高中数学数学归纳法优质课PPT课件
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高三数学精品课件： 数学归纳法
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点三 归纳猜想证明 (核心考点——合作探究)
解析：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1，a12＋2a1－2＝ 0.∴a1＝ 3－1(a1＞0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2＞0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
法的原理．
素养
2.能用数学归纳
☆
形成
法证明一些简单
的数学命题.
考查 主要通过数学归纳法证明问题，考查
角度 逻辑推理能力.
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
当 n＝k＋1 时，左边＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋3k1＋3＝(k＋1 1＋k＋1 2 ＋k＋1 3＋…＋31k)＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3－k＋1 1>56＋3k1＋3×3 －k＋1 1＝56， 所以当 n＝k＋1 时，命题也成立． 综合①②可知原命题成立．
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考点一 证明等式 (核心考点——合作探究)
数学归纳法完整版课件
所以当n＝k＋1时，结论也成立. 综上所述，对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n－1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示 不对，n0也可能是2，3，4，….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
解
存在
c＝14使得
1 a2n<4<a2n－1.
因为 f(x)＝4x＋4 15，当 x∈(0,1]时，f(x)单调递减，
所以149≤f(x)<145.
因为a1＝1，
所以由 an＋1＝4an＋4 15，得 a2＝149，a3＝37061，且 0<an≤1.
下面用数学归纳法证明 0<a2n<14<a2n－1≤1.
当 n＝1 时，因为 0<a2＝149<14<a1＝1≤1，
所以当n＝1时结论成立. 假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 0<a2k<14<a2k－1≤1. 由于 f(x)＝4x＋4 15为(0,1]上的减函数， 所以 f(0)>f(a2k)>f 14>f(a2k－1)≥f(1)， 从而145>a2k＋1>14>a2k≥149， 因此 f 145<f(a2k＋1)<f 14<f(a2k)≤f 149， 即 0<f 145<a2k＋2<14<a2k＋1≤f 149≤1，
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数学归纳法优质课件高中数学优质课件一、教学内容本节课，我们将在高中数学教材第四章“数列与数学归纳法”中，深入学习数学归纳法。
具体内容涉及教材第2节，详细探讨数学归纳法基本原理、步骤及其在数列中应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法概念、原理和应用；2. 掌握数学归纳法证明步骤，并能运用其解决数列相关问题；3. 培养学生逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法证明过程中，如何引导学生从特殊到一般，再由一般到特殊逻辑推理；2. 教学重点：数学归纳法证明步骤及其在数列中应用。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中实例，如“登楼梯问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题，从而引出数学归纳法；2. 例题讲解：讲解数学归纳法基本原理和步骤，结合具体例题，让学生直观地解数学归纳法在实际问题中应用；3. 随堂练习：让学生独立完成数列相关数学归纳法证明题，并及时给予指导和反馈；5. 课堂小结：让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。
六、板书设计1. 数学归纳法基本原理和步骤；2. 数列相关例题及解题过程；3. 课堂小结和课后作业。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2；（2）证明：1^2+2^2+3^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
答案：（1）略；（2）略。
2. 拓展延伸：让学生思考数学归纳法在其他数学领域（如不等式、函数等）应用。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法掌握情况，分析学生在证明过程中可能遇到问题，调整教学方法；2. 拓展延伸：引导学生探索数学归纳法在其他领域应用，培养学生创新思维和探究能力。
重点和难点解析在教学过程中，有几个细节是需要我重点关注。
实践情景引入方式对于激发学生学习兴趣至关重要。
例题讲解深度和广度直接影响到学生对数学归纳法理解程度。
《数学归纳法》ppt课件
第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
高中数学《数学归纳法》课件
