b s.t. X 0
其中
D min w bT Y AT Y C T s.t. Y 0
a1n a2 n amn
C (c1 , c2 , , cn )
b1 b2 b bm
T T
A Y C C Y A
T T T
CX Y AX Y b b Y
T T T
2、最优性： 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = bT Y* ， 则X*，Y*分别是问题 P和D 的最优解。
对偶问题（D）：
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
解：第一步 改写为 min 的基本形式
令x1 x1，x2 x2 x2 min z 7 x1 （ 4 x2 x2） 3x3 4 x （ 2 x2 x2） 6 x3 24 1 3x1 （ 6 x2 x2） 4 x3 15 s.t. （ 5 x2 x2） 3x3 30 （ 5 x2 x2） 3x3 30 x1 ，x2，x2，x3 0
数学建模第二章课件
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
第2章 线性系统的数学模型
2.2.1
传递函数的定义
传递函数： 初始条件为零时，线性定常系统或
元件输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换的比，称为该系统或元件的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般表达式
d n c(t ) d n1c(t ) dc(t ) d m r (t ) an dt n an1 dt n1 a1 dt a0 c(t ) bm dt m b0 r (t )
ma F F FB FK
F (t )
m
k
（1）
f
y (t )
其中 FB f
dy dt FK ky
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程 将以上各式代入（1）式得 d2y dy m 2 F f ky dt dt
（4）整理且标准化
U2
（3）消去中间变量，得到U2与U1的关系方程
对（2）式求导得
dU 2 1 i, dt C 即i C dU 2 dt
d 2U 2 dU 2 U 2 U1 代入（3）式并整理得 LC 2 RC dt dt
例2-2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受 到外力作用产生位移Y，求该系统的微分方程。 解： （1）确定输入量和输出量 输入量：外力F（t) 输出量:位移y(t) （2）列写原始微分方程
2)
c( s) bm (d m s m d m1s m1 1) G( s) r ( s) an (cn s n cn 1s n 1 1)
(T1s 1)(T2 s 1) (Tm s 1) =K (T1s 1)(T2s 1) (Tm s 1)
+
建立数学模型 (2)优秀课件
1）“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力 3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力 4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力 6）团结协作的精神
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
建立数学模型
序言 一、现状：数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬 间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程， 随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞 赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得 到重视，也深受广大学生的喜爱。原因：一是由于新技术 特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计 算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟 通。二是社会对大学生的要求越来越高 ，大学生毕业后 要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。
建立变量能满足 的微分方程
｛ m d v ( t ) mg kv dt v |t 0 0
？ 哪一类问题
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等 提示我们注意什么量在变化(连续).
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边 际的” ，常涉及到导数.
常 用建 微立 分方 方法 程
•机理分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
机理分析建模法
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
建立数学模型
序言 一、现状：数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬 间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程， 随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞 赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得 到重视，也深受广大学生的喜爱。原因：一是由于新技术 特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计 算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟 通。二是社会对大学生的要求越来越高 ，大学生毕业后 要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。
建立变量能满足 的微分方程
｛ m d v ( t ) mg kv dt v |t 0 0
？ 哪一类问题
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等 提示我们注意什么量在变化(连续).
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边 际的” ，常涉及到导数.
常 用建 微立 分方 方法 程
•机理分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
机理分析建模法
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
第02章-一元线性回归模型
四、拟合优度的度量
• 基本概念：
拟合优度衡量的是样本回归线对样本观测值的拟合程度。 样本观测值距回归线越近，拟合优度越高，x对y的解释程 度越强。
• 样本观测值、拟合值、样本均值之间的关系
ˆ ˆ ( yt − y ) = ( yt − yt ) + ( yt − y )
?相关分析适用于无明确因果关系的变量之间的关系判断常使用的工具是相关系数相关系数对称的看待两个变量相关系数仅判断变量间是否存在线性相关相关系数判断的是统计依赖关系?如果两个变量之间存在因果关系则需要建立回归模型采用回归分析的方法判断变量之间的因果性效应一元线性回归模型的建立?在回归模型中往往假定解释变量是因被解释变量是果而分析的目标则是确定解释变量对被解释变量的因果性效应的具体数值
5. 一元线性回归模型的假定条件 • 用样本估计总体回归函数，总会存在偏差 （样本不是总体，而且模型存在随机干扰 项），为了保证估计结果具有良好的性质， 通常要对模型中的变量、模型形式以及随 机误差项提出一些假定条件 • 对模型形式和变量的假定
–假定解释变量x是非随机的，或者虽然是随机 的，但与随机误差项u不相关 –假定变量和模型无设定误差
第2章 一元线性回归模型
一、模型的建立及其假定条件 二、普通最小二乘估计（OLS） 三、OLS估计量的统计性质 四、拟合优度的度量 五、回归参数的显著性检验与置信区间 六、一元线性回归模型的预测
一、模型的建立及其假定条件
1. 经济变量之间的关系 • 计量经济分析研究经济变量之间的关系及 其变化规律。 • 两变量之间可能存在的关系：
ˆ ˆ ˆ yt = β 0 + β1 xt
• 样本回归函数（SRF）表示在图形中即为样本回归线 • 需要注意：