高三基础知识天天练数学选修4-4-1人教版

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高三基础知识天天练数学选修4-1-1人教版

选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA，即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ，由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案．答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个．答案：两三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°，又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ，因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。

人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案

高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知三角形的3 条中位线分别为 3cm 、4cm 、 6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ． 3cmB ． 26cmC ． 24cmD ． 65cm2．要做甲、乙两个形状同样 (相像 )的三角形框架 ,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、 60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为 20cm ，那么切合条件的三角形框架乙共有（）．A ．1种B ．2 种C ．3 种D ．4 种3．在 RtABC 中， CD 是斜边上的高线， AC ∶BC=3 ∶ 1，则 SABC ∶ S ACD 为（）．A ．4∶3B ．9∶1C ． 10∶ 1D ．10∶94．如图，在正方形ABCD 中， E 为 AB 中点， BF ⊥ CE 于 F ，那么 S △BFC :S 正方形ABCD =（）．A ．1：3B ． 1：4C ． 1：5D ．1：65．在 △ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 1∶2∶ 3，CD ⊥ AB 于 D ， AB ＝ a ，则 DB ＝（）aaC ．a D ．3aA ．B ．24436．若梯形的中位线被它的两条对角线三均分，则梯形的上底 a 与下底 b(a<b)的比是（）．1122A ．2B ． 3C ． 3D ． 57．如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF1CD ，4以下结论： ① BAE 30AD，② △ABE ∽△ AEF ， ③ AEEF ，④ △ADF ∽△ECF ．此中正确的个数为（）FA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4BEC8．直角梯形的一条对角线把梯形分红两个三角形，此中一个是边长为30 的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．以下图，在 △ABC 中， AC=5 ，中线 AD=4 ，则 AB 边的取值范围是（）．A ．1 AB 9B ． 3 AB 13C ． 5AB 13D ． 9AB13D CFAEB10 ABCD中， AE : EB m : n，若AEF的面积等于 a ，则CDF．如图，平行四边形的面积等于（）．m 2 n 2(m n)2D ．( m n)2A ． 2 aB ． 2 aC ．2a 2anmmn11．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ，对角线 AC ⊥BD ，AD且 AC=12 ，BD=9 ，则此梯形的中位线长是（）．A ． 10B ．2115D ． 12BCC ．2212．如图，设 P 为ABC 内一点，且 2 1CAPAB AC，55则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于（）． P1B ．2 31A ．5 C ．D ．552AB二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．13．若两个相像三角形的周长比为3: 4 ，则它们的三角形面积比是 ____________ ．14．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ， AC ⊥ BA ， AD=DC=5 ，则 BC 的长是 __________ ．15．已知： △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点， BE 的延伸线交AC 于点 F ，则AF____________ ．AC16．在 △ABC 中， AB9，AC 6 ，点 M 在 AB 上且 AM 3 ，点 N 在 AC 上，联络 MN ，使△ AMN 与原三角形相像，则 AN ＝ ___________三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点 E ，求证： AE BF 2DE AF ．（ 10 分）CDEA F B18．如图，正方形DEMF内接于△ ABC，若S ADE1， S正方形DEFM 4 ，求 S ABC（12分）AD P EB M Q F C例 2 图19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ均分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直均分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延伸线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD是 Rt△ ABC的斜边AB上的高， E 是BC上随意一点，EF⊥AB于 F．求证：AC 2AD AF CD EF ．（12 分）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB90 ，CD AB ，垂足为 D ，设 BC a ， AC b ，111AB c ． CD b ，试说明：2b 2h2．（ 12分）aCb h aA c D B22．如图，在△ ABC 中，BAC90 ， AD 是BC 边上的高，E 是 BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合）， EFAB ，EGAC ，垂足分别为F ，G ．（ 1）求证：EGCG；AD CD（ 2） FD 与 DG 能否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明原因；（ 3）当 AB AC 时， △ FDG 为等腰直角三角形吗？并说明原因．（ 12 分）AFGBD EC答案与分析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13． 9:1614． 101915．16． 2，或3 217．证明：过 D 作 DG // AB ，交 CF 于 G ，∴AEF DEG ， CDG CBF ，AEDE DG CD ∴，BF，AFDGCB ∵ D 为BC 的中点， CD1 CB ，2DG 1 ， DG 1BF ，BF 2 2AE 2DEAE BF 2DE AF ．AF，即 BF18．解：∵正方形的面积为 4，∴ DE ＝ MF ＝ 2,过 A 点作 AQ ⊥BC 于 Q ，交 DE 于 P ，∵SADE1，∴ AP ＝1，∵DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ APDE ，即 1 2 AQBC 3 BC∴BC ＝6，故 S ABC ＝919．证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直均分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ均分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＡＦ＝C Ｆ，ＢＦＡＦ∴ＡＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ．20．证明： AC 2 AD AB ,AC 2 AD AFAD (AB AF) AD BF由于 Rt ADCRt EFB ,因此 ADEF ,CDBF则ADBFCD EF ，AC 2 AD AFCD EF ,即 AC 2 AD AF CD EF ．11121．解：等式 a 2b 2 h 2 建立．原因以下：∵ ACB 90 ,CD AB ，C 公共，∴1ab1AB h ， AB 2a 2b 2 ，2 2 ∴ ab c h ，∴ a 2 b 2 c 2 h 2 ，∴ a 2 b 2(a 2 b 2 )h 2 ，∴a 2b 2 (a 2b 2 )h 2，a 2b 2h2a 2b 2 h 2∴1 a 2b 2，h2a 2b2∴11 1．h 2a 2b 222．证明：在四边形AFEG 中，∵ FAG AFEAGE 90 ，∴ 四边形 AFEG 为矩形， ∴ AFEG ，（ 1）易证∴AFAD EG CG ，而 AFEG ，AD CD CG；CD（ 2） △ ABC 为直角三角形， ADBC ，∴ FADC ，即 △ AFD ∽△CGD ，∴ ADFCDG ，又CDG ADG 90∴ADFADG90，，即FDG 90 ，∴ FD DG ；（ 3）当 ABAC 时， △ FDG 为等腰直角三角形，原因以下：AB AC ，BAC 90 ，∴ AD DC又由于 △ AFD ∽△ CGD∴FD AD1， FD DGGD DC又 FDG 90∴ △FDG ,△ FDG 为等腰直角三角形．。

(全国通用)2020高考数学二轮复习大题规范天天练第四周 (选修4-1、4-4、4-5)

星期五 (选修4-1、4-4、4-5)2020年____月____日(请同学从下面所给的三个选修模块中选定一个模块作答)一、选修4-1：几何证明选讲(命题意图：考查三角形相似的判定，考查圆的切线的证明及弦切角定理等，考查推理论证能力和计算能力．)如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 交BD 于点E ，圆的切线DF交BC 的延长线于F ，且CD 平分∠BDF .(1)求证：AB ·AD ＝AC ·AE(2)若圆的半径为2，弦BD 长为23，求切线DF 的长． (1)证明由弦切角定理可知∠CDF ＝∠CAD ，∵∠CDB ＝∠CAB ，∠FDC ＝∠BDC ，∴∠CAD ＝∠EAB .∵∠ACD ＝∠ABD ，∴△CDA ∽△BEA ，∴AD AE ＝AC AB，∴AB ·AD ＝AC ·AE .(2)解连接OD ，OB .在△BOD 中，OD ＝OB ＝2，BD ＝23，∴∠BOD ＝120°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝∠CDF ＝30°，∴∠BFD ＝90°.在直角△BFD 中，DF ＝12BD ＝3，∴切线DF 的长为 3. 二、选修4-4：坐标系与参数方程(命题意图：考查代入法求轨迹方程，考查圆的参数方程化为直角坐标方程，考查圆与圆的位置关系等．)以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α(α为参数)． (1)判断两曲线的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程．解 (1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25，曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.三、选修4-5：不等式选讲(命题意图：考查含绝对值不等式的求解，考查不等式的证明．)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明：由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a | ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.。

高中数学选修4-4全套同步习题(含答案)

2.1.1 参数方程的概念►预习梳理1．参数方程的定义．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：______________；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）所确定的点P (x ，y )________________，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）叫作曲线C 的__________，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出__________________的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是参数方程．►预习思考以下表示x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1，y ＝0(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3t ＋1(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝0(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝0(t 为参数), 预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）都在曲线C 上参数方程点的坐标间关系预习思考 D一层练习1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )A ．(2，3)B ．(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2，0)1．D2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 2.C3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是( )A ．(2，7) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1，－1) 3.D4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是____________.4．(x －1)2＋y 2＝45．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝____________.5．± 3 二层练习6．若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°6．B7．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 7.C8．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．8．命题立意：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．解析：∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)，∴直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离为d ＝12＝22，弦长＝24－⎝⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案：149．(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．9．解析：圆C ⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2.答案：4 210．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．10．(1，0)三层练习11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．11．1612．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立即坐标系，则曲线C 的极坐标方程为____________________．12．ρcos 2θ－sin θ＝013．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 13．解析：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cosα＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．14．边长为a 的等边三角形ABC 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴两正半轴上移动，顶点C 和原点O 分别在AB 两侧，记∠CAx ＝α，求顶点C 的轨迹的参数方程．14．解析：如下图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，设点C 的坐标为(x ，y )．则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OA ＋AD ，y ＝DC ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋a cos α，y ＝a sin α(α为参数)，即为顶点C 的轨迹方程．1．求曲线参数方程的主要步骤．第一步设点：画出轨迹草图．设M (x ，y )为轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步选参：选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )与参数的关系比较明显，容易列出方程．二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步表示、结论：根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．证明可以省略．2．将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法．(1)代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．高中数学 1.2极点坐标练习新人教A 版选修4-4►预习梳理1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定____________和______________________(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴)．设M 为平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ，有序实数对________叫作点M 的极坐标，记作________，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．直角坐标与极坐标的互化．以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝，tan θ＝（x ≠0）. ►预习思考 1．写出下图中各点的极坐标：A ________，B ________，C ________．2．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，则它化成直角坐标为________．,预习梳理1．一个长度单位一个角度单位及其正方向极径极角 (ρ，θ) M (ρ，θ) 2．ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2yx预习思考1．(4，0) ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 ⎝⎛⎭⎪⎫3，π22.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532一层练习1．极坐标系中，和点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6表示同一点的是________．1.⎝⎛⎭⎪⎫3，－11π62．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．2.⎝⎛⎭⎪⎫3，π33．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是________．3.⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4 4．在极坐标系中，已知M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则|M 1M 2|＝________．4．25．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫2 014，5π3表示的点在第________象限．二层练习5．解析：由于x ＝ρcos θ＝2014cos 5π31007，y ＝ρsin θ＝2014sin5π3＝－10073，故点(1007，－10073)在第四象限．答案：四6．已知A 、B 两点极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，则线段AB 中点的极坐标为________．6.⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π37．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则△AOB 的面积S ＝________．7．28．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(规定ρ>0，θ∈[0，2π))，则：(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________________．8．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，0≤θ＜2π)．9.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π310．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(3，3)； (2)(－1，－1)；(3)(－3，0)．10．解析：(1)ρ＝（3）2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝（－1）2＋（－1）2＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝（－3）2＋02＝3，画图，可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π) 三层练习11．在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和(3，0)，O 为极点，则三角形OAB 的面积＝________．11.33212．在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ρ，116π(ρ>0)，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为________________．12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11π6＋2k π(k ∈Z)13．以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)，正六边形ABCDEF 的顶点极径都是ρ＝2，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列．若点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点B 的直角坐标为________．13．(－1，3)14．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 14．解析：设M (r ，0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以（42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1，0)或(7，0)．答案：(1，0)或(7，0)1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置． 3．极坐标与直角坐标的互化．我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任意一点，如右图：则有换算公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.② 在换算公式①和②中，一般θ∈[0，2π)就可以了．【习题1.2】1．解析：由题图可知各点的坐标分别为A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π6，E (2.5，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫5，4π3，G (4，5π3)． 2．解析：以广东省汕尾市为极点，正东方向的射线为极轴(单位长度为1公里)建立极坐标系，如右图所示，则该台风中心所在位置的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫440，7π4.3．解析：因为∠AOB ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以A ，O ，B 三点共线．所以A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋1＝4.4．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，分别将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π代入上述公式得各点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，322，()－1，3，(0，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.5．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，分别将直角坐标()3，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，()－2，－23代入上述公式得各点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.高中数学 1.3简单曲线的极点坐标方程练习新人教A 版选修4-4►预习梳理 1．定义．如果曲线C 上的点与方程f (ρ，θ)＝0有如下关系： (1)曲线C 上任一点的坐标__________方程f (ρ，θ)＝0；(2)方程f (ρ，θ)＝0的________为坐标的点______________．则曲线C 的方程是f (ρ，θ)＝0.2．圆的极坐标方程．(1)圆心在(a ，0)(a ＞0)半径为a 的圆的极坐标方程为________________． (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标的方程为____________． 3．直线的极坐标方程．(1)直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为π4，则直线l 的极坐标方程为____________．(2)过点A (a ，0)(a ＞0)且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为________________． (3)直线l 过点P (ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l 的极坐标方程为____________________________．►预习思考1．几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)圆心位于极点，半径为1的圆的极坐标方程为__________； (2)圆心位于M (1，0)，半径为1的圆的极坐标方程为________；(3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，半径为1的圆的极坐标方程为________．2．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点且过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6的极坐标方程为__________________；(2)直线过点M (1，0)且垂直于极轴的极坐标方程为________；(3)直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2且平行于极轴的极坐标方程为________．,预习梳理1．(1)符合 (2)所有解都在曲线C 上 2．(1)ρ＝2a cos θ (2)ρ＝r 3．(1)θ＝π4，ρ∈R (2)ρcos θ＝a(3)ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) 预习思考1．(1)ρ＝1 (2)ρ＝2cos θ (3)ρ＝2sin θ 2．(1)θ＝π6，ρ∈R (2)ρcos θ＝1 (3)ρsin θ＝1一层练习1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________． 1．(x －2)2＋y 2＝42．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________． 2.223．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是________． 3．圆4．(2014·湛江高考调研)极坐标系内，点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2到直线ρcos θ＝2的距离是________．4．命题立意：本题考查极坐标与直角坐标的转化，难度较小．解析：点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.答案：25．(2014·揭阳二模)在极坐标系中，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长________．二层练习5．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，难度中等．解析：先将圆的极坐标方程转化为普通方程，将点的极坐标转化为直角坐标，再利用解直角三角形求其切线长．圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点A 的直角坐标为(0，－4)，点A 与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为62－22＝4 2.答案：4 26．过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程是________．6．ρsin θ＝ 37．(2014·湛江二模拟)极坐标系中，圆O ：ρ2＋2ρcos θ－3＝0的圆心到直线ρcosθ＋ρsin θ－7＝0的距离是________．7．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，难度中等．解析：先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求距离大小．圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心为(－1，0)，直线的直角坐标方程为x ＋y －7＝0，所以圆心到直线的距离为|－1＋0－7|2＝4 2.答案：4 28．(2014·汕头质量检测)如图所示的极坐标系中，以M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6为圆心，半径r ＝1的圆M 的极坐标方程是________．8．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程间的转化，难度中等．解析：依题意，题中的圆M 的圆心的直角坐标是(23，2)，因此圆M 的直角坐标方程是(x －23)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－43x －4y ＋15＝0，相应的极坐标方程是ρ2－43ρcos θ－4ρsin θ＋15＝0，即ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝0.答案：ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝09．(2014·佛山一模)在极坐标系中，设曲线C 1：ρcos θ＝1与C 2：ρ＝4cos θ的交点分别为A ，B ，则|AB |＝________．9．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的转化，难度中等．解析：依题意，两条曲线相应的直角坐标方程分别是x ＝1与x 2＋y 2＝4x ，而圆x 2＋y 2＝4x 的圆心坐标是C 2(2，0)、半径是2，圆心C 2(2，0)到直线x ＝1的距离为1，因此|AB |＝222－12＝2 3.答案：2 310．在极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝t (常数t ＞0)与曲线C ：ρ＝2sin θ相切，则t ＝________．10．111．在极坐标系中，已知直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是________．11．－112．(2014·深圳第二次调研)在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．12．命题立意：本题考查直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离，难度中等．解析：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35.答案：35三层练习13．(2014·陕西高考文科·T 15)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．13．解题提示：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，从而求得此点到直线的距离．解析：由于直线的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标为(3，1)．故该点到直线的距离d ＝3－3·1＋21＋3＝1.答案：114．(2014·上海高考理科·T 7)已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝1，则C 与极轴的交点到极点的距离是________．14．解题提示：首先将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线，与x 轴的交点，即得结论．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，极点即为原点，故距离为13.答案：1315．(2014·广东高考文科·T 14)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 15．解析：2ρcos 2θ＝sin θ即2ρ2cos 2θ＝ρsin θ，则2x 2＝y ，ρcos θ＝1即x ＝1. 联合解得，x ＝1，y ＝2.曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)．答案：(1，2)误区警示：曲线C 1的方程化为直角方程看不出思路，可通过等式变形找关系． 16．(2014·天津高考理科·T 13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝α相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则α的值为________．16．解析：圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线为y ＝α.因为△AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫α3，α，代入圆的方程可得α＝3.答案：3 17.6217．(2015·韶关市高三模拟考试)在极坐标中，已知直线l 方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点Q 到l 的距离d 为________． 18．(2015·全国卷Ⅰ，数学文理23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．18．解析：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．建立曲线的极坐标方程的方法步骤： (1)在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程；(3)验证求得的方程为曲线的方程．2．利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题．求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致．如定义法、直接法、参数法等．3．不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程．反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程．这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化．如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答．4．处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： (1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理； (2)根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换．【习题1.3】1．解析：(1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略)． (2)表示过极点，倾斜角为5π6的直线(图略)．(3)表示过极点，圆心在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2半径为1的圆(图略)．2．解析：(1)θ＝π3(ρ∈R)．(2)如图所示，设过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且与极轴垂直的直线与极轴交于点B ，点P (ρ，θ)是直线上任意一点．因为∠AOB ＝π3，OA ＝2，所以OB ＝2cos π3＝1，从而cos θ＝OB OP ，即cos θ＝1ρ，所以所求的极坐标方程为ρcos θ＝1.(3)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点．当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得到|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝|AP |2，所以1＋ρ2－2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1，即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.①当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，这两点的坐标满足①，所以①就是所求的圆的极坐标方程．(4)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点，当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AP |2，所以a 2＋ρ2－2a ρsin θ＝a 2，即ρ＝2a sin θ.②当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π2，这两点的坐标满足②，所以②就是所求的圆的极坐标方程．3．(1)ρcos θ＝4. (2)ρsin θ＝－2.(3)2ρcos θ－3ρsin θ－1＝0. (4)ρ2cos 2θ＝16. 4．(1)y ＝2. (2)2x ＋5y －4＝0. (3)(x ＋5)2＋y 2＝25. (4)(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.5．解析：以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程得x ＋y ＝1，把点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标得(2，－2)．在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式得A (2，－2)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝22.所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.6．(1)证明：以椭圆中心O 为原点，长轴所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S△AOB＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2.2．4 渐开线与摆线►预习梳理1．以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r 为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为：______________________________________________________． ►预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－8sin φ，y ＝8－8cos φ(φ为参数)一层练习1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 1．C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ 2.C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④ 3.C4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) 二层练习5．如下图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 5．C6．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40（φ－sin φ），y ＝40（1－cos φ）(φ为参数) 80π mm 80 mm7．已知参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数) 8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．8．(63，0)和(－63，0)9．当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．9．解析：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ.得x ＝cos π2＋π2sin π2＝1，y ＝sin π2－π2cos π2＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π.∴B (－1，π)．故A ，B 间的距离为|AB |＝（1－π）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＝45π2－π＋2. 三层练习10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别为π3和π2，求点A 、B 的直角坐标． 10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)．将φ＝π3代入得x ＝cos π3＋π3sin π3＝12＋36π， y ＝sin π3－π3cos π3＝32－π6. ∴A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6.当φ＝π2时，同理可求得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.11．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．11．解析：当y ＝2时，有2(1－cos φ)＝2， ∴cos φ＝0.又0≤φ≤2π， ∴φ＝π2或φ＝3π2.当φ＝π2时，x ＝π－2；当φ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．设圆的半径为4，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值．12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（φ－sin φ），y ＝4（1－cos φ）(φ为参数)．且0≤φ≤2π.其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：易知，当x ＝4π时，y 有最大值8.13．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．14．分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π. 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（φ－sin φ），y ＝1π（1－cos φ）(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（cos φ＋φsin φ），y ＝1π（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M 的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角φ唯一确定．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义． 4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r ，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．【习题2.4】1．解析：因为基圆的直径是225 mm ，所以基圆的半径是112.5 mm ，齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112.5（cos φ＋φsin φ），y ＝112.5（sin φ－φcos φ）(φ是参数)．2．解析：将φ＝π2，3π2分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得到A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋（1＋1）2＝2π2＋1.3．解析：设轮子的圆心为B ，以BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O 为原点，直线轨道为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M 绕圆心B 转过φ角后点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝OD ＝OA －DA ＝OA －MC ＝aφ－b sin φ，y ＝DM ＝AC ＝AB －CB ＝a －b cosφ，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aφ－b sin φ，y ＝a －b cos φ(φ是参数)．4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )，此时∠BOA ＝φ.因为OB ＝4CB ，所以∠BCM ＝4φ，∠MCD ＝π2－3φ.由于x ＝OF ＝OE ＋EF ＝3r cos φ＋r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________；抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B 3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________．4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得 y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21。

