条件分布与独立性例题

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第三章第二节二维随机变量的独立性

§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )，所以X,Y 相互独立。

条件概率的独立性1

条件概率的独⽴性1第三章条件概率的独⽴性习题3 ⼀．填空题1.设A.B 为两个互相独⽴事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则(P B A ?)=2.在⼀次实验中A 发⽣的概率为p ，现在进⾏n 次独⽴重复试验，那么事件A ⾄少发⽣1次的概率为3.设A.B.C 构成⼀完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)=4.若P(A)=21,P(B)=31，P(A B )=32,则P(B A )= 5.某⼈向同⼀⽬标重复独⽴射击，每次命中⽬标的概率为P(02次命中⽬标的概率为⼆．选择题1. 同⼀⽬标进⾏5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.05122. 5⼈以摸彩的⽅式决定谁从五张彩票中摸的⼀张电影票，设Ai 表⽰“第i 次个⼈摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（） (A) P(1A 2A )=41 (B) P(2A )= 54 (C) P(2A )=51 (D) 53)(21=A A P 3 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取⼀个，⽆放回的抽取两次，则第⼆次取到新球的概率为（ )53)(A 43)(B 42)(c 103)(D 4,对于任意两个事件A 与B ，下⾯结论正确的是（） (A)若P(A)=0，则A 是不可能事件(B)若P(A)=0，P(B)≥0，则事件B 包含事件A(C)若P(A)=0，则P(B)=1，则事件A 与事件B 对⽴ (D)若P(A)=0，则事件A 与B 独⽴三，计算题1.设A 与B 是两个随机事件，且P(A)=41,31)(=A B P ,21)(=B A P ,试求P(B A ?). 2.设A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.6，，4.0)(=A B P 试求P(B A ?).3.如果每次试验成功的概率都是P ，并且已知在三次独⽴重复试验中⾄少成功⼀次的概率为2719，试求P 的值. 4.设随机事件A 与B 互相独⽴，P(A)=P(B)=a-1，P()B A ?=97,求a 的值. 四．应⽤题1.三⼈独⽴的同时解答⼀道题，他们每⼈能够解出的概率为21，4131，，求此题能破解出的概率.2.设在全部产品中有2％是废品，⽽合格产品中有85％是⼀级品，求随机抽出⼀个产品是⼀级品的概率.3.汽车保险公司得到投保⼈资料如表3-1所⽰：5.设10个考签中4个难签，今有3⼈按甲先，⼄次，丙最后的次序参加抽签(不放回），求：（1）甲没有抽到难签⽽⼄抽到难签的概率；（2）甲，⼄，丙都抽到难签的概率.6.设有4个独⽴⼯作的原件1,2,3,4 他们的可靠性都是p,将他们按图3.2的⽅式联接，求整个系统的可靠性.7.甲，⼄两⼈独⽴的对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知⽬标被击中，求他是甲击中的概率。

第23讲条件分布

N
1
1 2
(y
2 ),
2 1
(1
2
)
.
同理可得 fY|X ( y | x)
1
2 2 1 2
exp
2
2 2
1 (1
2
)
y
2
2 1
(
x
1
)
2
.
即在X =x条件下,Y的条件分布是正态分布
N
2
2 1
(
x
1
),
2 2
(1
2
)
.
结论：二维正态分布的条件分布仍为正态分布.
简记为 FX|Y ( x | y). 即：FX|Y ( x | y)=P( X x |Y =y）.
连续型随机变量的条件概率密度
定义2 设二维随机变量 ( X ,Y )的概率密度为 f ( x, y),Y 的边缘概率密度为fY ( y)是连续函数. 若对于固定的 y, fY ( y) 0, 则在Y y条件下， X的条件概率密度为
条件分布
条件分布
对于两个事件A,B,若P(B)>0,可以讨论条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
推广到随机变量
P(X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
yj),
i 1,2, , P(Y yj ) 0.
这个分布就是条件分布.
离散型随机变量的条件分布列
定义设二维离散型随机变量(X,Y) 的分布列
X
,Y
)~N
(
1
,
2
;
2 1
,
22;
),
求条件概率密度

10条件分布与独立性

f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).