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
4.4 数学归纳法课件ppt
,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
4.1数学归纳法课件人教新课标2
[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出 因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整 除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
数学归纳法优秀ppt课件
变种三
多级数学归纳法：适用于需要多级递推的数学问题，对每一级分别 进行归纳证明。
数学归纳法与其他数学方法的结合
与数列求和结合
利用数学归纳法证明数列求和公式时，需要将数 列求和的公式与数学归纳法相结合。
与不等式证明结合
在证明不等式时，可以利用数学归纳法结合放缩 法、构造函数等方法进行证明。
与几何知识结合
古希腊数学家欧几里德在 《几何原本》中提出了类 似的归纳思想。
17世纪的归纳法
莱布尼茨在17世纪末提出 了形式化的数学归纳法。
现代的数学归纳法
现代的数学归纳法已经发 展成为一种非常严谨的证 明方法，广泛应用于各个 数学分支。
02
数学归纳法的原理
归纳基础步骤
归纳基础步骤
确定初始值，即n=1时， 命题成立。
数学归纳法优秀PPT课件
目录
• 引言 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的证明方法 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的扩展与深化 • 总结与展望
01
引言
什么是数学归纳法
数学归纳法是一种证明与自然 数有关的命题的数学方法。
它包括两个步骤：基础步骤和 归纳步骤，通过这两个步骤， 可以证明一个给定的命题对所 有的自然数都成立。
数学归纳法的应用范围
适用于证明与自然数有关的恒等式、不等式、级数求和等数 学问题。
数学归纳法的变种与推广
变种一
倒序数学归纳法：适用于需要逆序证明的数学问题，先从最后一 项开始证明，逐步推导到第一项。
变种二
分治数学归纳法：将问题分解为若干个子问题，分别对子问题进行 归纳证明，最后综合子问题的结论得出原问题的结论。
这种方法广泛应用于数学、物 理、工程等领域。
多级数学归纳法：适用于需要多级递推的数学问题，对每一级分别 进行归纳证明。
数学归纳法与其他数学方法的结合
与数列求和结合
利用数学归纳法证明数列求和公式时，需要将数 列求和的公式与数学归纳法相结合。
与不等式证明结合
在证明不等式时，可以利用数学归纳法结合放缩 法、构造函数等方法进行证明。
与几何知识结合
古希腊数学家欧几里德在 《几何原本》中提出了类 似的归纳思想。
17世纪的归纳法
莱布尼茨在17世纪末提出 了形式化的数学归纳法。
现代的数学归纳法
现代的数学归纳法已经发 展成为一种非常严谨的证 明方法，广泛应用于各个 数学分支。
02
数学归纳法的原理
归纳基础步骤
归纳基础步骤
确定初始值，即n=1时， 命题成立。
数学归纳法优秀PPT课件
目录
• 引言 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的证明方法 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的扩展与深化 • 总结与展望
01
引言
什么是数学归纳法
数学归纳法是一种证明与自然 数有关的命题的数学方法。
它包括两个步骤：基础步骤和 归纳步骤，通过这两个步骤， 可以证明一个给定的命题对所 有的自然数都成立。
数学归纳法的应用范围
适用于证明与自然数有关的恒等式、不等式、级数求和等数 学问题。
数学归纳法的变种与推广
变种一
倒序数学归纳法：适用于需要逆序证明的数学问题，先从最后一 项开始证明，逐步推导到第一项。
变种二
分治数学归纳法：将问题分解为若干个子问题，分别对子问题进行 归纳证明，最后综合子问题的结论得出原问题的结论。
这种方法广泛应用于数学、物 理、工程等领域。
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
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详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
人教版高中数学选择性必修2《数学归纳法》PPT课件
典例分析
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列, + , ( + ) , … ，
+ − ， … 的前项和为 ，试比较 与的大小，并用数学归纳
法证明你的结论.
>
证明: (1)当 =2时， 不等式显然成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ 且>1时,不等式成立,即 >
的推理，证明n取所有正整数
都成立？
情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放
骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若
前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒
下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致
第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可
导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有
多少块骨牌,都能全部倒下.