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章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．一个易错点：不理解正射影的概念当图形较复杂时，特别是投影面不是水平放置时，如果观察图形不细致，空间想象力不强，不理解投影的概念就会出错．2．一个疑难点：确定截线椭圆的参量当已知斜截面与圆柱面的母线或直截面的交角时，我们可以确定椭圆的各个参量．如设斜截面与圆柱面的母线的交角为φ，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的长轴长2a＝2rsinφ，短轴长2b＝2r，离心率e＝cos φ，焦距2c＝2a cos φ.专题一平行射影问题一个平面图形在一个平面上的平行射影与投影方向和投影面有关．画一个图形的平行射影应先找出图形关键点的平行射影．正射影是平行射影的一种特殊情况．准确理解正射影的概念，能根据题意准确确定点、线、面的正射影．[例1]如图所示，边长为20的正三角形ABC的顶点A在平面α内，B，C在平面α同侧，且B，C在平面α上的正射影分别为D，E，且BD＝10，CE＝5，求△ABC所在平面和平面α所成的二面角的大小．解：由正射影的性质得BD∥CE，且B，D，C，E共面．因为BD≠CE，所以BC，DE必相交，设交点为F.因为DE⊂α，所以F∈α.因为BC⊂平面ABC，所以F∈平面ABC，所以F是平面ABC和平面α的公共点．因为A是平面ABC和平面α的公共点，所以平面ABC∩平面α＝AF.在△BDF中，因为BD∥CE，BD＝2CE，所以CF＝BC.又因为△ABC为正三角形，所以CF＝AC，∠ACF＝120°，所以∠CAF＝30°，所以∠BAF＝∠BAC＋∠CAF＝60°＋30°＝90°，所以BA⊥AF，故DA⊥AF，所以∠BAD是△ABC所在平面和平面α所成的二面角的平面角．在Rt△ABD中，AB＝20，BD＝10，所以∠BAD＝30°，所以△ABC所在平面和平面α所成的二面角的大小为30°.[变式训练] 一个圆在平面α上的正射影是什么图形？解：(1)圆所在平面与投影平面平行，圆的射影仍然是圆．(2)圆所在平面与投影平面垂直，圆的射影是线段．(3)圆所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆．专题二平面与圆柱面、圆锥面的截线问题1．平行于圆柱底面的平面截圆柱所得截线是圆，用平面斜截圆柱面所得截线是椭圆，可以用Dandelin 双球去研究椭圆的有关性质．这里要注意双球与斜截面的切点是椭圆的焦点，球的直径就是椭圆的短轴长．2．当已知斜截面与圆柱面的母线或轴的交角时，我们可以确定椭圆的各个参量．如设斜截面与圆柱面的母线的交角为φ，圆柱面的半径为r ，则截线椭圆的长轴长2a ＝2r sin φ，短轴长2b ＝2r ，离心率e ＝cos φ，焦距2c ＝2a cos φ.3．设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥轴的夹角为θ，当截面不过顶点时：(1)当θ＝α时，截线是抛物线．(2)当α<θ<π2时，截线是椭圆，特别地，当θ＝π2时，截线是圆． (3)当0≤θ<α时，截线是双曲线，圆锥曲线的有关问题，可以利用Dandelin 双球进行探究．[例2] 已知圆柱的底面半径是2，平面α与圆柱母线的夹角为30°，求截口椭圆的离心率和焦距．解：椭圆的离心率e ＝cos 30°＝32. 如图所示，过G 2作G 2H ⊥AD 于点H .在Rt △G 1HG 2中，∠HG 1G 2＝30°，HG 2＝4.所以G 1G 2＝2HG 2＝8.所以截口椭圆的长轴长2a ＝G 1G 2＝8，短轴长2b ＝4.所以焦距2c ＝2a 2－b 2＝242－22＝4 3.[变式训练] 已知一圆锥面的顶角为90°，嵌入两球的半径分别为2和72，试确定截线的圆锥曲线的长轴(或实轴)长、短轴(或虚轴)长和截面与轴的夹角．解：(1)若嵌入两球在圆锥顶点的同侧，则截线为椭圆，如图所示的是其轴截面．OO ′＝O ′D －OC sin 45°＝(72－2)×2＝12， CD ＝O ′D －OC ＝62，所以椭圆的长轴长为6 2.设AB 与OO ′的夹角为φ，则sin φ＝72＋2OO ′＝8212＝223，故截面与轴的夹角为arcsin 223，椭圆的离心率e＝cos φcos 45°＝13×22＝23，所以椭圆的短轴长为62×1－e2＝214.(2)若两球在圆锥顶点的两侧，则截线为双曲线．如图所示的是其轴截面．OO′＝OC＋O′D sin 45°＝(72＋2)×2＝16，CD＝OO′2－（OC－O′D）2＝162－（62）2＝246.所以双曲线的焦距为246.设截面与轴的夹角为φ，即CD与OO′的夹角为φ.所以cos φ＝CDOO′＝468，所以截面与轴的夹角为arccos 46 8.所以双曲线的离心率e＝cos φcos 45°＝234.所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为214.专题三方程思想在平面与圆柱面、圆锥面的截线中，存在着大量的数量关系，在求某个量时，有时就可采用方程的思想建立关于该量的方程，利用方程求解．[例3] 已知圆锥的母线长为l ，底面半径为R ，如果过圆锥顶点的截面面积S 的最大值是12l 2，求R l 的取值范围．解：如图所示，△PAB 是过圆锥的顶点P 的截面，设∠APB ＝x ，圆锥的顶角为α，则△PAB 的面积为：S ＝12PA ·PB ·sin x ＝ 12l 2sin x (0<x ≤α)，所以S 最大＝⎩⎪⎨⎪⎧12l 2sin α（0<α<π2），12l 2（π2≤α<π）. 由题意知π2≤α<π，所以在Rt △PAO 中，R l ＝sin α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 即R l 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. [变式训练] 平面α与圆柱轴线成60°角，截圆柱面所得椭圆的焦距为23，求圆柱面的半径．解：如图所示，O 为椭圆中心，AA ′是椭圆的长轴，设其长为2a ，过O 向圆柱母线作垂线，垂足为B ，则△OAB 是直角三角形，∠OAB 是平面α与圆柱母线(轴线)所成的角．设圆柱面半径为r ，则a ＝r sin 60°＝23r 3，椭圆的短轴长2b ＝2r ，即b ＝r ，由已知焦距2c ＝23得c ＝3，在椭圆中，因为a 2＝b 2＋c 2，所以(23r 3)2＝r 2＋(3)2，解得r ＝3，故圆柱面的半径为3.专题四数形结合思想在解决与几何图形有关的问题时，可以将图形信息转换成代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题解决；在解决与数量有关的问题时，可根据数量特征构造出相应的几何图形，即化为几何问题解决．利用数形的辩证统一和各自的优势尽快得到解题途径，这就是数形结合思想方法的特点．[例4] 如果椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，求椭圆的面积．解：如图所示，设椭圆是由半径为r 的圆柱面的斜截面截得的，且斜截面与母线所成的角为α，则b ＝r ，a ＝r sin α.取圆柱面的一直截面，则其面积S 圆＝πr 2，直截面与斜截面的夹角为π2－α，由面积射影定理有S 椭圆＝S 圆cos （π2－α）＝πr 2sin α＝π·r ·r sin α＝π ab .故该椭圆的面积为πab . [变式训练] 如图所示，已知一圆锥面的轴线为Sx ，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O ，使SO ＝3 cm ，球O 与这个锥面相切，求球O 的半径和切点圆的半径．解：如图所示，点H 为球O 与圆锥面的一个切点，点C 为切点圆的圆心，连接OH ，HC ，则OH ⊥SH ，HC ⊥SC ，∠OSH ＝30°，所以OH ＝12SO ＝12×3＝32(cm)，且∠SOH ＝60°，所以HC ＝OH sin 60°＝32×32＝334(cm)，所以球O 的半径为32cm ，切点圆的半径为334cm.。

高中数学选修4-4(人教A版)第二讲参数方程2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学选修4-4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二讲参数方程一曲线的参数方程一、知识清单参数方程二、知识讲解1.参数方程曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系，把坐标系，表示为第三个变量的函数如果对于的每一个值（），式所确定的点都是在一条曲线上；而这条曲线上的任一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中变量称为参数．直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是．圆的参数方程若圆心在点，半径为，则圆的参数方程为．　圆锥曲线的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点，相应的椭圆的参数方程为．抛物线的参数方程抛物线的参数方程为．双曲线的参数方程双曲线的参数方程为．摆线的参数方程一圆沿一直线作无滑动滚动式，圆周上的一定点的轨迹称为摆线．设半径为的圆在轴上滚动，开始时定点在原点处．取圆滚动时转过的角度（以弧度为单位）为参数．当圆滚过角时，圆心为，圆与轴的切点为，．所摆线的参数方程为．xOy x y t {a ≤t ≤b ．(2−3)x =f (t )y =g (t )t a ≤t ≤b (2−3)M (x ,y )M (x ,y )t (2−3)(2−3)t {t ∈R x =+lt x 0y =+mty 0(,)M 0x 0y 0R {0≤θ≤2πx =+R cos θx 0y =+R sin θy 0(,)M 0x 0y 0{0≤t ≤2πx =+a cos t x 0y =+b sin ty 0{x =2p t 2y =2pt{x =a sec θy =b tan θM a x M O t t B x A ∠ABM =t {x =a (t −sin t )y =a (1−cos t )下列方程中可以看成参数方程的是（）A． B． C．x −y −t =0+−2ax −9=0x 2y 2{=x 2t 2y =2t −1。