概率论与数理统计3-4

1 当 0 x y , 0 y 20 200 f ( x, y ) 0 其他
20
O
20
x
图 3-12
求（1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度；（2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率；（3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X，是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，

+
+

第3章连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1

高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习题及答案

4 3 1 ，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． 5 4 3
5 ， 6
5 4 3 1 ，P (A 2 ) = ，P (A 3 ) = ，P (A 4 ) = ． 6 5 4 3 （1）设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则 P (A 1 ) = ¯ 3) P (B) = P (A 1 A 2 ¯¯ A
2
B．
96 625 96 4 2 ． ) = 625 5
4 ，那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( 5 192 256 C． D． 625 625
)
答案： B 解析：
概率为 C2 4 ( ) (1 −
2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概率是
1 2 0.095 0.0025
解析：由题意，得
4. 将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
答案：解析：
．
5 6 依题意得，所求的概率等于 C4 6 ⋅ ( ) + C6 ⋅ ( ) + C6 ⋅ ( ) =
11 32
1 2
6
1 2
6
1 2
6
11 ． 32
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（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5 9 = . 100
事件的独立性与条件概率独立重复试验与二项分布

3.2.1,2(边际分布,条件分布)

r
y
y
2 r 2 − y2 , | y |≤ r 2 ϕY ( y ) = π r 0, | y |> r
-r −
r 2 − y2
r 2 − y2
r x
-r
说明： ( X ,Y) 的联合分布是均匀分布，说明：的联合分布是均匀分布，但边缘分布都不是均匀分布。但边缘分布都不是均匀分布。
2× 2 P (ξ1 = 1, ξ 2 = 1) = = 0.16 5× 5
ξ1
ξ2
0 1
0 0.36 0.24 0.6
1 0.24 0.6 0.16 0.1 0.4
边际分布相同联合分布却不相同
联合分布可决定边际分布边际分布不能决定联合分布
−1 0 1 X ~ 1 1 1 ，例已知 X ,Y 的分布分别为 4 2 4
∴ pη |ξ ( y | x ) =
pξη ( x , y )
pξ ( x ) 称 pη|ξ ( y | x) 为在 ξ = x 条件下，连续随机变量 η 条件下，
的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。
Fη|ξ
∫ ( y | x) =
y −∞
pξη ( x , v )dv pξ ( x )
解： 1）不放回”取球方式）不放回” “
3× 2 P (ξ1 = 0, ξ 2 = 0) = = 0.3 5× 4 3× 2 P (ξ1 = 0, ξ 2 = 1) = = 0.3 5× 4
2× 3 P (ξ 1 = 1, ξ 2 = 0) = = 0.3 5× 4
2×1 P (ξ1 = 1, ξ 2 = 1) = = 0.1 5× 4
p12 L p22 L M pm 2 L p•2 L

第2节条件分布与独立性

解 (1)若( X , Y ) ~ N (0,0,1,1, ), 则
X |Y ( x | y) ~ N ( y,1 2 );
Y | X ( y | x) ~ N ( x,1 ).
2
推广
(2) 设( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , , , ), 则
.
对于任意给定 xi , 如果 P{ X xi } 0, 则在X xi的
性质：pi| j 0,
p
i
i| j
1;
p j|i 0,
p
j
j|i
1.
问题 : 联合分布、边缘分布和条件分布有什么关系?
联合分布、边缘分布和条件分布的关系 X Y
y1 p11 p21 pi 1
y2 p12 p22 pi 2
2. 连续型变量独立的定义
设两个连续型随机变量 X 和 Y 的联合密度和边缘密度分别为 f ( x, y )和 f X ( x )与fY ( y ). 则
严格地说 , 连续型随机变量X与Y 相互独立是指 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) 在整个平面上几乎处处(即面积为0的区域除外)成立.
3. 一般型随机变量的条件分布设 X 是一随机变量, A 是一随机事件, 则由如下条件概率确定的函数
F ( x A) P X x A , x 称为在A 发生条件下 X的条件分布函数 .
二、随机变量的独立性
随机变量独立的直观含义
随机变量 X 和 Y 相互独立的直观含义是指它们之间在概率上相互毫无影响, 也就是说 , 任何一个的取值都不会影响到另一个取值的分布.
pi 1
yj p1 j p2 i pij

