振动力学 梁的横向振动

i 1
i
弹性体的振动
响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用标准化条件确定振型中的常数因子; （3）将初始条件变换到标准坐标; （4）求标准坐标下的响应; （5）求物理坐标下的响应。
弹性体的振动
【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的 微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。
i 1
l
l
q & 0 i 0 A Φ jΦ id x q & 0 i0 A Φ iu & (x ,0 )d x
i 1
标准坐标下的初始激励响应
qi(t)qi0cositq & i0 i sinit
弹性体的振动
物理坐标下的响应
u(x,t)Φ i(x) q i0co sitq & i0sinit
弹性体的振动
讨论：
（1）k＝0时，频率方程变为 chlcosl10
即为悬臂梁的情况。 （2）k趋于无穷大时，频率方程变为
c h ls in l c o sls h l 0
或
tanl thl
即为左端固定，右端简支的情况。
弹性体的振动
【思考题】 证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为
：
2u(x,t)
u(x,t)
弹性体的振动
（2）集中力 设在x＝x1处受集中力F(t), 这时可以用函数表示
为分布形式：F(x,t)dx (x-x1), 方程变为
q & & ii2 q i 0 lF (x ,t)( x x 1 ) Φ id x Φ i( x 1 ) F ( t)
总响应为
u (x ,t)Φ i(x)Φ i(x 1 )0 tF ()sin [i(t)]d
i 1
i
弹性体的振动
（3）集中力偶（不推导，只给出结果）
设在x＝x1处受集中力M(t), 这时有
qi Φ i (ix1) 0 tM ()sini(t)d
总响应为
u (x ,t)Φ i(x )Φ i(x 1 )0 tM ()sin [i(t)]d
i 1
i
弹性体的振动
强迫振动的响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用正规化条件确定振型中的常数因子; （3）求主坐标下的响应; （4）求广义坐标下的响应。
C2 C4 0, 以及
(C1C3)0
C 1 s i n l C 2 c o sl C 3 s h l C 4 c h l 0
C 1 c o s l C 2 s i n l C 4 s h l C 3 c h l 0
弹性体的振动
求得 C3 C1
C2C4cshinllcsohsllC1
E I ( C 1 3 c o s l C 2 3 s i n l C 3 3 c h l C 4 3 s h l )
k ( C 1 s i n l C 2 c o sl C 3 s h l C 4 c h l )
求得 C3 C1
sinlshl C2C4chlcoslC1
解： （1）固有频率与相应的固有振型为
i
i
l
2
EI
A
Φi(x)
Ci
sinix
l
（2）由正规化条件
l
0ΦiAΦidx 1
确定系数Ci
0 lC isinilxA C isinilxdx1
弹性体的振动
求得 所以
Ci
2 Al
Φi(x)
2 sinix Al l
（3）初始条件。按题意
u(x,0)0,
弹性体的振动
3. 对外激励的响应 （1）分布干扰力
设干扰力密度为f(x,t), 和前面杆的外激励受迫振 动响应推动方法一样。利用标准化振型函数 F i ，得到 标准坐标下的解耦方程
q & & i i2qi 0l f(x,y)Φidx
利用杜哈美积分得
qi 1 i 0 lΦ i 0 tf(x,)sin[i(t)]ddx
EI
d2i
dx2
dx
j
ddxEI
d2i
dx2
l
0
l 0
ddxEI
d2i
dx2
jdx
j
ddxEI
d2i
dx2
l 0
EI
d2i
dx2
dj
dx
l
0
l
EI
0
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
弹性体的振动
上两式相减得
则 i＝j时
(i22 j)0lAijdx0 0lAijdx0 (ij)
l 0
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材 料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标 x o z ，原点位于梁的左端截 面的形心， x 轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振 动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
第 i 阶振型有 i － 1 个节点。节点坐标
1
2 l2
EI A
i
l
xk
k
即
xk
kl , i
(k 1, 2 L i 1)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ (0)0,Φ (0)0 Φ(l)0,Φ(l)0 代入特征方程的解得到
弹性体的振动
（4）响应
u(x,t) qi(t)Φi(x) i1
qi0cositq & i0sinit
i 1
i
2 A lsinilx
2lvi 1 1i sinilxsinilx1sinit
总响应为
u (x ,t)Φ i 0 lΦ i 0 tf(x ,)sin [i(t)]dd x i 1 i
弹性体的振动
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
弹性体的振动
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力 Φ(l) 0 QddM x EIqdd3xΦ 3 qkΦ(l)
xl
Fra Baidu bibliotek
弹性体的振动
Φ(l) 0
dM d3Φ
Q EIq
qkΦ(l)
dx
dx3
xl
代入特征方程的解
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
d4Φ(x) 4Φ(x)
dx4
（称为特征方程）
其中
4
2 a2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
q (t) C 5sin t C 6c o s t
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数 F ( x ) 和频率方程，进一步确定系统的固有频率 w i 。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