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章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．平行线等分线段定理的易错点定理中的“一组平行线”是指每相邻两条直线间的距离都相等的平行线，若不满足这一条件，则不能使用该定理．2．使用平行线分线段成比例定理的两个易错点(1)在使用定理进行证明时，容易以特殊代替一般，与平行线等分线段定理混淆而出错．(2)在利用定理时，不会应用比例的性质而出现计算错误．3．相似三角形的两个易错点(1)在判定两个三角形相似时，对判定定理中的“对应”二字把握不准确．(2)对相似三角形的性质理解不透而导致应用错误．4．直角三角形的射影定理的关注点由于射影定理得出的结论(等式)较多，在解有较复杂图形的问题时，有时因选不准题目所需的等式，使得问题复杂化．专题一三角形相似的判定1．已知有一角对应相等时，可选择判定定理1或判定定理2.2．已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2或判定定理3.3．判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．[例1]如图所示，F是平行四边形ABCD的一边AD上的一点，且AF＝12FD，E为AB的中点，EF交AC于G点，O为AC的中点，已知AC＝10.(1)求证△AGF∽△OGE；(2)求AG的长．(1)证明：因为O为AC的中点，E为AB的中点，所以OE∥BC，又因为BC∥AD，所以OE∥AD，所以∠FAG＝∠GOE，∠AFG＝∠GBO，所以△AGF∽△OGE.(2)解：由(1)知△AGF∽△OGE，所以AFOE＝AGOG，又AF＝12FD，所以AF＝13AD，由题意知OE＝12AD，所以AFOE＝AGOG＝23.所以AG＝2.[变式训练]已知，如图所示，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.证明：因为在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，所以△CBE∽△ABD.所以BCAB＝BEBD，即BCBE＝ABBD.又因为在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∠DBC＝∠DBC，所以∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC.所以∠DBE＝∠ABC.又BCBE＝ABBD，所以△DBE∽△ABC.专题二相似三角形性质的应用相似三角形的性质主要有如下几方面的应用：(1)可用来证明线段成比例、角相等；(2)可间接证明线段相等；(3)为计算线段长度及角的大小创造条件；(4)可计算周长、线段长等．[例2]如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB交于点D，和CA的延长线交于点E.连接AM，求证：AM2＝DM·EM.证明：因为∠BAC＝90°，M是BC的中点，所以AM＝CM，所以∠MAC＝∠C.因为EM⊥BC，所以∠E＋∠C＝90°.又因为∠BAM＋∠MAC＝90°，所以∠E＝∠BAM.因为∠EMA＝∠AMD，所以△AMD∽△EMA，所以AMDM＝EMAM，所以AM2＝DM·EM.[变式训练]如图所示，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB 上取一点P，使AP＝AD，再从点P引一条BC的平行线与AC交于点Q，求证PQ＝CF.证明：因为AD⊥BC，CF⊥AB，所以∠ADB＝∠BFC.又因为∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBF，所以ADCF＝ABCB.又因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC.所以PQBC＝APAB，所以APPQ＝ABBC，所以ADCF＝APPQ.又因为AD＝AP，所以PQ＝CF.专题三函数与方程的思想在相似三角形中，存在多种比相等的关系，利用这些相等关系，可以构造函数的模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相等关系转化为方程的形式，利用方程的思想解决问题．[例3]如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A停止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值是多少？解：(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB＝AEAC.又因为AB＝8，AC＝6，AD＝8－2x，AE＝y，所以8－2x 8＝y 6.所以y ＝－32x ＋6，自变量x 的取值范围是[0，4]．(2)S ＝12BD ·AE ＝12×2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋6＝－32×x 2＋6x ＝－32(x －2)2＋6，所以当x ＝2时，S max ＝6.[变式训练] 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53.(1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，求△DBE 的面积．解：(1)因为AB DB ＝BC BE ＝ACDE，所以△ABC ∽△DBE . 所以△ABC 的周长△DBE 的周长＝AB DB ＝53.设△ABC 的周长为5x ，则△DBE 的周长为3x ，依题意得5x －3x ＝10，解得x ＝5. 所以△ABC 的周长为25 cm. (2)因为△ABC ∽△DBE ，所以S △ABC S △DBE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝259.设S△ABC＝25x，则S△DBE＝9x.依题意有25x＋9x＝170，解得x＝5.所以△DBE的面积为45 cm2.专题四转化思想在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明．[例4]如图所示，AC∥BD，AD，BC相交于E，EF∥BD，求证1AC＋1BD＝1EF.证明：由题意知AC∥EF∥BD，所以EFAC＝BFAB，EFBD＝AFAB，所以EFAC＋EFBD＝AF＋BFAB＝ABAB＝1，即1AC＋1BD＝1EF.[变式训练]如图所示，在锐角△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝22，求点B到直线AC的距离．解：因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB＝∠CEB＝90°.又因为∠B ＝∠B ，所以△ADB ∽△CEB ，所以BD BE ＝AB BC ，所以BD AB ＝BE BC. 又因为∠B ＝∠B ，所以△BED ∽△BCA ，所以S △BED S △BCA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ED AC 2＝218＝19.又因为DE ＝22，所以⎝⎛⎭⎪⎫22AC 2＝19，所以AC ＝6 2.设点B 到直线AC 的距离为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ，故18＝12×62h ，所以h ＝3 2.。

高中数学人教版选修4-4测试题带答案-(1)

高中数学人教版选修4-4经典测试题班级：姓名：一、选择题（5*12=60） 1．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)P）A ．)3,4(B ．)5,4(-或)1,0(C ．)5,2(D ．)3,4(或)5,2( 2．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π3．4πθ=)0(≤ρ表示的图形是（）A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆4．已知直线t ty tx (12⎩⎨⎧+=+=为参数）与曲线C ：03cos 42=+-θρρ交于B A ,两点，则=AB （）A ．1B ．21C ．22D ．25．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）． A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 6．已知过曲线()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4π，则P点坐标是（） A 、（3，4） B 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22223， C 、（-3，-4） D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛512512， 7．曲线θθθ(sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+-=y x 为参数）的对称中心（）A 、在直线y=2x 上B 、在直线y=-2x 上C 、在直线y=x-1上D 、在直线y=x+1上8．直线的参数方程为0sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ (t 为参数)，则直线的倾斜角为( ) A ．040 B ．050 C ．0140 D ．0130 9．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为（） A.4)2(22=++y x B.4)2(22=-+y x C.4)2(22=+-y x D.4)2(22=++y x10．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（）A 、线段B 、直线C 、圆D 、射线 11．在极坐标系中，定点π1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在直线cos sin 0ρθρθ+=上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是 A．π)24 B．3π()24 C．π()24 D．3π()2412．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=.若直线l 与圆C 相切，则实数a 的取值个数为（）A .0 B.1 C.2 D.3二、填空题（5*4=20）13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________；14．在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.15．已知圆M ：x 2+y 2-2x-4y+1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线22cos :()2sin x C y θθθ=+⎧∈⎨=⎩R ，极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，直线()6πθθ=∈R 被曲线C 截得的线段长为．三、解答题17．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=．（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin（θ＋4π）＝22a ，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=ϕϕsin 1cos 1y x （φ为参数，0≤φ≤π）．（1）求C 1的直角坐标方程；（2）当C 1与C 2有两个不同公共点时，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为1(2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．21．（本小题满分12分）极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点C B A ,,（1）求证：OB OC OA +=；（2）当12πϕ=时，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=．（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P坐标为(，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA +PB 的值．参考答案1．D 【解析】试题分析：设直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)P 的距离等于的点的坐标是(3,4)t t -+，则有=211t t =⇒=±，所以所求点的坐标为)3,4(或)5,2(．故选D ．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程． 2．A 【解析】试题分析：222sin )(cos sin )x y ρθθρθθ=+∴=+∴+=220x y ∴+=，圆心为22⎛ ⎝⎭，化为极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,1π 考点：1．直角坐标与极坐标的转化；2．圆的方程3．A 【解析】试题分析：4πθ=，表示一和三象限的角平分线x y =，0≤ρ表示第三象限的角平分线．0,≤=x x y考点：极坐标与直角坐标的互化 4．D 【解析】试题分析：将直线化为普通方程为10x y --=,将曲线C 化为直角坐标方程为22430x y x +-+=,即()2221x y -+=,所以曲线C 为以()2,0为圆心,半径1r =的圆．圆心()2,0到直线10x y --=的距离d ==．根据2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得AB =．故D 正确．考点：1参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线与圆的相交弦． 5．B 【解析】试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2），取t=1得直线过（3，-1），由斜率公式得直线的斜率为23-，选B【解析】试题分析：直线PO的倾斜角为4π，则可设),(00y x P ，()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数116922=+⇒y x 代入点P 可求得结果，选B 。

人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学选修4-4知识点总结

高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

高三基础知识天天练4-4. 数学数学doc人教版

第4模块第4节[知能演练]一、选择题1．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i (a ∈R )对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0解析：由题意知a 2－2a ＝0，∴a ＝2或a ＝0. 答案：C2．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，z ＝x －yi . 由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yi ＋x －yi ＝4(x ＋yi )(x －yi )＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 2＋y 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，∴zz ＝x －yi x ＋yi ＝x 2－y 2－2xyi x 2＋y 2＝±i . 答案：D3．如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2－i )z ＝4－bi (其中i 为虚数单位)，那么b 等于( )A ．8B ．－8C ．2D ．－2解析：设z ＝ai (a ≠0)，由(2－i )z ＝4－bi ，得(2－i )×ai ＝4－bi ，即a ＋2ai ＝4－bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－8. 答案：B4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，∵CA →＝CB →＋BA →. ∴CA →对应的复数为(－1－3i )＋(－2－i )＝－3－4i . 答案：D 二、填空题5．已知z ＝(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )，则|z |＝________.解析：|z |＝|(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )|＝|2＋2i |2|4＋5i ||5－4i ||1－i |＝22×4141×2＝2 2.答案：2 26．若复数z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i ，(a ∈R )为纯虚数，则a ＋i 20073－3i＝________.解析：∵z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－3＝0a ＋3≠0，解得a ＝3， ∴a ＋i 20073－3i ＝3－i 3－3i ＝3－i 3(3－i )＝33. 答案：33三、解答题7．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，|z 1|＝2，求z 1.解：设z 1＝a ＋bi ，则z 2＝－a ＋bi ，∵z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，且|z 1|＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋bi )(3－i )＝(－a ＋bi )(1＋3i )a 2＋b 2＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i .8．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i . 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i .∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，已知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．[高考·模拟·预测]1． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋3i ，所以a ＝－1，b ＝3，故选B.答案：B2．复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i )(2＋3i )－(2－3i )(3－2i )(2＋3i )(2－3i )＝26i13＝2i ，答案为D.答案：D3．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝ ( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：依题意得z ＝(1＋i )(2＋i )＝1＋3i ，故z ＝1－3i .选B. 答案：B4．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i )表示满足i n ＝1的最小正整数n ，∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i )＝4.答案：C5．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )A ．0B ．－5C ．0或－5D ．0或5解析：由已知条件可得z 1z 2＝(a ＋2i )·[a ＋(a ＋3)i ]＝a 2－2(a ＋3)＋(a 2＋5a )i ，又z 1z 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2(a ＋3)>0a 2＋5a ＝0，解得a ＝－5，故选B.答案：B6．若z ＝sin θ－35＋i (cos θ－45)是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．±34B ．±43C ．－34D.34解析：由纯虚数定义知，sin θ＝35，cos θ≠45，∴cos θ＝－45，∴tan θ＝－34.答案：C7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i )i ＝－20－2i ，所以可知复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 答案：－208．若21－i＝a ＋bi (i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 解析：∵21－i＝a ＋bi ，∴1＋i ＝a ＋bi ，∴a ＝b ＝1，∴a ＋b ＝2. 答案：29．若复数m ＋2i1－i (m ∈R ，i 是虚数单位)为纯虚数，则m ＝________.解析：因为m ＋2i 1－i ＝(m ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －2＋(m ＋2)i2为纯虚数，所以m ＝2.答案：2 10．复数1－3i2＋i－(1＋i )2在复平面内的对应点位于第________象限．解析：1－3i 2＋i －(1＋i )2＝(1－3i )(2－i )5－2i ＝－1－7i 5－2i ＝－1－17i5，所以其对应点位于第三象限．答案：三。

人教版数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案

高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ．3cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm2．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有（）．A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．在Rt ΔABC 中，CD 是斜边上的高线，AC∶BC=3∶1，则S ΔABC ∶S ΔACD 为（）．A ．4∶3 B．9∶1 C．10∶1 D．10∶94．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF⊥CE 于F ，那么S △BFC :S 正方形ABCD =（）．A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：65．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a6．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b(a<b)的比是（）． A ．12 B ．13 C ．23 D ．257．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =，下列结论：①30BAE ∠=，②ABE AEF △∽△，③AE EF ⊥，④ADF ECF △∽△．其中正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为30的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．如图所示，在△ABC 中，AC=5，中线AD=4，则AB 边的取值范围是（）．A ．19<<AB B ．313<<ABC ．513<<ABD ．913<<ABA B D CE F10．如图，平行四边形ABCD 中，::AE EB m n =，若AEF ∆的面积等于a ，则CDF ∆的面积等于（）．A BCFDEA ．22m a n B ．22n a m C ．22()m n a m + D ．22()m n a n +11．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是（）．A ．10B ．212C ．152D ．12 12．如图，设P 为ABC ∆内一点，且5152+=，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（）．A ．15B ．25C ．35D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若两个相似三角形的周长比为3:4，则它们的三角形面积比是____________．14．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BA ，AD=DC=5，则BC 的长是__________．15．已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，则AF AC=____________． 16．在△ABC中，AB AC ==96，，点M 在AB 上且AM =3，点N 在AC 上，联结MN ，使△AMN 与原三角形相似，则AN ＝___________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E ，求证：2AE BF DE AF ⋅=⋅．（ 10分）18．如图，正方形DEMF 内接于△ABC，若1=∆ADE S ，4=D EFM S 正方形，求ABC S ∆（ 12分）例2图 Q P M F ED CB AA BC P A DB19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，E 是BC 上任意一点，EF⊥AB 于F ．求证：EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．（ 12分）21．如图，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，AB c =．CD b =，试说明：222111a b h +=．（ 12分）22．如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（1）求证：EG CG AD CD=；（2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．（ 12分）B答案与解析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13．9:16 14．10 15．13 16．2，或9217．证明：过D 作//DG AB ，交CF 于G ，∴AEF DEG ∆∆，CDG CBF ∆∆，∴AE DE AF DG =，DG CD BF CB=， ∵D 为BC 的中点，12CD CB =， 12DG BF =，12DG BF =， 2AE DE AF BF =，即2AE BF DE AF ⋅=⋅． 18．解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF ＝2,过A 点作AQ⊥BC 于Q ，交DE 于P ，∵1=∆ADE S ，∴AP＝1，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴BCDE AQ AP =，即BC 231= ∴BC＝6，故ABC S ∆＝919．证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ， ∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．20．证明：2AC AD AB =, 2()AC AD AF AD AB AF AD BF -⋅=-=因为Rt ADC Rt EFB ,所以AD EF CD BF=, 则AD BF CD EF =，2AC AD AF CD EF -⋅=⋅,即EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．21．解：等式222111h b a =+成立．理由如下： ∵AB CD ACB ⊥=∠,90 ，∴1122ab AB h =⋅ ， 222AB a b =+， ∴h c ab ⋅=， ∴2222h c b a ⋅=，∴22222)(h b a b a +=， ∴22222222222)(hb a h b a h b a b a +=， ∴222221b a b a h +=， ∴222111b a h +=． 22．证明：在四边形AFEG 中，∵90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=，∴四边形AFEG 为矩形，∴AF EG =，（1）易证EG CG AD CD=，而AF EG =， ∴AF CG AD CD=；（2）ABC △为直角三角形，AD BC ⊥，∴FAD C ∠=∠，即AFD CGD △∽△，∴ADF CDG ∠=∠，又90CDG ADG ∠+∠=，∴90ADF ADG ∠+∠=，即90FDG ∠=，∴FD DG ⊥；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，理由如下：AB AC =，90BAC ∠=，∴AD DC =又因为AFD CGD △∽△ ∴1FD AD GD DC==，FD DG = 又90FDG ∠=∴FDG △,FDG △为等腰直角三角形．。

高中数学选修4-4课后习题答案

高中数学选修4-4课后习题答案高中数学选修4-4课后习题答案在高中数学的学习中，选修课是一个重要的组成部分。

选修课的内容更加深入和拓展，为学生提供了更多的数学知识和技巧。

其中，选修4-4是一门关于概率与统计的课程，通过学习这门课程，学生可以了解到概率与统计在现实生活中的应用，培养他们的数据分析和推理能力。

本文将为大家提供高中数学选修4-4课后习题的答案，希望能够对同学们的学习有所帮助。

1. 事件A发生的概率是0.3，事件B发生的概率是0.5，事件A与事件B同时发生的概率是0.2。

求事件A或事件B发生的概率。

解：根据概率的加法原理，事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去事件A与事件B同时发生的概率。

即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.3 + 0.5 - 0.2 = 0.6。

所以，事件A或事件B发生的概率是0.6。

2. 一批产品共有100个，其中有10个次品。

从中随机抽取3个，求恰好有一个次品的概率。

解：首先，计算次品的概率。

次品的概率等于次品的数量除以总数量。

即P(次品) = 10/100 = 0.1。

然后，计算非次品的概率。

非次品的概率等于非次品的数量除以总数量。

即P(非次品) = 1 - P(次品) = 1 - 0.1 = 0.9。

接下来，计算恰好有一个次品的概率。

这个概率等于从非次品中选取2个乘以从次品中选取1个的概率。

即P(恰好有一个次品) = C(90, 2) × C(10, 1) / C(100, 3) = (90 × 89 / 2) × 10 / (100 × 99 × 98 / 3 × 2 × 1) ≈ 0.271。

所以，恰好有一个次品的概率约为0.271。

3. 某班级有40名学生，其中20名男生，20名女生。

从中随机抽取5名学生，求至少有2名男生的概率。

人教版数学选修4-4《坐标系与参数方程》基础训练题及答案

数学选修4-4 坐标系与参数方程[综合训练B 组]一、选择题1．直线l 的参数方程为()x a t t y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（） A ．1t B ．12t C1 D12．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3．直线112()x tt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（）A ．4(5,)3π-- B ．(5,)3π- C ．(5,)3π D ．5(5,)3π-5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（）A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x6．直线2()1x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（）A．1404 C二、填空题1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。