高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布

2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为

条件分布及其独立性

分析
设(X Y)是连续型随机向量分布函数和密度函数分别为 F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
由于{Yy}是一个零概率事件
P{X x|Y y} P{X x,Y y} P{Y y}
(328)
的分子、分母均为0 因而直接根据条件概率定义来考虑X的
(320)
对给定的x和y 如果事件{Xx}与事件{Yy}独立则有
此时
F(x y) P{Xx Yy}P{Xx}P{Yy} FX(x)FY(y)
F(x|Yy)FX(x)
(321)
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
条件分布函数对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(1) pi|j 0 (2) pi| j 1 i
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
条件概率分布
设(X Y)是二维离散型随机向量其概率分布为
P{Xxi Yyj}pij i j1 2 则由条件概率公式当P{Yyj}0时有
P{X

xi |Yຫໍສະໝຸດ 1 x2 , π 0,
| x|1, 其他.
于是对一切x(|x|1) 有
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)

2
1, 1 x2 0,
| y| 1 x2, 其他.
例38(2) 设(X Y)是在D{(x y)|x2y21}上服从均匀分布的随机向量求fX|Y (x|y)

2021版高考数学苏教版(新课程版)一轮复习 11.6 条件概率与事件的独立性、正态分布

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核心考点·精准研析考点一条件概率、事件的独立性1.市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为,而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( )A. B. C. D.2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)的值为( )A. B.C. D.3.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,求:乙投篮次数不超过1次的概率.世纪金榜导学号【解析】1.选A.不合格小电器在网上购买的概率为×=,不合格小电器在实体店购买的概率为×=,所以这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是=.2.选C.因为P(B)=,P(AB)=,所以P(A|B)==.3.记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,所求的概率是P=P(A+·B+··A)=P(A)+P(·B)+P(··A)=P(A)+P()·P(B)+P()·P()·P(A)=+×+××=.所以乙投篮次数不超过1次的概率为.1.条件概率的3种求法定义法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=缩样法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式.(2)间接法:从对立事件入手计算.考点二n次独立重复试验、二项分布【典例】1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为( )A.0.33B.0.66C.0.5D.0.452.某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率.(2)5次预报中至少有2次准确的概率.(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率. 【解题导思】序号联想解题1种5棵成活4棵联想到n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式2 (1)联想到用公式p k(2)由“至少2次”联想到对立事件“最多1次”,即0次,1次(3)转化为4次独立重复试验恰好发生1次试验模型【解析】1.选A.根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为0.94(1-0.9)≈0.33.2.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X～B5,,故其分布列为P(X=k)=k1-5-k(k=0,1,2,3,4,5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=2×1-3=10××≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-×0×1-5-××1-4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99. (3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为××1-3×≈0.02.1.熟记概率公式n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为p k(1-p)n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.如图,由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为P=×2×3=×5=.2.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=________.【解析】P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-p0·(1-p)2=,所以p=,P(η≥1)=1-P(η=0)=1-04=1-=.答案:3.在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ,求ξ的分布列.【解析】随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ～B4,.所以P(ξ=k)=k1-4-k=4(k=0,1,2,3,4).所以变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P考点三正态分布命题精解读考什么:(1)正态曲线的应用.(2)正态分布与统计的综合应用.怎么考:正态分布作为考查数学应用意识的重要载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题形式出现.学霸好方法巧用正态曲线的性质解题(1)正态曲线关于直线x=μ对称,用此性质可以进行灵活转化.(2)正态曲线与x轴之间的面积是1.正态曲线的应用【典例】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)= ( )A.0.447B.0.628C.0.954D.0.9772.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )A.997B.954C.819D.683【解析】1.选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,σ2), 所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(ξ>2)=0.023,所以P(ξ<-2)=0.023.所以P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.2.选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,所以P(58.5<X<62.5)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,从而属于正常情况的人数是1 000×0.683≈683.如何利用正态曲线的性质解题?提示:充分利用正态曲线的对称性及正态曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).3σ原则的应用【典例】1.在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C 下方(曲线C为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附:正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997.A.4 985B.8 185C.9 970D.24 5582.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N4,,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个? 世纪金榜导学号【解析】1.选B.由题意P(0<X<3)=P(0<X≤2)+P(2<X<3)=0.683+(0.954-0.683)=0.818 5,所以落在曲线C下方的点的个数的估计值为30 000×=8 185.2.因为X～N4,,所以μ=4,σ=.所以不属于区间(3,5]的概率为P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3<X≤5)=1-P(4-1<X≤4+1)=1-P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈1-0.997=0.003,所以1 000×0.003=3个,即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个.正态分布与统计的交汇问题【典例】近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备今年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在去年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数. (ⅰ)任取一人,求该人是目标客户的概率;(ⅱ)问:10 000人中目标客户的人数X为何值时概率最大?附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997,≈0.49. 世纪金榜导学号【解析】(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,从而T服从N(2,0.24),又σ=≈0.49,从而P(1.51<T<2.49)=P(μ-σ<T<μ+σ)≈0.683.(2)(ⅰ)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为P(2<T<2.98)=P(μ<T<μ+2σ)=P(μ-2σ<T<μ+2σ)≈×0.954=0.477.(ⅱ)X服从B(10 000,0.477),P(X=k)=0.477k(1-0.477)10 000-k=0.477k·0.52310 000-k(k=0,1,2,…,10 000).设当X=k(k≥1,k∈N)时概率最大,则有得解得4 770-0.523<k<4 770+0.477,所以k=4 770.所以10 000人中目标客户的人数为4 770时概率最大.1.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)等于( )A. B. C. D.【解析】选D.由正态分布图象知,μ=3为该图象的对称轴,P(X<3)=P(X>3)=.2.随机变量X服从标准正态分布,则X的总体在区间(-3,3)内取值的概率为( ) A.0.998 B.0.997C.0.944D.0.841【解析】选B.标准正态分布N(0,1),σ=1,区间(-3,3),即(-3σ,3σ),概率P=0.997.1.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,则Δ=4-4ξ<0,ξ>1,因为ξ～N(1,σ2),所以μ=1,P=.2.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕, A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X 的分布列.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=≈11.95;②若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954.【解析】(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数为=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(2)①因为Z服从正态分布N(μ,σ2 ), μ=26.5,σ≈11.95,所以P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)≈0.683,所以Z落在区间(14.55,38.45)内的概率约为0.683.②根据题意得X～B4,,所以P(X=0)=4=,P(X=1)=4= ;P(X=2)=4= ;P(X=3)=4= ;P(X=4)=4=.所以X的分布列为X 0 1 2 3 4P关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