C s in x s h x c s h in ll c s o h s ll(c o sx c h x )
弹性体的振动
Φ (x)C13cosxC23sinx C33chxC43shx
将边界条件代入得到
C2 C4 0, (C1C3)0
C 1 s i n l C 2 c o s l C 3 s h l C 4 c h l 0
0
其中
a EI A
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t)Φ (x)q(t)
代入方程得到
a2x22q(t)d2d Φ x(2x)Φ(x)dd 2qt2 (t)
写为
a2
2 x2
d2Φ(x)
dx2
dd2qt2(t)
2
Φ(x)
q(t)
弹性体的振动
则有
d2q(t) dt2
2q(t)
0
x2u2A2tu2 f
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例) 。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(x,t)
u(0,t)0,
0
x x0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
u(0,t)0,EI
弹性体的振动
得到
C2 C4 0, 2(C2C4)0
则
C2 C4 0
以及
C 1sinlC 3shl0
C 1 2sin l C 3 2sh l 0
则
C3 0
以及频率方程
sinl 0
由此解得
i
i,
l
(i1,2L)
弹性体的振动
所以固有频率 振型为
i i2ai2l22 EA I, (i1,2L)
Φ (i)(x)CsinixCsini l x
AiidxMi
l
0
id d x2 2 E Id d 2 x2i dx0 lE I d d 2 x2i 2dxi2M i
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u(x,t) qi(t)Φ(i)(x) i1
1. 标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化
sinhl cosl
C1
chx
C s in x s h x c s h in ll c s o h s ll(c o sx c h x )
弹性体的振动
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
化简后得到频率方程
coslchl1
求出后得到固有频率
i i2ai2 EA I, (i1,2L)
弹性体的振动
振型为
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
C1
sinx
sinl shl chl cosl
C1
cosx
C1
shxsinl chl
以及 Φ(x)C1cosxC2sinx C4shxC3chx
Φ (x)C12sinxC22cosx C32shxC42chx
弹性体的振动
进一步化E k简I 后 得到3c频h率lcs方h in程llco scosl l1shl
求出后得i 到固i2a有频i2率 EA I, (i1,2L)
Φ 振( x 型) 为 C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
弹性体的振动
取微段梁 d x ，截 面上的弯矩与剪力为 M 和 Q ，其正负号的 规定和材料力学一样 。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
QQ Q xdxfdxAdx 2 tu 2
弹性体的振动
即
Q x
A2tu2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M
EI
2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
2u(x,t) x2
0
x0
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
EI2u (xx 2,t)x00, xEI2u (xx2,t)x00
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
EI
2u
x2
A2tu2
对于均匀梁，振动方程为
a2
4u x4
2u t2
ut t0 0 v
x12xx12
L
弹性体的振动
变换到主坐标下
qi00lAΦiu0(x)dx0
l
q&i0 0 AΦiu&0(x)dx
A v x12 x12
2 sin ix dx Al l
v 2 A 2l sin i sin i x1
l i 2l
l
v 2 A sin i x1
l
l
qi(t)qi0cositq & i0 i sinit
弹性体的振动
【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和弯矩为0。
Φ(0)
0,
d2Φ dx2
0
x0
Φ(l)
0,
d2Φ dx2
0
xl
代入特征方程的解
( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
以及
Φ (x)C12sinxC22cosx C32shxC42chx
l
0j
d2
dx2
EI
d2i
dx2
dx
l 0
EI
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
0li2Aijdx
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
l
0i
d2 dx2
EI
d2j
dx2
dx
l 0
EI
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
0l2j Aijdx
弹性体的振动
用j左乘上式两端，并积分
l
0j
d2 dx2
EI x2
k0
xl
x xl
3u(x,t)
EI
ku(l,t)
x3
xl
弹性体的振动
关于振型函数的正交性
和一维波动方程振型函数的正交性类似。第 i 阶 特征值满足
ddx22EI(x)d2d Φ xi2 (x)i2A(x)Φ i(x)
弹性体的振动
考虑边界条件为简支、自由、固定的情
况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则
0liAidxMi 1
弹性体的振动
2. 对初始激励的响应 设初始条件为
u(x,0)u0(x)
将其按标准振型展开
u(x,t) t
t0
u&0(x)
u(x,0)u0(x) q0iΦi i1
u& (x,0)u& 0(x) q& 0iΦi i1
弹性体的振动
用Aj左乘上两式，并积分得
l
l
q 0 i 0 A Φ jΦ id x q 0 i0 A Φ iu (x ,0 )d x