2．直线3()14x at t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。

3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

4．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为________________。

5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

(人教A版)数学高中选修4-1课时同步练习 (全书完整版)

（人教A 版）高中数学选修4-1（全册）课时同步练习汇总课时跟踪检测(一) 平行线等分线段定理一、选择题1．在梯形ABCD 中, M , N 分别是腰AB 与腰CD 的中点, 且AD ＝2, BC ＝4, 则MN 等于( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图, AD 是△ABC 的高, E 为AB 的中点, EF ⊥BC 于F , 如果DC ＝13BD , 那么FC是BF 的( )A.53倍B.43倍C.32倍D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC , AD ⊥BC , ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点, 由推论1知F 为BD 的中点, 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ,∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm, 一条对角线把中位线分成3∶2两段, 那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图, 设MP ∶PN ＝2∶3, 则MP ＝6 cm, PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线, 在△BAD 中, MP 为其中位线, ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm, 该腰和底边所形成的角为30°, 中位线长为12 cm, 则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2 解析：选D 如图, 过A 作AE ⊥BC , 在Rt △ABE 中, AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm, ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S＝12(AD＋BC)·AE＝12×5×24＝60 (cm2)．二、填空题5．如图, 在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD 的两个三等分点, 连接A1C, A2C1, BC2, 则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图, 过A作直线AM平行于A1C, 过D作直线DN平行于BC2, 由AB∥CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD的两个三等分点, 可得四边形A1CC1A2, 四边形A2C1C2B为平行四边形,所以A1C∥A2C1∥C2B, 所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN, 因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D, 由平行线等分线段定理知, A1C, A2C1, BC2把AD分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图, 在△ABC中, E是AB的中点, EF∥BD, EG∥AC交BD于G, CD＝12AD, 若EG＝2 cm, 则AC＝______；若BD＝10 cm, 则EF＝________.解析：由E是AB的中点, EF∥BD, 得F为AD的中点．由EG∥AC, 得EG＝12AD＝FD＝2 cm,结合CD＝12AD,可以得到F, D是AC的三等分点, 则AC＝3EG＝6 cm.由EF∥BD, 得EF＝12BD＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图, AB＝AC, AD⊥BC于点D, M是AD的中点, CM交AB于点P, DN∥CP.若AB ＝6 cm, 则AP＝________；若PM＝1 cm, 则PC＝________.解析：由AD⊥BC, AB＝AC, 知BD＝CD,又DN∥CP,∴BN＝NP,又AM＝MD, PM∥DN, 知AP＝PN,∴AP＝13AB＝2 cm.易知PM＝12DN, DN＝12PC,∴PC＝4PM＝4 cm.答案：2 cm 4 cm三、解答题8．已知△ABC中, D是AB的中点, E是BC的三等分点(BE>CE), AE, CD交于点F.求证：F是CD的中点．证明：如图,过D作DG∥AE交BC于G,在△ABE中, ∵AD＝BD, DG∥AE,∴BG＝GE.∵E是BC的三等分点,∴BG＝GE＝EC.在△CDG中, ∵GE＝CE, DG∥EF,∴DF＝CF,即F是CD的中点．9.如图, 在等腰梯形中, AB∥CD, AD＝12 cm, AC交梯形中位线EG于点F, 若EF＝4 cm, FG＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM, CN,则四边形DMNC为矩形．∵EG是梯形ABCD的中位线,∴EG∥DC∥AB.∴F是AC的中点．∴DC＝2EF＝8, AB＝2FG＝20,MN＝DC＝8.在Rt△ADM和Rt△BCN中,AD＝BC, ∠DAM＝∠CBN, ∠AMD＝∠BNC,∴△ADM≌△BCN.∴AM＝BN＝12(20－8)＝6.∴DM＝AD2－AM2＝122－62＝6 3.∴S梯形＝EG·DM＝14×63＝84 3 (cm2)．10.已知：梯形ABCD中, AD∥BC, 四边形ABDE是平行四边形, AD 的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图, 连接BE交AF于点O.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BO＝OE.又∵AF∥BC,∴EF＝FC.法二：如图,延长ED交BC于点H.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AB∥ED, AB∥DH,AB＝ED.又∵AF∥BC,∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图, 延长EA交CB的延长线于点M.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BD∥EA, AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM ＝BD . ∴AM ＝AE . ∴EF ＝FC .课时跟踪检测(二) 平行线分线段成比例定理一、选择题1.如图所示, DE ∥AB , DF ∥BC , 下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC解析：选D ∵DF ∥EB , DE ∥FB , ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF , DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE , A 正确． CE CB ＝DE AB ＝BFAB , B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF , C 正确．2．已知线段a , m , n 且ax ＝mn , 求作x , 图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn , 所以a m ＝nx , 故选C.3.如图, 在△ACE 中, B , D 分别在AC , AE 上, 下列推理不．正确的是( )A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCE B．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDE D．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE解析：选D由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的, D 项是错误的．4．如图, 将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A, 折叠至DC边上的点E, 使DE ＝5, 折痕为PQ, 则线段PM和MQ的比是()A．5∶12 B．5∶13 C．5∶19 D．5∶21解析：选C如图, 作MN∥AD交DC于N,∴DNNE＝AMME.又∵AM＝ME, ∴DN＝NE＝12DE＝52.∴NC＝NE＋EC＝52＋7＝192.∵PD∥MN∥QC,∴PMMQ＝DNNC＝52192＝519.二、填空题5．如图所示, 已知DE∥BC, BF∶EF＝3∶2, 则AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC,∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF∶EF＝3∶2,∴AC∶AE＝3∶2.答案：3∶26.如图, 在△ABC中, 点D是AC的中点, 点E是BD的中点, AE的延长线交BC于点F, 则BFFC＝________.解析：过点D作DM∥AF交BC于点M. ∵点E是BD的中点,∴在△BDM中, BF＝FM.∵点D是AC的中点,∴在△CAF中, CM＝MF.∴BFFC＝BFFM＋MC＝12.答案：1 27．如图, 四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6, E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3.若四边形ABCD的周长为1, 则四边形AEFD的周长为________．解析：因为在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6,所以可设AD＝3k, AB＝4k, BC＝6k,作DG⊥BC交BC于点G, 交EF于点H,则DG＝4k, GC＝3k,所以DC＝16k2＋9k2＝5k,因为四边形ABCD的周长为1,所以3k＋4k＋6k＋5k＝1, 所以k＝1 18,因为E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3,所以AE＝4k3, DF＝5k3,取BE , CF 的中点M , N , 令EF ＝x , MN ＝y ,则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是 3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10×118＝59.答案：59三、解答题8.如图, B 在AC 上, D 在BE 上, 且AB ∶BC ＝2∶1, ED ∶DB ＝2∶1, 求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G , 则DG BC ＝ED EB ＝23, 所以DG ＝23BC , 又BC ＝13AC ,所以DG ＝29AC ,所以DF AF ＝DG AC ＝29, 所以DF ＝29AF ,从而AD ＝79AF , 故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图, 在四边形ABCD 中, AC , BD 交于点O , 过O 作AB 的平行线, 与AD , BC 分别交于E , F , 与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明：延长CK , BA , 设它们交于点H . 因为KO ∥HB ,所以KO HB ＝DK DH , KE HA ＝DK DH . 所以KO HB ＝KE HA , 即KO KE ＝HB HA . 因为KF ∥HB , 同理可得KF KO ＝HBHA .所以KO KE ＝KFKO , 即KO 2＝KE ·KF .10.如图所示, 在梯形ABCD中, AD∥BC, EF经过梯形对角线的交点O, 且EF∥AD.(1)求证：EO＝OF；(2)求EOAD＋EOBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.解：(1)证明：∵EF∥AD, AD∥BC, ∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC, ∴EOBC＝AEAB,OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC,∴AEAB＝DFDC.∴EOBC＝OFBC.∴EO＝OF. (2)∵EO∥AD,∴EOAD＝BEBA.由(1)知EOBC＝AEAB,∴EOAD＋EOBC＝BEBA＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EOAD＋EOBC＝1,∴2EOAD＋2EOBC＝2.又EF＝2EO,∴EFAD＋EFBC＝2.∴1AD＋1BC＝2EF.课时跟踪检测(三)相似三角形的判定一、选择题1．如图所示, 点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点, AE与CD相交于点F, 则图中相似三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B有3对, 因为∠ABC＝∠ADF, ∠AEB＝∠EAD, 所以△ABE∽△FDA, 因为∠ABC＝∠DCE, ∠E为公共角,所以△BAE∽△CFE.因为∠AFD＝∠EFC, ∠DAF＝∠AEC,所以△ADF∽△ECF.2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形, 则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图, 要使△ACD ∽△BCA , 下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝AD BC B.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C , 只有AC CD ＝CBAC , 即AC 2＝CD ·CB 时, 才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图, 在等边三角形ABC 中, E 为AB 的中点, 点D 在AC 上, 使得AD AC ＝13, 则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD 解析：选B 因为∠A ＝∠C , BC AE ＝CDAD＝2, 所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示, 在△ABC 中, 点D 在线段BC 上, ∠BAC ＝∠ADC , AC ＝8, BC ＝16, 那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC , 又∠C ＝∠C , ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC . 又∵AC ＝8, BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D, BC＝3, AC＝4, 则AD＝________, BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5,∵Rt△ABC∽Rt△ACD,∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD,∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中, AD为∠BAC的平分线, AD的垂直平分线EF与AD交于点E, 与BC的延长线交于点F, 若CF＝4, BC＝5, 则DF＝________.解析：连接AF.∵EF⊥AD, AE＝ED,∴AF＝DF,∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF,∠FDA＝∠BAD＋∠B,且∠DAC＝∠BAD,∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB, ∴△AFC∽△BFA.∴AFCF＝BFAF.∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.∴AF＝6, 即DF＝6.答案：6三、解答题8.如图, D在AB上, 且DE∥BC交AC于点E, F在AD上, 且AD2＝AF·AB.求证：△AEF∽△ACD.证明：∵DE∥BC, ∴ADAB＝AEAC.∵AD2＝AF·AB, ∴ADAB＝AFAD.∴AEAC＝AFAD.又∠A＝∠A, ∴△AEF∽△ACD.9.如图, 直线EF交AB, AC于点F, E, 交BC的延长线于点D, AC⊥BC, 且AB·CD＝DE·AC.求证：AE·CE＝DE·EF.证明：∵AB·CD＝DE·AC∴ABDE＝ACCD.∵AC⊥BC,∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC, ∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图, 在△ABC中, EF∥CD, ∠AFE＝∠B, AE＝6, ED＝3, AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD,∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6, ED＝3, AF＝8,∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC, ∴∠AFE＝∠ACD, 又∠AFE＝∠B, ∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.课时跟踪检测(四) 相似三角形的性质一、选择题1．如图, △ABC 中, DE ∥BC , 若AE ∶EC ＝1∶2, 且AD ＝4 cm, 则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC , 得△ADE ∽△ABC , ∴AD AB ＝AE AC , ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图, 在▱ABCD 中, E 是BC 的中点, AE 交对角线BD 于点G , 且△BEG 的面积是1 cm 2, 则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC , 所以△BEG ∽△DAG , 因为BE ＝EC , 所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝⎛⎭⎫BE DA 2＝14, 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)．又因为AD ∥BC , 所以AG EG ＝DABE ＝2, 所以S △BAG S △BEG ＝AG EG＝2,所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2),所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2), 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示, 在▱ABCD 中, AB ＝10, AD ＝6, E 是AD 的中点, 在AB 上取一点F , 使△CBF ∽△CDE , 则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE , ∴BF DE ＝CB CD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.4．如图, AB ∥EF ∥CD , 已知AB ＝20, DC ＝80, 那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD , ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45.∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点E 在AB 上且EB ＝2AE , AC 与DE 交于点F , 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE , 得△CDF ∽△AEF , 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图, 在△ABC 中有一个矩形EFGH , 其顶点E , F 分别在AC , AB 上, G , H 在BC 上, 若EF ＝2FG , BC ＝20, △ABC 的高AD ＝10, 则FG ＝________.解析：设FG ＝x , 因为EF ＝2FG , 所以EF ＝2x .因为EF ∥BC , 所以△AFE ∽△ABC , 所以AM AD ＝EFBC , 即10－x 10＝2x 20,解得x ＝5, 即FG ＝5. 答案：57．如图所示, 在矩形ABCD 中, AE ⊥BD 于E , S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°, AE ⊥BD , 所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm, DB ＝5k cm, 则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2,所以k ·2k ＝40, 所以k ＝25(cm)．所以BD ＝5k ＝10 (cm), AD ＝45(cm)．又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20,所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)．答案：4 cm 三、解答题8．如图, 已知△ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝AC , D 为AB 的中点, E 是AC 上的点, BE , CD 交于点M .若AC ＝3AE , 求∠EMC 的度数．解：如图, 作EF ⊥BC 于点F , 设AB ＝AC ＝3, 则AD ＝32, BC ＝32,CE ＝2, EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC , ∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ,∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图, ▱ABCD 中, E 是CD 的延长线上一点, BE 与AD 交于点F , DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2, 求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A ＝∠C , AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC , AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB , △DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ,∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE EC 2＝19, S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2,∴S △CEB ＝18, S △ABF ＝8, ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示, 甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度, 甲在操场上C 处直立3 m 高的竹竿CD , 乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合, 量得CE ＝3 m, 乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1, 乙从E 处退后6 m 到E 1处, 恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合, 量得C 1E 1＝4 m, 求旗杆AB的高．解：设F 1F 与AB , CD , C 1D 1分别交于点G , M , N , GB ＝x m, GM ＝y m. 因为MD ∥GB ,所以∠BGF ＝∠DMF , ∠GBF ＝∠MDF , 所以△BGF ∽△DMF , 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m), 所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB , 同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1, 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1,即1.5x ＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m), 即旗杆AB 的高为10.5 m.课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理一、选择题1．已知Rt △ABC 中, 斜边AB ＝5 cm, BC ＝2 cm, D 为AC 上一点, DE ⊥AB 交AB 于点E , 且AD ＝3.2 cm, 则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图, ∵∠A ＝∠A , ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC , ∴AD AB ＝DEBC, ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)．2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2, 则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2, 则斜边长为5, ∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm, 斜边上的高为2.4 cm, 则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm), 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm),∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示, 在△ABC 中, ∠ACB ＝90°, CD ⊥AB , D 为垂足, 若CD ＝6 cm, AD ∶DB ＝1∶2, 则AD 的长是( )A．6 cm B．3 2 cm C．18 cm D．3 6 cm解析：选B∵AD∶DB＝1∶2,∴可设AD＝t, DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB, ∴36＝t·2t,∴2t2＝36, ∴t＝32(cm), 即AD＝3 2 cm.二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1, 则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示, 四边形ABCD是矩形, ∠BEF＝90°, ①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD为矩形,所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°, 所以∠AEB＋∠DEF＝90°.因为∠DEF＋∠DFE＝90°, 所以∠AEB＝∠DFE.所以△ABE∽△DEF.答案：①③7．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB, AC＝6, AD＝3.6, 则BC＝________.解析：由射影定理得,AC2＝AD·AB, BC2＝BD·AB,∴AC2BC2＝ADBD, 即BC2＝AC2·BDAD.又∵CD2＝AD·BD,∴BD＝CD2 AD.∴BC2＝AC2·CD2AD2＝62(62－3.62)3.62＝64.∴BC＝8.答案：8三、解答题8．如图所示, D为△ABC中BC边上的一点, ∠CAD＝∠B, 若AD ＝6, AB＝10, BD＝8, 求CD的长．解：在△ABD中, AD＝6, AB＝10, BD＝8,满足AB2＝AD2＋BD2,∴∠ADB＝90°, 即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B, 且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°, 即∠BAC＝90°.故在Rt△BAC中, AD⊥BC,由射影定理知AD2＝BD·CD, 即62＝8·CD,∴CD＝9 2.9.如图, AD, BE是△ABC的两条高, DF⊥AB, 垂足为F, 直线FD交BE 于点G , 交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中,因为∠H ＋∠BAC ＝90°, ∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°, 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°, 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF ,所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中, FD ⊥AB , 所以DF 2＝AF ·BF , 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm, 一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图, 设CD ＝3x , BD ＝5x , 则BC ＝8x , 过D 作DE ⊥AB , 由题意可得, DE ＝3x , BE ＝4x , ∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ,∴AC ＝24－6x , AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2,解得x 1＝0(舍去), x 2＝2. ∴AB ＝20, AC ＝12, BC ＝16, ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F , ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理, BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm, 645 cm.课时跟踪检测(六) 圆周角定理一、选择题1．如图, △ABC 内接于⊙O , OD ⊥BC 于D , ∠A ＝50°, 则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：选A 连接OB .因为∠A ＝50°, 所以BC 弦所对的圆心角∠BOC ＝100°, ∠COD ＝12∠BOC ＝50°, ∠OCD ＝90°－∠COD ＝90°－50°＝40°.所以∠OCD ＝40°.2．如图, CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD 于点E , ∠BCD ＝25°, 则下列结论错误的是( )A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．∠AOD ＝50°D ．D 是AB 的中点解析：选B 因为CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD , 所以AD ＝BD , AE ＝BE . 因为∠BCD ＝25°,所以∠AOD ＝2∠BCD ＝50°, 故A 、C 、D 项结论正确, 选B.3．Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, ∠A ＝30°, AC ＝23, 则此三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：选B 由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径, 又AB ＝23cos 30°＝4, 故外接圆半径r ＝12AB ＝2.4．如图, 已知AB 是半圆O 的直径, 弦AD , BC 相交于点P , 若CD ＝3, AB ＝4, 则tan ∠BPD 等于( )A.34B.43C.53D.73解析：选D 连接BD , 则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB , ∴CD AB ＝PD PB ＝34.在Rt △BPD 中, cos ∠BPD ＝PD PB ＝34,∴tan ∠BPD ＝73. 二、填空题5．如图, △ABC 为⊙O 的内接三角形, AB 为⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上, ∠ADC ＝68°, 则∠BAC ＝________.解析：AB 是⊙O 的直径, 所以弧ACB 的度数为180 °, 它所对的圆周角为90°, 所以∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－∠ADC ＝90°－68°＝22°.答案：22°6．如图, A , E 是半圆周上的两个三等分点, 直径BC ＝4, AD ⊥BC , 垂足为D , BE 与AD 相交于点F , 则AF 的长为______．解析：如图, 连接AB , AC , 由A , E 为半圆周上的三等分点, 得∠FBD ＝30°, ∠ABD ＝60°, ∠ACB ＝30°. 由BC ＝4,得AB ＝2, AD ＝3, BD ＝1,则DF ＝33, 故AF ＝233. 答案：2337．如图所示, 已知⊙O 为△ABC 的外接圆, AB ＝AC ＝6, 弦AE 交BC 于点D , 若AD ＝4, 则AE ＝________.解析：连接CE , 则∠AEC ＝∠ABC . 又△ABC 中, AB ＝AC , ∴∠ABC ＝∠ACB , ∴∠AEC ＝∠ACB , ∴△ADC ∽△ACE , ∴AD AC ＝AC AE , ∴AE ＝AC 2AD ＝9.答案：9 三、解答题8．如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB 于点N , 点M 在⊙O 上, ∠1＝∠C .(1)求证：CB ∥MD ；(2)若BC ＝4, sin M ＝23, 求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为∠C 与∠M 是同一弧所对的圆周角, 所以∠C ＝∠M .又∠1＝∠C , 所以∠1＝∠M ,所以CB ∥MD (内错角相等, 两直线平行)．(2)由sin M ＝23知, sin C ＝23,所以BN BC ＝23, BN ＝23×4＝83.由射影定理得：BC 2＝BN ·AB , 则AB ＝6. 所以⊙O 的直径为6.9.如图, 已知△ABC 内接于圆, D 为BC 的中点, 连接AD 交BC 于点E . 求证：(1)AE EC ＝BE ED ； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 证明：(1)连接CD . ∵∠1＝∠3, ∠4＝∠5, ∴△ABE ∽△CDE .∴AE EC ＝BE ED. (2)连接BD . ∵AE EC ＝BEDE, ∴AE ·DE ＝BE ·EC .∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD .①在△ABD 与△AEC 中, ∵D 为BC 的中点, ∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB , ∴△ABD ∽△AEC .∴AB AE ＝AD AC , 即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .10.如图所示, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I, 延长AI 交⊙O于点D, 连接BD, DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10 cm, ∠BAC＝120°, 求△BCD的面积．解：(1)证明：因为AI平分∠BAC,所以∠BAD＝∠DAC,所以BD＝DC, 所以BD＝DC.因为BI平分∠ABC, 所以∠ABI＝∠CBI,因为∠BAD＝∠DAC, ∠DBC＝∠DAC,所以∠BAD＝∠DBC.又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI,∠DIB＝∠ABI＋∠BAD,所以∠DBI＝∠DIB, 所以△BDI为等腰三角形,所以BD＝ID, 所以BD＝DC＝DI.(2)当∠BAC＝120°时,△ABC为钝角三角形,所以圆心O在△ABC外．连接OB, OD, OC,则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD＝120°,所以∠DBC＝∠DCB＝60°,所以△BDC为正三角形．所以OB是∠DBC的平分线．延长CO交BD于点E, 则OE⊥BD,所以BE＝12BD.又因为OB＝10,所以BC＝BD＝2OB cos 30°＝2×10×32＝103,所以CE＝BC·sin 60°＝103×32＝15,所以S△BCD＝12BD·CE＝12×103×15＝75 3.所以△BCD的面积为75 3.课时跟踪检测(七) 圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°, E是BA延长线上一点, 若∠DAE＝36°, 则四边形ABCD()A．一定有一个外接圆B．四个顶点不在同一个圆上C．一定有内切圆D．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A因为∠C＝36°, ∠DAE＝36°, 所以∠C与∠BAD的一个外角相等, 由圆内接四边形判定定理的推论知, 该四边形有外接圆, 故选A.2．圆内接四边形ABCD中, ∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：选B由四边形ABCD内接于圆, 得∠A＋∠C＝∠B＋∠D, 从而只有B项符合题意．3．如图, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, E为AB的延长线上一点, ∠CBE＝40°, 则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：选C四边形ABCD是圆内接四边形, 且∠CBE＝40°, 由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°, 又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.4．已知四边形ABCD是圆内接四边形, 下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C, 则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B, 则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确, ②④错误．二、填空题5．如图, 直径AB＝10, 弦BC＝8, CD平分∠ACB, 则AC＝______, BD＝________.解析：∠ACB＝90°, ∠ADB＝90°.在Rt△ABC中, AB＝10, BC＝8,∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB, 即∠ACD＝∠BCD,∴AD＝BD.∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 26．如图, 在圆内接四边形ABCD中, AB＝AD, AC＝1, ∠ACD＝60°, 则四边形ABCD 的面积为________．解析：过A作AE⊥BC于E, AF⊥CD于F.因为∠ADF＋∠ABC＝180°,∠ABE＋∠ABC＝180°,所以∠ABE＝∠ADF.又因为AB＝AD,∠AEB＝∠AFD＝90°,所以Rt△AEB≌Rt△AFD.所以S四边形ABCD＝S四边形AECF, AE＝AF. 又因为∠E＝∠AFC＝90°, AC＝AC, 所以Rt△AEC≌Rt△AFC.因为∠ACD＝60°, ∠AFC＝90°,所以∠CAF＝30°.因为AC＝1,所以CF＝12, AF＝32,所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×12CF×AF＝34.答案：3 47.如图, 已知四边形ABCD内接于圆, 分别延长AB和DC相交于点E, EG平分∠E, 且与BC, AD分别相交于F, G, 若∠AED＝40°, ∠CFG＝80°, 则∠A＝________.解析：∵EG平分∠E, ∴∠FEC＝20°.∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A＝∠FCE＝60°.答案：60°三、解答题8.如图, 在△ABC中, ∠C＝60°, 以AB为直径的半圆O分别交AC, BC于点D, E, 已知⊙O的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长．解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形,所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．又∠C＝∠C,所以△CDE∽△CBA.(2)法一：连接AE.由(1)得DEBA＝CECA,因为AB为⊙O的直径,所以∠AEB ＝∠AEC ＝90°.在Rt △AEC 中, 因为∠C ＝60°, 所以∠CAE ＝30°, 所以DE BA ＝CE CA ＝12, 即DE ＝2 3.法二：连接DO , EO . 因为AO ＝DO ＝OE ＝OB , 所以∠A ＝∠ODA , ∠B ＝∠OEB .由(1)知∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED ＝120°, 又∠A ＋∠B ＋∠ADE ＋∠DEB ＝360°, 所以∠ODE ＋∠OED ＝120°, 则∠DOE ＝60°,所以△ODE 为等边三角形, 所以DE ＝OB ＝2 3.9.如图, A , B , C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点, 且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F , 延长DC 到G , 使得EF ＝EG , 证明：A , B , G , F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED , 所以∠EDC ＝∠ECD .因为A , B , C , D 四点在同一圆上, 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知, AE ＝BE . 因为EF ＝EG ,故∠EFD ＝∠EGC , 从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF , BG , 则△EFA ≌△EGB , 故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB , ∠EDC ＝∠ECD , 所以∠FAB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A , B , G , F 四点共圆．10．如图, 已知⊙O 的半径为2, 弦AB 的长为23, 点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上的任一点(点C , D 均不与A , B 重合)．(1)求∠ACB ；(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA , OB , 作OE ⊥AB , E 为垂足, 则AE ＝BE . Rt △AOE 中, OA ＝2, AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.∴sin ∠AOE ＝AE OA ＝32,∴∠AOE ＝60°, ∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB , ∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形, ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°. 从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB , 垂足为F , 则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然, 当DF 经过圆心O 时, DF 取最大值, 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3, S △ABD ＝33, 即△ABD 的最大面积是3 3.课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理一、选择题1.如图, AB切⊙O于点B, 延长AO交⊙O于点C, 连接BC.若∠A＝40°, 则∠C等于()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：选B连接OB, 因为AB切⊙O于点B,所以OB⊥AB, 即∠ABO＝90°,所以∠AOB＝50°,又因为点C在AO的延长线上, 且在⊙O上,所以∠C＝12∠AOB＝25°.2．如图, AB是⊙O的直径, BC是⊙O的切线, AC交⊙O于D.若AB＝6, BC＝8, 则BD等于()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：选B∵AB是⊙O的直径, ∴BD⊥AC.∵BC是⊙O的切线, ∴AB⊥BC.∵AB＝6, BC＝8, ∴AC＝10.∴BD＝AB·BCAC＝4.8.3．如图, AB是⊙O的直径, BC交⊙O于点D, DE⊥AC于点E, 要使DE是⊙O的切线, 还需补充一个条件, 则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时, 如图,连接AD, 因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BC, 所以CD＝BD.因为AO ＝BO ,所以OD 是△ABC 的中位线, 所以OD ∥AC .因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD , 所以DE 是⊙O 的切线．所以选项B 正确．当CD ＝BD 时, AO ＝BO , 同选项B, 所以选项C 正确．当AC ∥OD 时, 因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD .所以DE 是⊙O 的切线．所以选项D 正确．4．如图, 在⊙O 中, AB 为直径, AD 为弦, 过B 点的切线与AD 的延长线交于C , 若AD ＝DC , 则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55 D.24解析：选A 连接BD , 则BD ⊥AC . ∵AD ＝DC , ∴BA ＝BC , ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线, 切点为B , ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55,cos ∠BCO＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO＝22×255－22×55＝1010.二、填空题5.如图, ⊙O的半径为3 cm, B为⊙O外一点, OB交⊙O于点A, AB ＝OA, 动点P从点A出发, 以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时, BP与⊙O相切．解析：连接OP.当OP⊥PB时, BP与⊙O相切．因为AB＝OA, OA＝OP,所以OB＝2OP,又因为∠OPB＝90°, 所以∠B＝30°,所以∠O＝60°.因为OA＝3 cm,所以AP＝60×π×3180＝π, 圆的周长为6π,所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；所以当t＝1 s或5 s时, BP与⊙O相切．答案：1或56．已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA＝2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于B点, PB ＝1.则圆O的半径R＝________.解析：如图, 连接AB,则AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC,∴BC＝3, 在Rt△ABC中,AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴半径R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6, C为圆周上一点, BC＝3, 过C作圆的切线l, 过A作l的垂线AD , AD 分别与直线l 、圆交于点D , E , 则∠DAC ＝________, DC ＝________.解析：连接OC .∵OC ＝OB , ∴∠OCB ＝∠OBC . 又∠DCA ＋∠ACO ＝90°, ∠ACO ＋∠OCB ＝90°, ∴∠DCA ＝∠OCB . ∵OC ＝3, BC ＝3, ∴△OCB 是正三角形．∴∠OBC ＝60°, 即∠DCA ＝60°. ∴∠DAC ＝30°.在Rt △ACB 中, AC ＝AB 2－BC 2＝33, DC ＝AC sin 30°＝32 3.答案：30° 332三、解答题8．如图, 已知在△ABC 中, AB ＝AC , 以AB 为直径的⊙O 交BC 于D , 过D 点作⊙O 的切线交AC 于E .求证：(1)DE ⊥AC ； (2)BD 2＝CE ·CA . 证明：(1)连接OD , AD . ∵DE 是⊙O 的切线, D 为切点, ∴OD ⊥DE .∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC .又AB ＝AC , ∴BD ＝DC .又O 为AB 的中点, ∴OD ∥AC .∴DE ⊥AC . (2)∵AD ⊥BC , DE ⊥AC , ∴△CDE ∽△CAD . ∴CD CA ＝CECD.∴CD 2＝CE ·CA . 又∵BD ＝DC , ∴BD 2＝CE ·CA .9.如图, ⊙O 内切于△ABC , 切点分别为D , E , F , AB ＝AC , 连接AD 交⊙O 于H , 直线FH 交BC 的延长线于G .(1)求证：圆心O 在AD 上；(2)求证：CD＝CG；(3)若AH∶AF＝3∶4, CG＝10, 求FH的长．解：(1)证明：由题知AE＝AF,CF＝CD, BD＝BE,又∵AB＝AC,∴CD＝CF＝BE＝BD.∴D为BC中点．∴AD是∠BAC的角平分线．∴圆心O在AD上．(2)证明：连接DF.∵O在AD上, ∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.∵CF＝CD, ∴∠CFD＝∠FDC.∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.∴CG＝CF.∴CG＝CD.(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA, 又∠FAD为公共角, 则△AHF∽△AFD.∴FHFD＝AHAF＝34.∴在Rt△HFD中, FH∶FD∶DH＝3∶4∶5. ∵△HDF∽△DGF,∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.∴DF＝3×20×15＝12, ∴FH＝34FD＝9.10.如图, 四边形ABCD内接于⊙O, BD是⊙O的直径, AE⊥CD, 垂足为E, DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°, DE＝1 cm, 求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD,∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE,∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径,∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°, ∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中, ∠AED＝90°, ∠EAD＝30°,∴AD＝2DE.在Rt△ABD中, ∠BAD＝90°, ∠ABD＝30°,∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P在⊙O外, PM切⊙O于C, PAB交⊙O于A, B, 则()A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：选C由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．如图, PC与⊙O相切于C点, 割线PAB过圆心O, ∠P＝40°, 则∠ACP等于()A．20°B．25°C．30°D．40°解析：选B连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵∠P＝40°,∴∠POC＝50°.连接BC,则∠B＝12∠POC＝25°,∴∠ACP＝∠B＝25°.3．如图, AB是⊙O的直径, EF切⊙O于C, AD⊥EF于D, AD＝2, AB＝6, 则AC的长为()A．2 B．3 C．2 3 D．4解析：选C连接BC, 则∠ACB＝90°, 又AD⊥EF,∴∠ADC＝90°,即∠ADC＝∠ACB,又∵∠ACD＝∠ABC,∴△ABC∽△ACD,∴ACAD＝ABAC,∴AC2＝AD·AB＝12,即AC＝2 3.4．如图, AB是⊙O的直径, P在AB的延长线上, PD切⊙O于C点, 连接AC, 若AC＝PC, PB＝1, 则⊙O的半径为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A连接BC.∵AC＝PC, ∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A, ∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC PA＝PB PC.∴PC2＝PB·PA,即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2,设⊙O半径为r,则4r2－12＝1·(1＋2r), 解得r＝1.二、填空题5．如图, AB是⊙O的直径, PB, PE分别切⊙O于B, C, 若∠ACE＝40°, 则∠P＝________.解析：连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°,∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°6．如图, 点P在圆O直径AB的延长线上, 且PB＝OB＝2, PC切圆O于C点, CD⊥AB于D点, 则CD＝________.解析：连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2, OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD,∴CD＝2×234＝ 3.答案： 37．如图, 过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A, B, 且PB＝7, C是圆上一点使得BC＝5, ∠BAC＝∠APB, 则AB＝________.解析：由PA为⊙O的切线, BA为弦,得∠PAB＝∠BCA,又∠BAC＝∠APB,于是△APB∽△CAB,所以PBAB＝ABBC.而PB＝7, BC＝5,故AB2＝PB·BC＝7×5＝35, 即AB＝35.答案：35三、解答题8.如图, AB是半圆O的直径, C是圆周上一点(异于A, B), 过C作圆O的切线l, 过A作直线l的垂线AD, 垂足为D, AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.证明：连接AC, BE, 在DC延长线上取一点F, 因为AB是半圆O的直径, C为圆周上一点,所以∠ACB＝90°,即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l, 所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线, 所以∠CEB＝∠BCF,又∠DAC＝∠CBE,所以∠CBE＝∠CEB,所以CB＝CE.9.如图所示, △ABC内接于⊙O, AB＝AC, 直线XY切⊙O于点C, 弦BD∥XY, AC, BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm, BC＝4 cm, 求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线,所以∠1＝∠2.因为BD∥XY, 所以∠1＝∠3,所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4, 所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD,又因为AB＝AC,所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2, ∠ABC＝∠ACB,所以△BCE∽△ACB, 所以BCAC＝CECB,即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm, BC＝4 cm, 所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图, 已知C点在圆O直径BE的延长线上, CA切圆O于A点, DC是∠ACB的角平分线, 交AE于点F, 交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC, 求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线,∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线,∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD, 即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE＝90°,∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC, ∠ACB＝∠ACE,∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中, ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段一、选择题1．在半径为12 cm的圆中, 垂直平分半径的弦的长为()A．3 3 cm B．27 cm C．12 3 cm D．6 3 cm解析：选C法一：如图所示, OA＝12, CD为OA的垂直平分线, 连接OD.在Rt△POD中,PD＝OD2－OP2＝122－62＝63,∴CD＝2PD＝123(cm)．法二：如图, 延长AO交⊙O于M,由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线,∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6, PM＝6＋12＝18,∴PD2＝6×18.∴PD＝6 3.∴CD＝2PD＝123(cm)．2．如图, CA, CD分别切圆O1于A, D两点, CB, CE分别切圆O2于B, E两点．若∠1＝60°, ∠2＝65°, 判断AB, CD, CE的长度, 下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°, ∠2＝65°,所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°,所以∠2>∠1>∠ABC,所以AB>BC>AC.。