独立性、二项分布及其应用

第五节独立性、二项分布及其应用一．考点梳理1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的，用符号来表示，其公式为P (A |B )＝ . 2．相互独立事件同时发生的概率 (1)对于两个事件A 、B .假如P (AB )＝，则称A ，B 相互独立．假如A ，B 相互独立．则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互．(2)一般地，假如事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝3．独立重复试验与二项分布(1)n 次独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下重复实行次的，各次之间相互的一种试验，在这种试验中每一次试验只有结果，即要么A ，要么A ，且任何一次试验中发生的概率都是的．(2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (x ＝k )＝ (k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～．二．自我检测1．(2011·广东卷改编)甲、乙两队实行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_____．2．设小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是____．3.(2011·湖北卷)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________．4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于________．三．例题分析考向一条件概率【例1】抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【训练1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于________考向二相互独立事件的概率【例2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．【训练2】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能准确回答下列问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能准确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否准确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．考向三独立重复试验与二项分布【例3】 (2012·南京师大附中检测)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设． (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布．【训练3】 (2010·江苏卷)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布；(2)求生产4件甲产品所获得的利润很多于10万元的概率．四．练习反馈1．(2010·辽宁卷)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_____．2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．4．(2010·江西卷)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则p 1和p 2的大小关系是________．5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．7．某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23. (1)求比赛三局甲获胜的概率；(2)求甲获胜的概率．8．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．。

