1.2.2复合函数求导法则

那么这个“复合”过程可表示为y f u =f g x = ln x 2
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
“复合”得到的.
例如,y
2
x
32
可以看成是由
y u2 和u 2x 3“复合”而成.
1.复合函数的概念:
一般地，对于两个函数 y = f (u)， u = g(x)， 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称 这个函数为y = f (u)和 u = g(x)的复合函数，记 作y = f (g (x))
（1） y 1 (2 5x)10 x
(2) y sin3 x sin x3
(2)y′=(sin3x+sinx3)′ =(sin3x)′+(sinx3)′ =3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′ =3sin2xcosx+3x2cosx3.
检测提升
检测提升
小结
（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
ux (1 x2 ) 2x
所以
yx 2
1 (1 x2 )
(2x)
x 1 x2
练习:求下列函数 的导数
（1） y = sin2 x
?
(2) y = sinx2 （1）将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
17
（2）将 y = sin x2 看成是由 y = sin u，u = x2复合而成.
yx yu ux 2x cos u 2x cos x2
跟踪训练
踪训练
4. 求下列函数的导数
（1） y 1 (2 5x)10 (2) x
y sin3 x sin x3
【解析】
4. 求下列函数的导数
1.2.2 复合函数的求导法则
引例：如何求函数 y ln x 2 的导数呢？
设u x 2则y ln u
所以y ln x 2 可以看成是由
y ln u 和u x 2经过“复合”得到的。
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把y与u的关系记作y f u , u与x的关系记作u g x
二、层层求导(将分解所得的基本初等函数，进行求导)
三、作积还原(将各层基本初等函数的导数相乘，并将 中 间变量还原为原来的自变量)
yx yu ux，
引例：求函数 y ln x 2 的导数.
因为y ln x 2是由y lnu 和u x 2复合而成。
所以yx yu ux
(ln u) (x 2) 1 1
u 1
x2
例2：求 y sin 2x 的导数
? 解：y sin 2x 是由函数y=sinu和u=2x复合而成
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x
yx yu ux =2cos2x
例3：求函数 y = (2x + 1)5的导数
解： y = (2x + 1)5 看成是由 y = u5，u = 2x + 1 复合而成，
由于 yu (u5 ) 5u4 , ux (2x 1) 2.
所以 yx yu ux 5u4 2 10(2x 1)4.
例 3： 设 y 1 x2 , 求 y .
解：函数y 1 x2是由y u与u 1 x2复合而成
yu (
1
u) (u2 )
1
2u 2
1 (1 x2 )
y = f (u)叫作外函数; u = g(x)叫作内函数
2.复合函数求导法则:
因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求 导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
yx yu ux，
求复合函数的导数,关键在于分清 函数的复合关系 复合函数求导三部曲：
一、分层(从外向内分解成基本初等函数，注意中间变量)