高三基础知识天天练数学选修4-4-1人教版

选修4-4 第1节[知能演练]一、选择题1．点M (ρ，θ)关于极点对称的点的坐标为( )A ．(－ρ，－θ)B ．(ρ，π＋θ)C ．(ρ，π－θ)D ．(ρ，－θ)答案：B2．将曲线y ＝12sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y 答案：D3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)解析：ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2， tan θ＝3，∴θ＝4π3，z ＝3，∴选C.答案：C4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )A ．ρsin θ＝2B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：圆ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径r ＝2，对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线(y ＝2)与圆相交；对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线(x ＝2)与圆相切；选项C ，D 对应的直线与圆都相离．答案：B 二、填空题5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．解析：∵点M 的极坐标为(6，11π6)，∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3，∴点M 的直角坐标为(33，－3)，∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．答案：(－33，－3)6．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．解析：在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程：3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离：d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：1 三、解答题7．说出由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan2x 的变换过程，并求满足其图形变换的伸缩变换．解：y ＝tan x 的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan2x .设y ′＝3tan2x ′，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ>0y ′＝μ·y μ>0，将其代入y ′＝3tan2x ′，得μy ＝3tan2λx与y ＝tan x 比较，可得⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝3λ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y.8．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求RP 的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12，∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得RP 的最小值为1.[高考·模拟·预测]1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析：直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.答案：4 33．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x ＋y －2＝0，故点(1,0)到直线距离d ＝|1＋0－2|2＝22.答案：224．两直线ρsin(θ＋π4)＝2008，ρsin(θ－π4)＝2009的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)解析：两直线方程可化为x ＋y ＝20082，y －x ＝ 20092，故两直线垂直．答案：垂直5．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程．同理，x 2＋y 2＋y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.6．求经过极点O (0,0)，A (6，π2)，B (62，9π4)三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos(θ－π4)．。