测评六十七条件概率与事件的独立性正态分布

核心素养测评六十七条件概率与事件的独立性、正态分布巩固握升练（25分钟 50分）、选择题（每小题5分，共35分）LB. 三次均为红球的概率为^，三次均为黄、绿球的概率也为云，所以2.袋中有大小完全相同的 2个白球和3个黄球，逐个不放回地摸出两球，设“第一次摸得白球”P (B|A)=(TTA. I-一42C. 1--TT1.袋中有红、黄、绿色球各一个 ,每次任取一个 ,有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率2A.一272C9D R【解析】till抽取3次颜色相同的概率为——+一+27 27 27 9为事件A, “摸得的两球同色”为事件 B ，则 P(B |£)=C I2DS【解析】选C.因为丄4）善彳,PA 忑 T（佔）疇書,所以3.已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于 E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE.现向正方形ABCD 内随机抛掷一粒豆子，记事件A:豆子落在圆 I 内，事件B:豆子落在四边形 EFGH 外，则2D —TT/J【解析】选C.设正方形ABCD 勺边长为2,则内切圆的半径为所以卩⑷弓上,P (月B)=^2=1-—.7T概率是 (1C4【解析】选B.设开关a,b,c 闭合的事件分别为 A,B,C,则灯亮这一事件 E=(ABC)U (A f ) U (A B C ), 且A,B,C 相互独立，ABC,AB 匚,A B C 互斥, 所以 P(E)=P(ABC)+P(A B C )+P(A fi c)=P (A) P(B) P(C)+P(A) • P(B) P(C )+P(A)P (0) P(C)1115. 甲射击命中目标的概率是-,乙命中目标的概率是-,丙命中目标的概率是-现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 ( )1,正方形EFGH 的边长为返,4.在如图所示的电路图中 ,开关 a,b,c 闭合与断开的概率都是1—,且是相互独立的，则灯亮的21 1 i 1 1 1 1) 1 (=—X —X —+— X —X 右-一丿 +— X 1-一2 2 2 2 2 2 2 2 1 3x_ =- 2 e©2 4 7【解析】选A.设甲命中目标为事件 A,乙命中目标为事件 B,丙命中目标为事件 C,则击中目标表示事件 A,B,C 中至少有p ^ • 6 • C ）=p （百）• p （B ）• p （C ）=[i-p （A ）] • [1-p （B ）]———3所以击中的概率p=1-p(?l • B • C )=—.4则n 的最小值为( ){ IS所以P=1-(±)n 》兰,所以2 16所以n 的最小值为4.7. 已知随机变量X 服从二项分布,则P(X=2)等于 ( )二、填空题(每小题5分，共15分)8.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互1（1 1 \1--f X1-—丿 X \1--l23 4[1- p （c ）]=13A吕4B.243 13C.24330D.243【解析】选D.因为随机变服从二项分布X 〜Bp（X=2）=B.- 3C 5D.— 106. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次,事件"至少有一次正面向上”A.4B.5C.6D.7【解析】选A.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次,事件"至少有一次正面向上”的概率为独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为【解析】设甲击中目标记为事件 A,乙击中目标记为事件 B,则P(A n B )=0.6 X 0.3=0.18,P(4 n B)=0.4 X 0.7=0.28,P( H n B )=0.4 X 0.3=0.12,所以甲、乙至多一人击中目标的概率为 0.18+0.28+0.12=0.58. 答案：0.589.将一枚均匀的硬币抛掷 6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现 4次、5次或6次,ILl答案：——3210.甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p\忖，且各局胜负相互独立.已知第二局数，则随机变量E 的分布列【解析】依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止a 21所以有P 2+(1-P)2=孑解得P W 或pn ?1 2因为P ＞；，所以P=：.依题意知，E 的所有可能值为2,4,6.5设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为-若该轮结束时比赛还将继续甲、乙在该轮中必是各得一分，此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响所求概率P £HM)6+蹲⑴6+韵⑴6^^ 2 2 3 : 325局比赛结束时比赛停止的概率为一则P的值为 ,设E 表示比赛停止时已比赛的£ 从而有 P( E =2)=—,P( E =4)= 9所以随机变量E 的分布列为E 2 4 6P5920 8116 812答案：一31.