探究新知
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
高中数学
选择性必修第二册
RJ
RJA
4.4*数学归纳法
情景引入
我是
一毛
我是
二毛
我是
三毛
我不是
四毛！我
猜：
是小明！
四毛！
我是
谁？
不完全归纳： 从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
探究新知
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
n＝k＋1
推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整
数n都成立．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
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要 证 明 这 个 ,必问须题寻 找 一 种 有 骤,就 限 个 能 够 处 理 完 无 限 象多 的个 方. 对 法
我们先从 多米诺骨牌游 戏说起 .这是一 种码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨 牌, 若 前 一 块 骨 牌 倒 下, 则 一 定 导 致 后 一 块 骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨 牌,由于第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块骨牌倒下, 就可 导致第3块骨牌 倒下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
1 k 1 2 k 1 1 1 kk 1 k 1 2 k 1 1 . 1 k 1 k 2 k 1 1 1k1k1 右边. 所n 以 k 1 时 当 等 成 .由 式 1立 ,2可知
1 3 5 1 n 2 n 1 1 n n n N .
2若 从 "nk时 等式 成 立 "能 推"n出 k1时 等 式也 成",立 则 可 以 建 立 一诺 种骨 像牌 多那 米样
的"由 前 到 "的后自 动 递 .推 关 系
人教版-数学归纳法ppt完美课件
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综合 12,就自然地想 这到 个一 等种 式 : 证 的 首先 1 n 1 证 时明 等 成 ;式 立 然后证 2中 明的递.推关系 完 成 以 上 两 ,就步 可n后 由 1时 等式 成 立 为,起 点 递 推n出 2时 等式 成 立 ;再 由 n2时 等式 成 立 , 递 推n出 3时 等式 成 立 如 此 继 续 自 动 递 下 去 ,就 可 以:对 说于 任 意 正 n,等整式 数 成 立 .
在 高 考 中 ,这 类 问 题 也 是 经 常 出 现 ， 同 时 这 也 是 一 种 重 要 的 数 学 推 理 方 法 — — 数 学 归 纳 法 .
北师大版高中数学选择性必修2第1章5数学归纳法课件PPT
假设当n= k 时，猜想成立
则当n= k+1 时，猜想也成立
那么n ∈ ∗ 均成立
8
已知数列 满足+ =
Biblioteka ，−= ，
分析： = ， = ， = ，……
−
, ∈ ∗
猜想数列通项公式为： =
递推基础不能少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n= k 时等式成立，即 + + + ⋯ … + − + ( − ) = −
当n= k+1 时
上述证明是错误的，事实上
+ + + ⋯ … + ( − ) + ( + )
命题本身就是错误的，
= − + ( + ) = ( + ) −
)
+ + + ⋯ … + =
（ ∈ ∗ ）
19
谢谢观看
当n= k+1时，等式也成立。
根据（1），（2），可知猜想对于n ∈ ∗ 均成立
9
数学归纳法：
归纳奠基
归纳递推
两个步骤
一个结论
缺一不可
10
做一做
用数学归纳法证明：
+
+
⋯+
=
− （
∈ ∗ ）
递推基础不能少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
12
辨一辨
问题1：甲同学猜想 + + + ⋯ … + − + ( − ) = −
则当n= k+1 时，猜想也成立
那么n ∈ ∗ 均成立
8
已知数列 满足+ =
Biblioteka ，−= ，
分析： = ， = ， = ，……
−
, ∈ ∗
猜想数列通项公式为： =
递推基础不能少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n= k 时等式成立，即 + + + ⋯ … + − + ( − ) = −
当n= k+1 时
上述证明是错误的，事实上
+ + + ⋯ … + ( − ) + ( + )
命题本身就是错误的，
= − + ( + ) = ( + ) −
)
+ + + ⋯ … + =
（ ∈ ∗ ）
19
谢谢观看
当n= k+1时，等式也成立。
根据（1），（2），可知猜想对于n ∈ ∗ 均成立
9
数学归纳法：
归纳奠基
归纳递推
两个步骤
一个结论
缺一不可
10
做一做
用数学归纳法证明：
+
+
⋯+
=
− （
∈ ∗ ）
递推基础不能少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
12
辨一辨
问题1：甲同学猜想 + + + ⋯ … + − + ( − ) = −
高中数学数学归纳法(一)课件新课标人教a版选修
基础练习题2
用数学归纳法证明对于任意自 然数n，1/(2×3) + 1/(3×4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1)
解析
这道题需要利用数学归纳法， 通过假设和递推关系，逐步推
导得到结论。
进阶练习题与解析
进阶练习题1
用数学归纳法证明对于 任意自然数n，(n+1)^4 - n^4 = 4n^3 + 6n^2
详细描述