(人教A版)高中数学选修4-1(全册)同步练习汇总

(人教A版)高中数学选修4 -1 (全册)同步练习汇总第|一讲相似三角形的判定及有关性质1.1 平行线等分线段定理A级|根底稳固一、选择题1．以下命题中正确的个数为()①一组平行线截两条直线, 所得到的平行线间线段都相等．②一组平行线截两条平行直线, 所得到的平行线间线段都相等．③三角形两边中点的连线必平行第三边．④梯形两腰中点的连线必与两底边平行．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确, 它们分别是三角形、梯形的中位线．①②错, 因为平行线间线段含义不明确．答案：B2．如下图, l1∥l2∥l3, 且AE＝ED, AB, CD相交于l2上一点O, 那么OC＝()A．OA B．OBC．OD D．OE解析：由平行线等分线段定理可得OC＝OD.答案：C3．如下图, AB∥CD∥EF, 且AO＝OD＝DF, BC＝6, 那么BE 为()A．9 B．10C．11 D．12解析：过O作直线l∥AB,由AB∥l∥CD∥EF, AO＝OD＝DF,知BO＝OC＝CE.又BC＝6, 所以CE＝3, 故BE＝9.答案：A4．如下图, 在△ABC 中, DE 是中位线, △ABC 的周长是16 cm, 其中DC ＝2 cm, DE ＝3 cm, 那么△ADE 的周长是( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．10 cm解析：因为DC ＝2 cm , DE ＝3 cm , DE 为中位线, 所以AB ＝16－4－6＝6(cm), 所以AE ＝3 cm. 所以△ADE 周长为8 cm. 答案：C5．如图, AD 是△ABC 的高, DC ＝13BD , M , N 在AB 上, 且AM ＝MN ＝NB , ME ⊥BC 于E , NF ⊥BC 于F , 那么FC ＝( )A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 解析：因为AD ⊥BC , ME ⊥BC , NF ⊥BC , 所以NF ∥ME ∥AD , 因为AM ＝MN ＝NB , 所以BF ＝FE ＝ED . 又因为DC ＝13BD ,所以BF＝FE＝ED＝DC,所以FC＝34BC.答案：C二、填空题6.如下图, 在△ABC中, E是AB的中点, EF∥BD, EG∥AC交BD于G, CD＝12AD, 假设EG＝5 cm, 那么AC＝________；假设BD＝20 cm, 那么EF＝________．解析：E为AB中点, EF∥BD,那么AF＝FD＝12AD, 即AF＝FD＝CD.又EF∥BD, EG∥AC,所以四边形EFDG为平行四边形, FD＝5 cm.所以AC＝AF＋FD＋CD＝15 cm.因为EF＝12BD, 所以EF＝10 cm.答案：15 cm10 cm7．如下图, 在直角梯形ABCD中, DC∥AB, CB⊥AB, AB＝AD＝a, CD＝a2, 点E, F分别是线段AB, AD的中点, 那么EF＝________．解析：连接DE, 由于点E是AB的中点, 故BE＝a2.又CD＝a2, AB∥DC, CB⊥AB,所以四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中, AD＝a, 点F是AD的中点, 故EF＝a 2.答案：a 2三、解答题8．如下图, 在▱ABCD中, E、F分别为AD、BC的中点, 连BE、DF交AC于G、H点．求证：AG＝GH＝HC.证明：因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD綊BC, 又因为ED＝12AD, BF＝12BC,所以ED綊BF,所以四边形EBFD是平行四边形, 所以BE∥FD.在△AHD中, 因为EG∥DH,E是AD的中点,所以AG＝GH,同理在△GBC中, GH＝HC,所以AG＝GH＝HC.9.如下图, 在等腰梯形ABCD中, AB∥CD, AD＝12 cm, AC交梯形中位线EG于点F.假设EF＝4 cm, FG＝10 cm, 求梯形ABCD的面积．解：作高DM、CN, 那么四边形DMNC为矩形．因为EG是梯形ABCD的中位线,所以EG∥DC∥AB.所以点F是AC的中点．所以DC＝2EF＝8 cm,AB＝2FG＝20 cm,MN＝DC＝8 cm.在Rt△ADM和Rt△BCN中,AD＝BC, ∠DAM＝∠CBN,∠AMD＝∠BNC,所以△ADM≌△BCN.所以AM＝BN＝12(20－8)＝6(cm)．所以DM＝AD2－AM2＝122－62＝63(cm)．所以S梯形＝EG·DM＝(4＋10)×63＝843(cm2)．B级|能力提升1.如下图, 在△ABC 中, BD 为AC 边上的中线, DE ∥AB 交BC 于E , 那么阴影局部面积为△ABC 面积的( )A.14B.13C.15D.16 解析：因为D 为AC 的中点, DE ∥AB , 所以E 为BC 的中点．所以S △BDE ＝S △DEC , 即S △BDE ＝12S △BDC ＝14S △ABC .答案：A2.如下图, 梯形ABCD 中, AD ∥BC , E 为AB 的中点, EF ∥BC , G 是BC 边上任一点, 如果S △GEF ＝22cm 2, 那么梯形ABCD 的面积是________．解析：因为E 为AB 的中点, EF ∥BC , 所以DF ＝FC .所以EF 为梯形ABCD 的中位线．所以EF ＝12(AD ＋BC ),且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半．所以S 梯形ABCD ＝4S △GEF ＝4×22＝82(cm 2)．答案：8 2 cm 23.如下图, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC , DC ⊥BC , ∠B ＝ 60°, AB ＝BC , E 为AB 的中点, 求证△ECD 为等边三角形．证明：如下图, 连接AC, 过点E作EF平行于AD交DC于点F.因为AD∥BC, 所以AD∥EF∥BC.又因为E是AB的中点, 所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)．因为DC⊥BC, 所以EF⊥DC,所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．所以△EDC为等腰三角形．因为AB＝BC, ∠B＝60°,所以△ABC是等边三角形．所以∠ACB＝60°.又因为E是AB边的中点,所以CE平分∠ACB,所以∠FEC＝∠ECB＝30°,所以∠DEF＝30°, 所以∠DEC＝60°.又因为ED＝EC, 所以△ECD为等边三角形．第|一讲相似三角形的判定及有关性质1.2 平行线分线段成比例定理A 级| 根底稳固一、选择题1.如下图, 以下选项不能判定DE ∥BC 的是( )A.AD DB ＝AE CEB.AB AC ＝AD AEC.AE AB ＝DE BCD.AD AB ＝DE BC解析：由平行线分线段成比例定理推论易知C 不成立．答案：C2．如下图, AA ′∥BB ′∥CC ′, AB ∶BC ＝1∶3, 那么以下等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ． AB ＝A ′B ′解析：因为AA ′∥BB ′∥CC ′, 所以AB BC ＝A ′B ′B ′C ′.因为AB ∶BC ＝1∶3, 所以A ′B ′∶B ′C ′＝1∶3. 所以B ′C ′＝3A ′B ′. 答案：B3．如下图, DE ∥AB , DF ∥BC , 假设AF ∶FB ＝m ∶n , BC ＝a , 那么CE ＝( )A.am nB.an mC.am m ＋nD.an m ＋n解析：因为DF ∥BC , 所以AF FB ＝AD DC ＝mn .因为DE ∥AB , 所以AD DC ＝BE EC ＝BC －EC EC ＝a －EC EC ＝m n. 所以EC ＝an m ＋n .答案：D4．如下图, AD 是△ABC 的中线, 点E 是CA 边的三等分点, BE 交AD 于点F , 那么AF ∶FD 为( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1解析：过D 作DG ∥AC 交BE 于G , 所以DG ＝12EC .又AE ＝2EC ,所以AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC∶12EC＝4∶1.答案：C5.如下图, AB∥EF∥CD, AB＝20, DC＝80, 那么EF等于()A．10 B．12C．16 D．18解析：因为AB∥EF∥CD,所以EFAB＝CFBC,EFCD＝BFBC.所以EFAB＋EFCD＝CFBC＋BFBC＝BCBC＝1,即EF20＋EF80EF＝16.答案：C二、填空题6.如下图, 在△ABC中, D是AB上一点, DE∥BC交AC于点E, 假设AD∶AB＝1∶3, 且CE＝4, 那么AE＝________.解析：由AD∶AB＝1∶3,得AD∶DB＝1∶2.因为DE∥BC, 所以AD∶DB＝AE∶EC,即1∶2＝AE∶AE＝2.答案：27．如下图, l1∥l2∥l3, AB＝5 cm, BC＝3 cm, DF＝24 cm, 那么DE＝________．解析：因为l1∥l2∥l3, 所以ABBC＝DEEF.所以53＝DE 24－DE.所以DE＝15 cm.答案：15 cm8．如下图, 在△ABC中, DE∥BC, DF∥AC, AE＝2, EC＝1, BC ＝4, 那么BF＝________．解析：在△ABC中, DE∥BC, DF∥AC,所以BFBC＝BDBA＝ECAC,又因为AE＝2, EC＝1, BC＝4,所以BF4＝11＋2, 所以BF＝43.答案：4 3三、解答题9.如下图, D为△ABC中AC边的中点, AE∥BC, ED交AB于点G, 交BC延长线于点F, 假设BG∶GA＝3∶1, BC＝8, 求AE的长．解：因为AE ∥BC , D 为AC 的中点, 所以AE ＝CF .设AE ＝x , 因为AE ∥BC , 所以AE BF ＝AG BG ＝13. 又BC ＝8, 所以xx ＋8＝13, 3x ＝x ＋8.所以xAE ＝4.10.如下图, 在梯形ABCD 中, AB ∥CD , 假设AB ＝2CD , MN ∥AB , 且MP ＝PN , 求证：MN ＝CD .证明：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫MN ∥AB ∥CD ⇒⎩⎪⎨⎪⎧MN AB ＝DM AD MP CD ＝AM AD 又MN AB ＝12MN12AB ＝MP CD⎭⎪⎬⎪⎫⇒DM AD ＝AMAD ⇒DM ＝AM ⇒MP ＝12CD 又MP ＝12MN ⇒MN ＝CD . B 级| 能力提升1．如下图, 将一边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A 折叠至|边上的点E , 使DE ＝5, 折痕为PQ , 那么线段PM 和MQ 的比是( )A.512B.519C.25D.219 解析：如下图, 作MN ∥AD 交DC 于N ,所以DN NE ＝AM ME .又因为AM ＝ME , 所以DN ＝NE ＝12DE ＝52.因为PD ∥MN ∥QC , 所以PM MQ ＝DN NC ＝52192＝519.答案：B2.如下图, 在△ABC 中, E , F 分别在AC , BC 上, 且DF ∥AC , DE ∥BC , AE ＝4, EC ＝2, BC ＝8, 那么CF ＝____________, BF ＝____________．解析：因为DE∥BC,所以ADAB＝AEAC＝46＝23.①因为DF∥AC, 所以ADAB＝CFCB.②由①②式, 得23＝CF8, 即CF＝163.BF＝BC－CF＝8－163＝83.答案：163833.如下图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, EF经过该梯形对角线的交点O, 且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEAD＋OEBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.(1)证明：因为EF∥AD, AD∥BC, 所以EF∥AD∥BC.因为EF∥BC, 所以OEBC＝AEAB,OFBC＝DFDC.因为EF∥AD∥BC, 所以AEAB＝DFDC.所以OEBC＝OFBC.所以OE＝OF.(2)解：因为OE∥AD, 所以OEAD＝BEAB.由(1)知OEBC＝AEAB,所以OEAD＋OEBC＝BEAB＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知OEAD＋OEBC＝1,所以2OEAD＋2OEBC＝2.又EF＝2OE, 所以EFAD＋EFBC＝2.所以1AD＋1BC＝2EF.第|一讲相似三角形的判定及其有关性质1.3 相似三角形的判定及性质第1课时相似三角形的判定A级|根底稳固一、选择题1.如下图, 在正三角形ABC中, D, E分别在AC, AB上, 且ADAC＝13,AE＝BE, 那么有()A．△ADE∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD解析：在△AED和△CBD中,AE∶BC＝AD∶CD＝1∶2,∠EAD＝∠BCD, 所以△AED∽△CBD.答案：B2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形, 那么这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：因为等腰三角形底边上的高分这个三角形为两个全等的三角形, 全等三角形一定相似, 所以这个三角形可以是等腰三角形；又因为直角三角形斜边上的高分这个三角形为两个相似三角形, 所以这个三角形也可以是直角三角形．答案：D3．如下图, 小正方形的边长均为1, 那么以下图中的三角形(阴影局部)与△ABC相似的是()解析：首|先求得△ABC三边的长, 然后分别求得A、B、C、D 选项中各三角形的三边的长, 然后根据三组对边的比相等的两个三角形相似, 即可求得答案．答案：A4.如下图, 在△ABC中, 点M在BC上, 点N在AM上, CM＝CN,且AM AN ＝BM CN.以下结论正确的选项是( )A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA解析：CM ＝CN , 即∠AMC ＝∠MNC , 即∠AMB ＝∠ANC .又AM AN ＝BM CN , 即△AMB ∽△ANC . 答案：B5.如下图, △ABC ∽△AED ∽△AFG , DE 是△ABC 的中位线, △ABC 与△AFG 的相似比是3∶2, 那么△ADE 与△AFG 的相似比是( )A ．3∶4B ．4∶3C ．8∶9D ．9∶8解析：因为△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2, 所以AB ∶AF ＝3∶2,又因为△ABC 与△AED 的相似比是2∶1, 即AB ∶AE ＝2∶1.所以△AED 与△AFG 的相似比 k ＝AE AF ＝AB AF ·AE AB ＝32×12＝34.答案：A二、填空题6.如下图, ∠C＝90°, ∠A＝30°, E是AB的中点, DE⊥AB于E, 那么△ADE与△ABC的相似比是________．解析：因为E为AB的中点,所以AEAB＝12, 即AE＝12AB.在Rt△ABC中, ∠A＝30°, AC＝32AB,又因为Rt△AED∽Rt△ACB,所以相似比为AEAC＝13.故△ADE与△ABC的相似比为1∶ 3.答案：1∶ 37．如下图, 在△ABC中, AB＝AC, ∠A＝36°, BD是∠ABC的角平分线, 假设DC·AC＝19, 那么AD＝________．解析：因为∠A＝36°, AB＝AC,所以∠ABC＝∠C＝72°.又因为BD平分∠ABC,所以∠ABD＝∠CBD＝36°.所以∠BDC＝72°＝∠C,所以AD＝BD＝BC, 且△ABC∽△BCD,所以BCCD＝ABBC.所以BC2＝AB·CD.所以AD2＝AC·CD.所以AD2＝19, 所以AD＝19.答案：198．△ABC的三边长分别是3 cm, 4 cm, 5 cm, 与其相似的△A′B′C′的最|大边长是15 cm, 那么S△A′B′C′＝________．解析：由题意知：△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶3, 又因为△ABC的三边长分别为3 cm, 4 cm, 5 cm, 所以△A′B′C′的三边长分别为9 cm, 12 cm, 15 cm.又因为92＋122＝152, 所以△A′B′C′为直角三角形, 所以S△A′B′C′＝12×9×12＝54(cm2)．答案：54 cm2三、解答题9.如下图, CD平分∠ACB, EF是CD的中垂线交AB的延长线于E, 求证：△ECB∽△EAC.证明：连接EC, 因为EF是CD的中垂线,所以EC＝ED, 且∠EDC＝∠ECD.又因为∠EDC＝∠A＋∠ACD,且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB,又因为CD为∠ACB的平分线,那么∠ACD＝∠DCB,所以∠A ＝∠ECB .又∠CEA 为公共角,所以△ECB ∽△EAC .10.如下图, 在△ABC (AB >AC )的边AB 上取一点D , 在边AC 上取一点E , 使AD ＝AE , 直线DE 和BC 的延长线交于点P , 求证：BP CP＝BD CE.证明：过点C 作CM ∥AB ,交DP 于点M .因为AD ＝AE , 所以∠ADE ＝∠AED .又AD ∥CM , ∠ADE ＝∠CME ,∠AED ＝∠CEM ,所以∠CEM ＝∠CME , 所以CE ＝CM .因为CM ∥BD , 所以△CPM ∽△BPD ,所以BP CP ＝BD CM , 即BP CP ＝BD CE. B 级| 能力提升1．假设△ABC 与△DEF 相似, ∠A ＝60°, ∠B ＝40°, ∠D ＝80°, 那么∠E 的度数可以是( )A ．60°B ．40°C ．80°D ．40°或60°解析：根据判定定理, 可知∠E 的度数可以是40°或60°.答案：D2．如下图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, AB⊥AD, 对角线BD⊥DC, 那么△ABD∽________, BD2＝________．解析：因为AD∥BC,所以∠ADB＝∠DBC.又因为∠A＝∠BDC＝90°,所以△ABD∽△DCB.所以BDBC＝ADBD.所以BD2＝AD·BC.答案：△DCB AD·BC3．如下图, 点C, D在线段AB上, △PCD是等边三角形．(1)当AC, CD, DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时, 求∠APB的度数．解：(1)因为△PCD是等边三角形,所以∠PCD＝∠PDC＝60°,PD＝PC＝CD.从而∠ACP＝∠PDB＝120°.所以, 当ACPD＝PCBD时, △ACP∽△PDB,即当CD2＝AC·BD时, △ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时,∠APC＝∠PBD.所以∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝60°＋60°＝120°.第|一讲相似三角形的判定及有关性质1.3 相似三角形的判定及性质第2课时相似三角形的性质A级|根底稳固一、选择题1．两个相似三角形的面积之比为1∶2, 那么其外接圆的半径之比为()A．1∶4B．1∶3C．1∶2 D．1∶ 2解析：因为相似三角形的面积比为相似比的平方, 所以相似比为1∶2, 两相似三角形外接圆半径之比为相似比, 应选D.答案：D2.如下图, D是△ABC的AB边上一点, 过D作DE∥BC交AC 于E.AD∶DB＝1∶3, 那么△ADE与四边形BCED的面积比为()A．1∶3 B．1∶9C ．1∶15D ．1∶16解析：因为DE ∥BC , 所以△ADE ∽△ABC .又因为AD ∶DB ＝1∶AD ∶AB ＝1∶4, 其面积比为1∶16, 那么所求两局部面积比为1∶15.答案：C3.如下图, 在△ABC 中, ∠C ＝90°, 正方形DEFC 内接于△ABC , DE ∥AC , EF ∥BC , AC ＝1, BC ＝2, 那么AF ∶FC 等于( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶2D ．2∶3解析：设正方形边长为x (x >0),那么由△AFE ∽△ACB , 可得AF ∶AC ＝FE ∶CB ,即1－x 1＝x 2.所以x ＝23, 于是AF FC ＝12. 答案：C4．△ABC ∽△A ′B ′C ′, AB A ′B ′＝23, △ABC 外接圆的直径为4, 那么△A ′B ′C ′外接圆的直径等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：设△A ′B ′C ′和△ABC 外接圆的直径分别是r ′, r , 那么r ′r＝A ′B ′AB , 所以r ′4＝32, 所以r ′＝6. 答案：C5．在△ABC 中, AB ＝9, AC ＝12, BC ＝18, D 为AC 上一点, DC＝23AC , 在AB 上取一点E , 得到△ADE , 假设△ADE 与△ABC 相似, 那么DE 的长为( )A ．6B ．8C ．6或8D ．14解析：如图①所示, 过D 作DE ∥CB 交AB 于E , 那么AD ∶AC＝AE ∶AB ＝DE ∶CB , AB ＝9, AC ＝12, DC ＝23AC ＝23×12＝8.图① 图②所以AD ＝AC －DC ＝12－8＝4,所以DE ＝AD ·CB AC ＝4×1812＝6. 如图②所示, 作∠ADE ＝∠B , 交AB 于E ,那么△ADE ∽△ABC .所以有AD ∶AB ＝AE ∶AC ＝DE ∶BC ,所以DE ＝AD ·BC AB ＝4×189＝8. 所以DE 的长为6或8.答案：C二、填空题6．如下图, 在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上, 且EB ＝2AE ,AC 与DE 交于点F , 那么△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AB ∥DC , 且AB ＝DC ,于是△CDF ∽△AEF , 且CD AE ＝AB AE＝3, 因此△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9. 答案：97．两个相似三角形的对应边上的中线之比是2∶3, 周长之和是20, 那么这两个三角形的周长分别为________．解析：由中线之比为周长之比都为相似比, 得周长之比为2∶3, 设其中一个三角形周长为2x , 那么另一个三角形周长为3x .所以2x ＋3xx ＝4, 即两个三角形的周长分别为8, 12.答案：8 128．如下图, ∠ACB ＝∠E , AC ＝6, AD ＝4, 那么AE ＝____．解析：因为∠ACB ＝∠E ,∠DAC ＝∠CAE ,所以△DAC ∽△CAE .所以AD AC ＝AC AE, 所以AE ＝AC 2AD ＝624＝9. 答案：9三、解答题9.如下图, 直线DF 交△ABC 的BC , AB 两边于D , E 两点, 与CA的延长线交于F , 假设BD DC ＝FE ED ＝2, 求BE ∶AE 的值．解：过D 作AB 的平行线交AC 于G ,那么△FAE ∽△FGD , △CGD ∽△CAB .那么AE DG ＝EF FD ＝23, DG AB ＝CD CB ＝13. 