（5分）质检部门对某工厂甲车间生产的 8个零件质量进行检测，零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.事件C 表示“ 4件全合格”，事件D 表示“检测通过”僚崖电电Cj S3则 P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=「h +U ：厂否2.（5分）一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个，绿球3f 眄㈤：匕丿打丿盂p （ E =6）=X• 1 —81综合运用练质检部门从中随机抽取 4件进行检测，若至少 2件合格,检测即可通过,若至少 3件合格，检测即为良好，则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为（17A.一5353B.一701C.—1053D. ----L40【解析】选A.设事件A 表示“ 2件合格,2件不合格”；事件B 表示“ 3件合格,1 件不合格”； ,事件E 表示“检测良好”70所以卩（眄=窗=巩刀c 3cC ■1c4*盍7 1个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个黄球，一个绿球”，则P （B|A ）=（）201S3 4 33 4 3 21 22【解析】选D.设白球有n个，莓护=3,所以P （甲取到白球）=齐書电V XXX 需3. （5分）某射手射击1次,击中目标的概率是 09他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标 3次的概率是0.9 3 X 0.1； ③他至少击中目标 1次的概率是1-0.1 4. 其中正确结论的序号是【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以第3次击中目标的概率是 0.9,所以①正确，因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响所以本题是一个独立重复试验根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标 3次的概率是C ； X 0.9 3X 0.1,所以②不正确，因为至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.1 4.所以③正确.12A.一472B.一11 C.一47D.—47【解析】选D.F ,、 SX4+SX3+4X3 47 产，A IS因为右0——庁 ---------------- 需,P 3H)耳^肓^12所以如）鵲凳fie【变式备选】1袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是-,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率3A.—76B.一35 iC.一3532D.—35答案：①③4.(10分)一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内.(1)恰有一套设备能正常工作的概率(2)能进行通讯的概率.【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,“第二套通讯设备能正常工作”为事件 B.由题意知P(A)=p3,P(B)=p 3,p(』)=i-p3,p(B)=i-p3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A • S -A• B)=P(A • R)+P(>l • B)=p3(1-p3)+(1-p 3)p 3=2p3-2p6.(2)两套设备都不能正常工作的概率为P(必• fl )=P( M) • P(Z?)=(1-p 3)2.至少有一套设备能正常工作的概率即能进行通讯的概率为1-P( A • B )= 1-P(卫)• P(fi)=1-(1-p 3)2=2p3-p6.【变式备选】甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设P n表示经过n次传递后球回到甲手中的概率，求：(1)P2的值；⑵P n(用n表示)的值. 【解析】(1)经过一次传球后，落在乙丙丁手中的概率分別为7,而落在甲手中概率为0,因此1111111P1= 0，两次传球后球落在甲手中的概率为P2= 3运肓爲肓込石3（2）要想经过n 次传球后球落在甲的手中，那么在n-1次传球后球一定不在甲手中，所以1P n^(1-P n-1 ), n=2,3,4,31 12 2 因此 P 3才(1-P 2)= — X-=-3 3 3 9 1 17 7 巳—(1-P 3)=— X ——3 3 9 27 1 1 20 20 F5^(1-P 4)=— X —=—33 27 81因为 P n =—(1-P n-1),3¥。