通过数学归纳法，可以证明一些与自然数n有关的不等式，例如证明算术平均值 大于等于几何平均值的不等式、证明Cauchy不等式等。
数学归纳法在组合数学中的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中主要用于证 明组合恒等式和组合计数问题。
详细描述
通过数学归纳法，可以证明一些组合 恒等式，例如二项式定理、杨辉三角 等；也可以解决一些组合计数问题， 例如计算排列数、组合数等。
总结词
适用于部分自然数集的证明
详细描述
第二数学归纳法与第一数学归纳法类似，但适用于部分自然数集的证明。首先证明基础步骤，即当 $n=P(1)$时命题成立，然后证明归纳步骤，即假设当$n=P(k)$时命题成立，由此推出当$n=P(k+1)$ 时命题也成立。其中$P(k)$是一个关于自然数$k$的函数。
解析
这道题需要利用数学归纳法， 通过假设和递推关系，逐步推
导得到结论。
THANKS
感谢观看
总结词
数学归纳法在几何中主要用于证明平 面几何和立体几何中的一些性质和定 理。
详细描述
通过数学归纳法，可以证明平面几何 和立体几何中的一些性质和定理，例 如证明多边形的内角和定理、证明正 多边形的边长公式等。
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所有多米若骨牌全部倒下
第6页
归纳小结
第7页
一般的，证明某些与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)验证当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立, 【归纳奠基】
(2)假设当n=k(kn0, kN*)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
【归纳递推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法
大胆猜想
第2页
任一大于2的偶数都可写成 两个素数之和
——哥德巴赫猜想
6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 …… 1000=29+971 1002=139+863 ……
归纳推理 （大胆猜想）
大胆猜想
小心求证
第3页
归纳推理
小心求证
第4页
思考：这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？
验证n=n0时 命题成立
பைடு நூலகம்
若当n=k(kn0)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
大家来找茬
第8页
大家来找茬
第9页
练一练
第 10 页
练一练
第 11 页
练一练
第 12 页
谢谢
敬指 请
导
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相临两块骨 牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下.
所有多米若骨牌全部倒下
小心求证
第5页
思考：这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）当第k快倒下时， 相邻的第k+1快也倒下.
所有多米若骨牌全部倒下
（1）第一块骨牌倒下； （2）当第k快倒下时， 相邻的第k+1快也倒下.
第6页
归纳小结
第7页
一般的，证明某些与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)验证当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立, 【归纳奠基】
(2)假设当n=k(kn0, kN*)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
【归纳递推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法
大胆猜想
第2页
任一大于2的偶数都可写成 两个素数之和
——哥德巴赫猜想
6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 …… 1000=29+971 1002=139+863 ……
归纳推理 （大胆猜想）
大胆猜想
小心求证
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归纳推理
小心求证
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思考：这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？
验证n=n0时 命题成立
பைடு நூலகம்
若当n=k(kn0)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
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大家来找茬
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练一练
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谢谢
敬指 请
导
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相临两块骨 牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下.
所有多米若骨牌全部倒下
小心求证
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思考：这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）当第k快倒下时， 相邻的第k+1快也倒下.
所有多米若骨牌全部倒下
（1）第一块骨牌倒下； （2）当第k快倒下时， 相邻的第k+1快也倒下.