所以AE ＝23DG , BE ＝73DG , 所以BE ∶AE ＝7∶2.10.如下图, △ABC 中, AB ＝AC , AD 是中线, P 为AD 上一点, CF ∥AB , BP 延长线交AC 、CF 于E 、F , 求证：PB 2＝PE ·PF .证明：连接PC ,易证PC ＝PB , ∠ABP ＝∠ACP ,因为CF ∥AB , 所以∠F ＝∠ABP ,从而∠F ＝∠ACP ,又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角,从而△CPE ∽△FPC , 所以CP FP ＝PE PC.所以PC 2＝PE ·PF , 又PC ＝PB ,所以PB 2＝PE ·PF , 命题得证．B 级| 能力提升1.如下图, 点D 、E 、F 、G 、H 、I 是△ABC 三边的三等分点, △ABC 的周长是l , 那么六边形DEFGHI 的周长是 ( )A.13l B ．3l C ．2l D.23l 解析：易得DE 綊13BC , HI 綊13AC , GF 綊13AB . 又DI ＝13AB , HG ＝13BC , EF ＝13AC , 那么所求周长为23(AB ＋AC ＋BC )＝23l . 答案：D2．如下图, M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点, 直线l 过点M 分别交AD , AC 于点E , F .假设AD ＝3AE , 那么AF ∶FC ＝________．解析：延长CD 与直线l 交于点G ,设AB ＝2a , 那么CD ＝2a , 而M 是AB 的中点,那么AM ＝12AB ＝a ,由得△AME∽△DGE,所以AMDG＝AEED⇒AMDG＝AEAD－AE.因为AD＝3AE,所以aDG＝AE2AE⇒DG＝2a.又因为△FCG∽△FAM,AF FC＝AMCG⇒AFFG＝AMCD＋DG＝a2a＋2a＝14,即AF∶FC＝1∶4.答案：1∶43．如下图, 在▱ABCD中, AE∶EB＝2∶3.(1)求△AEF与△CDF周长的比；(2)假设S△AEF＝8, 求S△CDF.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD且AB＝CD.因为AEEB＝23, 所以AEAE＋EB＝22＋3,即AEAB＝25.所以AECD＝25.又由AB∥CD知△AEF∽△CDF,所以△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)由(1)知S△AEF∶S△CDF＝4∶25,又因为S △AEF ＝8, 所以S △CDF ＝50.第|一讲相似三角形的判定及有关性质1.4 直角三角形的射影定理A 级| 根底稳固一、选择题1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( )A ．点B ．线段C ．与MN 等长的线段D ．直线解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线．答案：D2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm, 那么斜边上的高是( )A ．10 cmB ．2 cmC ．2 6 cmD ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得, 斜边上的高为6×4＝26(cm)．答案：C3．在Rt △ABC 中, ∠BAC ＝90°, AD ⊥BC 于点D , 假设AC AB ＝34, 那么BD CD等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916解析：如下图, 由射影定理, 得AC 2＝CD ·BC , AB 2＝BD ·BC .所以AC2AB2＝CDBD＝⎝⎛⎭⎪⎫342, 即CDBD＝916,所以BDCD＝169.答案：C4．在△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于D, AD∶BD＝2∶3, 那么△ACD与△CBD的相似比为()A．2∶3 B．4∶9C.6∶3 D．不确定解析：如下图, 在Rt△ACB中, CD⊥AB,由射影定理得CD2＝AD·BD,即CDAD＝BDCD.又因为∠ADC＝∠BDC＝90°, 所以△ACD∽△CBD.又因为AD∶BD＝2∶3,设AD＝2x, BD＝3x(x>0),所以CD2＝6x2, 所以CD＝6x, 易知△ACD∽△CBD的相似比为AD CD＝2x6x＝63＝6∶3.答案：C5.如下图, 在矩形ABCD 中, BE ⊥AC 于点F , 点E 恰是CD 的中点, 以下式子成立的是( )A ．BF 2＝12AF 2B ．BF 2＝13AF 2C ．BF 2>12AF 2D ．BF 2<13AF 2解析：根据射影定理可得 BF 2＝AF ·CF , 因为△ABF ∽△CEF ,所以CF ∶AF ＝CE ∶AB ＝1∶2, 所以BF 2＝AF ·12AF ＝12AF 2.答案：A 二、填空题6．如下图, 小明在A 时测得某树的影长为2 m, 在B 时又测得该树的影长为8 m ．假设两次日照的光线互相垂直, 那么树的高度为________m.解析：依题意作图如下, 在Rt △CDE 中, EF ⊥CD .由射影定理, 得EF2＝CF·DF＝2×8＝16, 所以树的高度EF＝4 m.答案：47．在Rt△ABC中, AC⊥BC, CD⊥AB, 过点D作DE⊥AC, DF ⊥BC, 那么CE·CA＝________．解析：在Rt△ADC中, DE⊥AC,所以由射影定理知CD2＝CE·CA.同理CD2＝CF·CB,所以CE·CA＝CF·CB.答案：CF·CB8．在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD是高, AC＝12 cm, BC＝15 cm, 那么S△ACD∶S△BCD＝________．解析：因为∠ACB＝90°, CD是高,所以AC2＝AD·AB, BC2＝BD·AB,所以AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为S△ACD＝1 2·AD·CD,S△BCD＝1 2·BD·CD,所以S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为AC＝12, BC＝15,所以S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.答案：16∶25三、解答题9．如下图, 在Rt△ABC中, CD是斜边AB上的高, DE是在Rt △BCD斜边BC上的高, 假设BE＝6, CE＝2, 求AD的长．解：因为CD⊥AB, 所以△BCD为直角三角形,即∠CDB＝90°,因为DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12,所以DE＝23,CD2＝CE·BC＝16, 所以CD＝4,因为BD2＝BE·BC＝48,所以BD＝43,在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB,由射影定理可得：CD2＝AD·BD,所以AD＝CD2BD＝1643＝433.10．如下图, BD、CE是△ABC的两条高, 过点D的直线交BC 和BA的延长线于点G、H, 交CE于点F, 且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.证明：因为∠H＝∠BCE, CE⊥BH,所以△BCE∽△BHG.所以∠BEC＝∠BGH＝90°,所以HG ⊥BC .因为BD ⊥AC , 在Rt △BCD 中, 由射影定理得, GD 2＝BG ·CG .① 因为∠H ＝∠BCF ,所以∠FGC ＝∠BGH ＝90°, 所以△FCG ∽△BHG , 所以FG BG ＝CGGH, 所以BG ·CG ＝GH ·FG .② 由①②, 得GD 2＝GH ·FG .B 级| 能力提升1．在Rt △ACB 中, ∠C ＝90°, CD ⊥AB 于D , 假设BD ∶AD ＝1∶4, 那么tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2解析：如下图, 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ,又因为BD ∶AD ＝1∶4, 令BD ＝x , 那么AD ＝4x (x >0), 所以CD 2＝AD ·BD ＝4x 2, 所以CD ＝2x . 在Rt △CDB 中, tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C2．在梯形ABCD中, DC∥AB, ∠D＝90°, AC⊥BC.AB＝10 cm, AC＝6 cm, 那么此梯形的面积为________．解析：如下图, 过C点作CE⊥AB于E,在Rt△ACB中,因为AB＝10 cm, AC＝6 cm, 所以BC＝8 cm.在Rt△ABC中, 由射影定理易得BE＝6.4 cm, AE＝3.6 cm.所以CE＝错误!＝4.8(cm),所以AD＝4.8 cm.又因为在梯形ABCD中, CE⊥AB,所以DC＝AE＝3.6 cm.所以S梯形ABCD＝ (10＋3.6 )×2＝32.64(cm2)．答案：32.64 cm23.如下图, 四边形ABCD是正方形, E为AD上一点, 且AE＝14AD, N是AB的中点, NF⊥CE于F.求证：FN2＝EF·FC.证明：如下图, 连接NE、NC.设正方形的边长为a.因为AE ＝14a , AN ＝12a ,所以NE ＝a 216＋a 24＝5a4, 因为BN ＝12a , BC ＝a ,所以NC ＝a 24＋a 2＝5a 2. 因为DE ＝34a , DC ＝a ,所以EC ＝9a 216＋a 2＝5a 4. 所以NE 2＝5a 216, NC 2＝5a 24, EC 2＝25a 216.所以NE 2＋NC 2＝EC 2.所以EN ⊥NC , △ENC 是直角三角形．又因为NF ⊥EC , 所以NF 2＝EF ·FC .章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．平行线等分线段定理的易错点定理中的 "一组平行线〞是指每相邻两条直线间的距离都相等的平行线, 假设不满足这一条件, 那么不能使用该定理．2．使用平行线分线段成比例定理的两个易错点(1)在使用定理进行证明时, 容易以特殊代替一般, 与平行线等分线段定理混淆而出错．(2)在利用定理时, 不会应用比例的性质而出现计算错误．3．相似三角形的两个易错点(1)在判定两个三角形相似时, 对判定定理中的 "对应〞二字把握不准确．(2)对相似三角形的性质理解不透而导致应用错误．4．直角三角形的射影定理的关注点由于射影定理得出的结论(等式)较多, 在解有较复杂图形的问题时, 有时因选不准题目所需的等式, 使得问题复杂化．专题一三角形相似的判定1．有一角对应相等时, 可选择判定定理1或判定定理2. 2．有两边对应成比例时, 可选择判定定理2或判定定理3. 3．判定直角三角形相似时, 首|先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定, 如果不能, 再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．[例1] 如下图, F 是平行四边形ABCD 的一边AD 上的一点, 且AF ＝12FD , E 为AB 的中点, EF 交AC 于G 点, O 为AC 的中点, AC ＝10.(1)求证△AGF ∽△OGE ； (2)求AG 的长．(1)证明：因为O 为AC 的中点, E 为AB 的中点, 所以OE ∥BC ,又因为BC ∥AD , 所以OE ∥AD , 所以∠FAG ＝∠GOE , ∠AFG ＝∠GBO , 所以△AGF ∽△OGE .(2)解：由(1)知△AGF ∽△OGE , 所以AF OE ＝AG OG, 又AF ＝12FD , 所以AF ＝13AD ,由题意知OE ＝12AD ,所以AFOE＝AGOG＝23.所以AG＝2.[变式训练], 如下图, D为△ABC内一点, 连接BD, AD, 以BC 为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD, ∠BCE＝∠BAD, 连接DE.求证：△DBE∽△ABC.证明：因为在△CBE和△ABD中,∠CBE＝∠ABD, ∠BCE＝∠BAD,所以△CBE∽△ABD.所以BCAB＝BEBD, 即BCBE＝ABBD.又因为在△DBE和△ABC中,∠CBE＝∠ABD, ∠DBC＝∠DBC, 所以∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC.所以∠DBE＝∠ABC.又BCBE＝ABBD, 所以△DBE∽△ABC.专题二相似三角形性质的应用相似三角形的性质主要有如下几方面的应用：(1)可用来证明线段成比例、角相等；(2)可间接证明线段相等；(3)为计算线段长度及角的大小创造条件；(4)可计算周长、线段长等．[例2]如下图, 在△ABC中, ∠BAC＝90°, BC边的垂直平分线EM和AB交于点D, 和CA的延长线交于点E.连接AM, 求证：AM2＝DM·EM.证明：因为∠BAC＝90°, M是BC的中点,所以AM＝CM, 所以∠MAC＝∠C.因为EM⊥BC, 所以∠E＋∠C＝90°.又因为∠BAM＋∠MAC＝90°,所以∠E＝∠BAM.因为∠EMA＝∠AMD,所以△AMD∽△EMA,所以AMDM＝EMAM, 所以AM2＝DM·EM.[变式训练]如下图, AD, CF是△ABC的两条高线, 在AB上取一点P, 使AP＝AD, 再从点P引一条BC的平行线与AC交于点Q, 求证PQ＝CF.证明：因为AD⊥BC, CF⊥AB,所以∠ADB＝∠BFC.又因为∠B＝∠B, 所以△ABD∽△CBF,所以ADCF＝ABCB.又因为PQ∥BC, 所以△APQ∽△ABC.所以PQ BC ＝AP AB , 所以AP PQ ＝AB BC, 所以AD CF ＝AP PQ. 又因为AD ＝AP , 所以PQ ＝CF .专题三函数与方程的思想在相似三角形中, 存在多种比相等的关系, 利用这些相等关系, 可以构造函数的模型, 利用函数的性质解决问题, 也可以将相等关系转化为方程的形式, 利用方程的思想解决问题．[例3] 如下图, 在Rt △ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝8, AC ＝6, 假设动点D 从点B 出发, 沿线段BA 运动到点A 停止, 运动速度为每秒2个单位长度, 过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E , 设动点D 运动的时间为x 秒, AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式, 并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时, △BDE 的面积S 有最|大值, 最|大值是多少 ? 解：(1)因为DE ∥BC ,所以△ADE ∽△ABC , 所以AD AB ＝AE AC. 又因为AB ＝8, AC ＝6, AD ＝8－2x , AE ＝y ,所以8－2x 8＝y 6.所以y ＝－32x ＋6, 自变量x 的取值范围是[0, 4]．(2)S ＝12BD ·AE ＝12×2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋6＝－32×x 2＋6x ＝－32(x －2)2＋6,所以当x＝2时, S max＝6.[变式训练]如下图, 在△ABC和△DBE中, ABDB＝BCBE＝ACDE＝53.(1)假设△ABC与△DBE的周长之差为10 cm, 求△ABC的周长；(2)假设△ABC与△DBE的面积之和为170 cm2, 求△DBE的面积．解：(1)因为ABDB＝BCBE＝ACDE,所以△ABC∽△DBE.所以△ABC的周长△DBE的周长＝ABDB＝53.设△ABC的周长为5x,那么△DBE的周长为3x,依题意得5x－3x＝10, 解得x＝5.所以△ABC的周长为25 cm. (2)因为△ABC∽△DBE,所以S△ABCS△DBE＝⎝⎛⎭⎪⎫ABDB2＝⎝⎛⎭⎪⎫532＝259.设S△ABC＝25x, 那么S△DBE＝9x.依题意有25x＋9x＝170, 解得x＝5.所以△DBE的面积为45 cm2.专题四转化思想在证明一些等积式时, 往往将其转化为比例式, 当证明的比例式中的线段在同一直线上时, 常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量, 证明比例式成立也常用中间比来转化证明．[例4]如下图, AC∥BD, AD, BC相交于E, EF∥BD, 求证1AC＋1 BD＝1EF.证明：由题意知AC∥EF∥BD,所以EFAC＝BFAB,EFBD＝AFAB,所以EFAC＋EFBD＝AF＋BFAB＝ABAB＝1,即1AC＋1BD＝1EF.[变式训练]如下图, 在锐角△ABC中, AD, CE分别是BC, AB 边上的高, △ABC和△BDE的面积分别等于18和2, 且DE＝22, 求点B到直线AC的距离．解：因为AD⊥BC, CE⊥AB,所以∠ADB＝∠CEB＝90°.又因为∠B＝∠B, 所以△ADB∽△CEB,所以BDBE＝ABBC, 所以BDAB＝BEBC.又因为∠B＝∠B, 所以△BED∽△BCA,所以S△BEDS△BCA＝⎝⎛⎭⎪⎫EDAC2＝218＝19.又因为DE ＝22, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫22AC 2＝19, 所以AC ＝6 2.设点B 到直线AC 的距离为h , 那么S △ABC ＝12AC ·h , 故18＝12×62h , 所以h ＝3 2.章末评估验收(一)(时间：120分钟总分值：150分)一．选择题(本大题共12小题, 每题5分, 共60分．在每题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)1．如下图, DE ∥BC , EF ∥AB , 现得到以下式子：①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝AB BC ；③EF AB ＝DE BC ；④CE CF ＝EA BF. 其中正确式子的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：由平行线分线段成比例定理知, ①②④正确．答案：B2．三角形的三条中位线长是3 cm, 4 cm, 5 cm, 那么这个三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．12 cm 2C ．24 cm 2D ．40 cm 2解析：由中位线性质得三边长分别为6 cm , 8 cm , 10 cm , 由勾股逆定理知, 此三角形为直角三角形,所以S ＝12×6×8＝24(cm 2)．答案：C3．如下图, △ABC 中, 点D 、E 分别是AB 、AC 的中点, 以下结论不正确的选项是( )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE解析：根据三角形中位线定义与性质可知, BC ＝2DE ；因DE ∥BC , 所以△ADE ∽△ABC , AD ∶AB ＝AE ∶AC , 即AD ∶AE ＝AB ∶AC , S △ABC ＝4S △ADE , 所以选项D 错误．应选D.答案：D4．如下图, △ABC 的三边互不相等, P 是AB 边上的一点, 连接PC , 以下条件中不能使△ACP ∽△ABC 成立的是( )A ．∠1＝∠2B ．AP ·BC ＝AC ·PC C ．∠2＝∠ACBD ．AC 2＝AP ·AB解析：因为∠A 公共, 所以由相似三角形的判定定理知, C , D项一定能使△ACP ∽△ABC 成立．假设△ACP ∽△ABC , 那么AP AC ＝PC BC , 即B 成立, 所以加一条件B 项能使△ACP ∽△ABC 成立, 而A 项那么不能．答案：A5．如下图, AB ∥GH ∥EF ∥DC , 且BH ＝HF ＝FC , 假设MN ＝5 cm, 那么BD 等于( )A ．15 cmB ．20 cm C.503 cm D ．不能确定解析：因为AB ∥GH ∥EF ∥DC , 且BH ＝HF ＝FC , 所以由平行线等分线段定理得DM ＝MN ＝NB .因为MN ＝5 cm ,所以BD ＝3MN ＝15(cm)．答案：A6．如下图, AD 是△ABC 的中线, E 是AD 上的一点, CE 的延长线交AB 于F , 且AE ED ＝14, 那么AF FB等于( )A.17B.18C.19D.110解析：过D 作DG ∥CF , 如下图,因为CD＝BD, 所以FG＝GB.因为EF∥DG,所以AFFG＝AEED＝14.所以AFFB＝AF2FG＝18.答案：B7．两个三角形相似, 其对应高的比为2∶3, 其中一个三角形的周长是18 cm, 那么另一个三角形的周长为()A．12 cm B．27 cmC．12 cm或27 cm D．以上均不对解析：设另一个三角形的周长为x cm, 由相似三角形的周长之比等于相似比, 也等于对应高的比．所以18x＝23或x18＝23.解得x＝27 cm或x＝12 cm.答案：C8.如下图, 在正方形ABCD中, E是BC的中点, F是CD上一点,且CF＝14CD.有以下结论：①∠BAE＝30°, ②△ABE∽△AEF, ③AE⊥EF, ④△ADF∽△ECF.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：②③正确, ①④不正确．答案：B9．如下图, 在△ABC中, EF∥BC, EF交AB于E, 交AC于F, AD ⊥BC于D, 交EF于M, 假设BC＝36, AD＝30, MD＝10, 那么EF 的长是()A．12 B．30 C．24 D．18解析：因为EF∥BC,所以EFBC＝AMAD＝AD－MDAD.所以EF36＝2030, 所以EF＝24.答案：C10．如下图, 在△ABC中, D, E分别在边AB, AC上, CD平分∠ACB, DE∥BC.假设AC＝6, AE＝2, 那么BC的长为()A．10 B．12 C．14 D．8解析：因为DE∥BC, 所以∠1＝∠2.又∠1＝∠3, 所以∠2＝∠3,所以DE＝EC＝AC－AE＝6－2＝4,因为DE∥BC, 所以DEBC＝AEAC,所以BC＝AC·DEAE＝6×42＝12.答案：B11.如下图, 在△ABC 中, ∠ACB ＝90°, CD ⊥AB , 垂足为D , AC ＝12, BC ＝5, 那么CD 的长为( )A.6013B.12013C.5013D.7013解析：AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13.因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD . 所以CD ＝AC ·BC AB ＝12×513＝6013. 答案：A12.如下图, 四边形ABCD 是正方形, E 是CD 的中点, P 是BC 边上的一点, 以下条件, 不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( )A ．∠APB ＝∠EPCB ．∠APE ＝90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ∶BC ＝2∶3解析：因为四边形ABCD 是正方形,所以AB ＝BC ＝CD ＝AD ,∠B ＝∠C ＝90°,当A 成立时, ∠APB ＝∠EPC ,有△ABP ∽△ECP .当∠APE ＝90°时,。