3.2.边缘分布_条件分布

2、连续型r.v.边缘分布
设(X, Y)～f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布函数,则
FX ( x) F ( x, )
称

x

f ( x, y)dydx
f X ( x) f ( x, y)dy

为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；
同理，称
例8 (X,Y)~ N(1, 12, 2, 22, ),求 fY | X ( y | x)
1 1 f X ( x) exp{ ( x 1 ) 2 } 解、由Ex3知， 2 12 2 1
f ( x, y ) fY | X ( y | x ) f X ( x)
1 2 2
二、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布律例6.已知(X,Y)的分布律为 X \Y -1 0 pi.
-2 0 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 求X|Y = -1的条件分布律。
P{ X xi , Y 1} P{ X xi | Y 1} P{Y 1}
2 exp{ [ y2 2 ( x 1 )]2 } 2 2 2 2 1 1
1
2 Y | X N ( 2 ( x 1 ), 2 2 (1 2 )) 1
三、随机变量的相互独立性
定义如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y)
其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分布函数F(x, y)来确定.
定义
FX ( x) P{ X x} F ( x, ) lim F ( x, y )

数学练习(新教材人教A版强基版)第十章计数原理概率随机变量及其分布105事件的相互独立性与条件概率全

1．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立2．(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是( )A ． 2B ． 8C ． 4D ． 43．根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为，刮四级以上大风的概率为，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为( )A ．B ．C ．D ．4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.125．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为( )A ．B ．C ．D ．6．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”； B 表示事件“医生乙派往①村庄”； C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )A ．事件A 与B 相互独立B ．事件A 与C 相互独立C ．P (B |A )＝512D ．P (C |A )＝5127．某自助银行设有两台A TM 机．在某一时刻这两台ATM 机被占用的概率分别为13，12，则客户此刻到达需要等待的概率为________．8．某医生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为________．9．(2022·襄阳模拟)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1＝110，P 2＝19，P 3＝18. (1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．10．(2023·佛山模拟)男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组(每组4个队)．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：小组赛阶段各组采用单循环赛制(小组内任意两队需且仅需比赛一次)；决赛阶段均采用淘汰制(每场比赛胜者才晋级)，先将12支球队按照小组比赛成绩进行排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛(且不在四分之一决赛中相遇)，其余8支球队按规则进行附加赛(每队比赛一次，胜者晋级)，争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？(2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队(甲、乙、丙、丁队)实力相当，假设他们在接下来的四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜的概率都依次为34，12，12，12，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．11．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )A.827B.1627C.3281D.408112．(多选)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )A ．P (B )＝25B ．P (B |A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件13．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p 1，p 2，p 3，且p 3>p 2>p 1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( )A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大14．(2023·舟山模拟)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝，P (A |C )＝，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即P (C )＝，则P (C |A )＝________.(精确到)。

3-3,4条件分布及变量的独立性

O
•
8
•
12 x
因此负责人和他的秘书到达办公室的时间相差
不超过5分钟的概率为 1 . 48
二、二维随机变量的推广
1.分布函数
n 维随机变量 ( X1, X2 ,, Xn ) 的分布函数
F ( x1, x2 ,, xn ) P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn }, 其中 x1, x2 ,, xn 为任意实数.
Y 的条件概率密度为
fY
X
(
y
x)
1
1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
因此 X 和 Y 的联合概率密度为
f ( x, y) fY X ( y x) fX ( x)
1
1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
故得 Y 的边缘概率密度
fY ( y)
f (x, y)d x
y1 0 1
d x
x
ln(1
y),0
y
1,
0,
其它.
三、小结
1. 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量, pij ( i, j 1,2,) 为其联合分布律,在给定Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律为
P{ X
xi Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij , p• j
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人, 分别用 X 和 Y 记此人的体重和身高,则X 和 Y 都是随机变量, 他们都有自己的分布.
现在如果限制 Y 为1.7m , 求在这个限制下求 X 的分布.

随机变量的独立性和条件概率分布

随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。

独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。

首先来看独立性。

在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。

如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。

具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。

即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。

举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。

我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。

如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。

因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。

现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。

我们可以用独立性来计算。

因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。

接下来看条件概率分布。

条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。

具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。

条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。

它可以通过原始的概率分布计算得到。

具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。

多维随机变量及其分布,随机变量的相互独立性,条件概率

2 0.020 0.008 0.004 0.032
3 0.010 0.002 0.001 0.013
P{Y j}
0.900 0.080 0.020 1.000
P{Y 0 X 1} P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{ X 1} 0.045
P{Y 1 X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 ,

d y. pX (x)
请同学们思考
为什么不能用条件概率的定义来直接定义条
件分布函数 FX Y ( x y)? 答条件分布是指在一个随机变量取某个确定值
的条件下,另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} . 由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零).故直接用条件概率来定义时, 会出现分母为零. 因此,在条件分布中,作为条件的随机变量的取值是确定的数.
现在如果限制Y 取值从1.5米到1.6米, 在这个限制下求X 的分布.
定义设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量,对于固定
的 j, 若 P{Y y j } 0, 则称
P{ X

xi Y

yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij , p j
为在Y y j条件下随机变量 X 的条件分布律. 对于固定的 i, 若 P{ X xi } 0, 则称
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的定义等价于：
若对任意的 x, y, 有
p(x, y) pX (x) pY ( y)
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度， pX (x), pY ( y)分别是X的

