四川大学自动控制原理第五章频率分析法

2 1 2 1
且A 有 2()P 2() Q 2()。
jQ
jQ
A
以为变量0（ ），计A算、 或
P
0P
P、Q，即可P在 、Q坐标系下描点绘图。
计算列表：
Fra Baidu bibliotek
ω0
1
2
5
∞
A(ω) 1 φ(ω) 0
0.707 0.45
0.196
0
－45° －63.4° －78.69° －90°
描点后可得惯性环节 的幅相频率特性图
R
u1
i
C u2
分析：零初始条件、正弦输入时的输出为
U 2(sG ) (1(ss )T )U 1 s1s2 A 1ω ω 2,
其 时 域 响 应 稳 为 态 A 2分 si( nt量 )
u2(t )1 AT 1T2ω ω2eT t
A1 si(nt)
1T2ω2
稳态分与量输入同频率，值只和是相幅位发生: 变化
本章主要内容
1. 频率特性（基本概念，图示方法、稳态 误差分析）；
2. 典型环节的频率特性； 3. 系统开环频率特性的绘制； 4. Nyquist 稳定判据； 5. 控制系统的稳定裕量。
5.1 频率特性
1. 频率特性的基本概念
例：G(s) U2(s) 1 ,
U1(s) Ts1 T RC
u1
u1(t ) A1 sin(t )
实际为半圆
jQ()
0
5
•
•
2
• 1
1 P()
0
考虑 ω： - ，称N为 yq曲 uis线 t ，对称
j
MATLAB绘图：
a=tf([1],[1 1]);
jQ
nyquist(a)
s平面
对称性： 设 f ( s )为实有理函数
f ( j ) Ae j 则 f ( j ) Ae j
0
G(jω)平面
注：即使存在纯时滞环节也同样适用（下页例）
例：G 设 1(s)2G (s) s11es,
H(s)1
R(s) Er(s)
R(s) 2 , 即r(t)sin2(t)
G1(s)
-
Y(s) G 2(s)
s24
H(s)
e(s)E R r ((s s))1 G 1 k (s s ) 1 e se s
用后面的判据可 知系统稳定
G( jω)的幅G 值 ( jω)和相 位 G( jω)
上述结论对一般的线性定常系统都成立。 （可扩展用于不稳定系统）
应用频率法求正弦输入时的稳态误差
例（ 3节 .6同 ）G 1(： s)3s设 s4,
1
G 2(
s) , s1
H (s)1
R(s2 ) ,即 r(t)si2 n t)( s24
R(s) Er(s) G1(s)
Y(s) G 2(s)
- e(s)E R r((s s))1 G 1k(s( ) s( ss 2 1 )2 )
H(s)
e(j2)2222 22 21450.559
系统稳定
e(j2)2tg1224tg121.10弧 7 度 6.3 4（ ） 3
e s(r tl t ) ie r m ( t0 ) .5s 5i2 9 tn 1 .1 ( ) 07
当 ω 0时G (， j0)K , (0)0 ;
当 时G (， j )0, ( ) 9(0 nm )。
例： G (j)
10
10 e j ( )
(1 0 .1 j)1 ( j) 1 ( 0 .1) 21 2
() ar(0 c .1 t) g ar( c )tg
2. 1型系统
仿真实验取
T=1，A1=1 ω由小变大
R
i
C u2
输入 u1=sin(0.5t)
输出u2
输入 u1=sin(2t)
输出u2
输入 u1=sin(5t)
输出u2
观察到的现象：
当输入为正弦信号时,系统输出稳态仍为同频率的 正弦信号,只是幅值和相位发生了变化。
即: 达到稳态u后 2(t的 )A2 sin(t )， 其中 A2 和（负值 均） 为 的函数， 且随增大而减小。 原因？
第五章 频率响应分析法
经典控制理论最重要、最主要的分析方法； 根据开环系统的稳态频率特性图，分析闭环系统 的稳定性、稳定裕度及动态性能； Nyquist 1932年提出频域稳定判据，Bode 1940年 提出简化作图的对数坐标系； 系统的频率特性具有明确的物理意义，既可实验 获取，也可由传递函数得到。
② 相频特性表示系统在不同频率正弦信号作用 下稳态输出的相位移；
③ 已知系统的传递函数，令 s=jω，可得系统 的频率特性（无论稳定与否）；
④ 频率特性虽然表达的是频率响应的稳态特性， 但包含了系统的全部动态结构参数，反映了 系统的内在性质；频率从0→∞的稳态特性反 映了系统的全部动态性能。
２. 频率特性的图示方法
m
K(1i j)
G(j)
i1 n1
, nm, K0
j(1Ti j)
jω
i1
当 0时G ， (j0) 90 ; 当 时G ， (j )0 90 (nm )。
（１）幅相频率特性图
又称极坐标图，奈奎斯特（Nyquist）图．
例：绘制惯 G(性 j)环 节 1 的幅相频率特
jT1
设 T 1 ， G (j) 则 A () e j 1 j P () j( Q ) 2 1
其 A 中 1， ar ； P c t1 g ,Q
1 2
ej2
1
e(j2) j21ej2
0.8083 (1co2s)2(2sin2)2
e(
j2)
ej2
2tg1
j21co2sjsin2
2sin2 1co2s
3.08弧 度1（ 7.46）
e s(r tl t ) ie r ( m t0 .) 80 si 2 8 tn 3 3 .0 ()8
小结
① 幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳 态衰减（或放大）特性；
P
（2）对数频率特性图（伯德图, Bode plots）
由对数幅频特性和相频特性两个图组成。 （后面讲）
5.2 开环系统极坐标图的绘制
1. 0型系统
m
K(1is)
开 环 传G(函 s)为 ni1
, nm, K0
(1Tis)
i1
m
K(1i j)
频 率 特 性 G(为 j)
i1 n
(1Ti j)
i1
A2 A(ω)A1,
A(ω) A2 A1
1 1T2ω2
幅频特性
-arct(gTω)
频率特性：
相频特性
幅频特性和相频特性
频率特性与传递函数的关系：
G(s)1 , 令sjω T s1
G ()j jT 11
1
ejarc(Ttg) A( )ej
1T2ω2
结论：
幅频特 Aω 性 ( )和相频特 (性 )分别为