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选修4-4 第1节
[知能演练]
一、选择题
1．点M (ρ，θ)关于极点对称的点的坐标为
( )
A ．(－ρ，－θ)
B ．(ρ，π＋θ)
C ．(ρ，π－θ)
D ．(ρ，－θ)
答案：B
2．将曲线y ＝1
2
sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是
( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3x ′y ＝12
y ′
B.⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝3x y ′＝12y C.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3x ′y ＝2y ′
D.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x y ′＝2y 答案：D
3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是
( )
A ．(2，π
3，3)
B ．(2，2π
3，3)
C ．(2，4π
3
，3)
D ．(2，5π
3
，3)
解析：ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2， tan θ＝3，∴θ＝4π
3，z ＝3，∴选C.
答案：C
4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为
( )
A ．ρsin θ＝2
B ．ρcos θ＝2
C ．ρcos θ＝4
D ．ρcos θ＝－4
解析：圆ρ＝4sin θ的圆心为(2，π
2)，半径r ＝2，对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直
线(y ＝2)与圆相交；对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线(x ＝2)与圆相切；选项C ，D 对应的直线与圆都相离．
答案：B 二、填空题
5．已知点M 的极坐标为(6，
11π
6
)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．解析：∵点M 的极坐标为(6，11π
6)，
∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×3
2＝33，
y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×1
2＝－3，
∴点M 的直角坐标为(33，－3)，
∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．答案：(－33，－3)
6．在极坐标系中，点P (2，3π
2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．
解析：在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程：3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离：
d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.
答案：1 三、解答题
7．说出由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan2x 的变换过程，并求满足其图形变换的伸缩变换．
解：y ＝tan x 的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
2，得到y ＝tan2x ，再将其纵坐标伸长
为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan2x .
设y ′＝3tan2x ′，变换为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝λ·
x λ>0y ′＝μ·y μ>0，将其代入y ′＝3tan2x ′，得μy ＝3tan2λx
与y ＝tan x 比较，可得⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝3λ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x
y ′＝3y
.
8．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，试求RP 的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12，
∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．
(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为3
2的圆，易得RP 的最小值为1.
[高考·模拟·预测]
1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为
( )
A ．(x ＋12)2＋y 2＝1
4
B ．x 2＋(y ＋12)2＝1
4
C ．x 2＋(y －12)2＝1
4
D ．(x －12)2＋y 2＝1
4
解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D
2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4
)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
解析：直线ρsin(θ＋π
4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的
弦长公式得2r 2－d 2＝2
42－(222
)2
＝4 3.
答案：4 3
3．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．
解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x ＋y －2＝0，故点(1,0)到直线距离d ＝|1＋0－2|2＝2
2.
答案：
2
2
4．两直线ρsin(θ＋π4)＝2008，ρsin(θ－π
4)＝2009的位置关系是________．(判断垂直或平
行或斜交)
解析：两直线方程可化为x ＋y ＝20082，y －x ＝ 20092，故两直线垂直．答案：垂直
5．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程．
解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
所以x 2＋y 2＝4x .
即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程．同理，x 2＋y 2＋y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0，
相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.
6．求经过极点O (0,0)，A (6，π2)，B (62，9π
4
)三点的圆的极坐标方程．
解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos(θ－π
4
)．。

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