3.2条件分布及其独立性

x
f (u, y)du
fY (y)
(329)
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量密度函数为f(x y) 通过极限
运算我们得到
x
f (u, y)du
P{X x|Y y}
fY (y)
(329)
对给定的y 如果fY(y)0 则称P{Xx|Yy}为Yy的条件下 X的条件分布函数记作FX|Y (x|y) 由(329)知
2π 1 1 2
例 39 设(X ,Y)~ N(1, 2;12, 22; ) 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x)
解由§3 1 知 X ~ N(1, 12),Y ~ N(2, 22), 于是
fX|Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
e
212
1 (1
2
[ )
x
1
12
(
缘概率分布但是由边缘概率分布一般不能确定联合概率分布比较表32中的两个不同联合概率分布我们注意到它们具有相同的边缘概率分布
表32 具有相同边缘概率分布的两个不同的联合概率分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
分析
设(X Y)是连续型随机向量分布函数和密度函数分别为 F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
故先求 P{Xx X0.5}
例35 设X服从[0 1]上的均匀分布求在已知X0.5的条件下X的条件分布函数
解当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{Xx X0.5}F(x)F(0.5)F(x)0.5
其中F(x)为X的分布函数我们知道

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P{Y 1 , X 1 , X Y 1 } 2 2 2
y
yx
y xx 0.5,0.50.5 y
f ( x, y )dxdy

x 1dxdy

0.5
D
O
0.5
x
0.5 x
x y 0.5
1
0.5 dx x 0.5 x dy 0.5 x1(1 x)dx
§3

条件分布
( X Y ) (1 X ) Y ( X Y ) Y 1 X Y (1 X ) X Y Y 1/ 2 X 1/ 2 X Y 1/ 2
2/17
三段木棒能构成
Y X Y
1 X
故三段木棒能构成的概率为
§3
条件分布
1/17
将长度为 d 的一根木棒任意截去一段,再将剩下的木棒任意截为两段.求这三段木棒能构成三角形的概率. 不妨设 d 1. 设第 1, 2 次余下木棒长度分别为 X , Y 则 X ~ U (0,1), 其密度是 Y 1 X
1, 0 x 1 f X ( x) X Y 0, 其它 x (0,1), 当 X x时 , Y ~ U (0, x),即当0 x 1时,有 1 ,0 y x x fY | X ( y | x ) 0, 其它 y X , Y 的联合概率密度为 f ( x, y) fY | X ( y | x) f X ( x) 1 , 0 x 1, 0 y x x 其它 0, 第三章多维随机变量及其分布
( x , y )ABQ 1 BC 1 2 直线 PQ与线段 AB 相交等价于什么？ BC 2 2
第三章多维随机变量及其分布
1 1
x 0.5, y 0.5 D: x y 0.5 0 x 1,0 y x 1 0.5
ln 2 0.5 0.193
第三章多维随机变量及其分布
§3
条件分布
3/17
OB Q C f Z ( z ) (BC)ABQ x, y 其它 0, 1 BC 1 2Q 相互独立,故联合概率密度为因为点 P 与点BC BC 0 2 h zdz h f ( x, 2 , z ) f XY ( x, y) f Z z ) dxdy ABQ面积 y (
设在 ABC内部任取一点 P, 在底边 BC 上任取一点 Q, 求直线 PQ 与线段 AB相交的概率. 建立坐标系如图. 依题意,点 P 服从相交的概率为直线 PQ 与线段 AB ABC 上的均匀分布,点 Q 服从区间 (0, BC )X , Y ) ABQ,0 Z BC } P{( 上的均匀分布,其概率密度分别为 XY ( x, y( x,Zy()z )dxdydz y A f 2 , ) f ABC h BC f XY (x, ,y )ABQ, ( x y) 0 z BC h 其它 0, P( X , Y ) BC 1 z f XY ( x, y )dxdy 0 f Z ( )dz , (0, BC ), z x z