简谐振动的研究,实验报告

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实验5-2 简谐振动的研究

自然界中存在着各种各样的振动现象，其中最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可以看作是由多个简谐振动合成的，因此简谐振动是最基本最重要的振动形式。本实验将对弹簧振子的简谐振动规律和有效质量作初步研究。

【实验目的】

1．观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期。 2．测定弹簧的劲度系数和有效质量。 3．测量简谐振动的能量，验证机械能守恒。 【实验器材】

气轨、滑块、天平、MUJ-5B 型计时计数测速仪、平板档光片1个，“凹”形挡光片1个、完全相同的弹簧2个、等质量骑码10个。 【实验原理】

1. 振子的简谐振动

本实验中所用的弹簧振子是这样的：两个劲度系数同为1k 的弹簧，系住一个装有平板档光片的质量为m 的滑块，弹簧的另外两端固定。系统在光滑水平的气轨上作振动，如图5-2-1所示。

当m 处于平衡位置时，每个弹簧的伸长量为0x ，如果忽略阻尼和弹簧的自身质量，当m 距平衡位置x 时，m 只受弹性回复力－k 1（x+x 0）和－k 1（x －x 0）的作用，根据牛顿第二定律得

210102()()d x

k x x k x x m dt

-+--=

令 12k k = （5-2-1）

则有 22d x kx m dt

-=

该方程的解为

)cos(0ϕω+=t A x （5-2-2）

即物体系作简谐振动。其中

图5-2-1 弹簧振子

ω= （5-2-3） 是振动系统的固有圆频率。

由于弹簧总是有一定质量的，在深入研究弹簧振子的简谐振动时，必须考虑弹簧自身的质量。由于弹簧各部分的振动情况不同，因此不能简单地把弹簧自身的质量附加在振子（滑块）的质量上。可以证明，一个质量为s m 的弹簧与质量为m 的振子组成的振动系统，其振动规律与振子质量为（m+m 0）的理想弹簧振子的振动规律相同。其振动周期为

2T π

= （5-2-4） 其中s cm m =0，称为弹簧的有效质量，c 为一常数。对绕制均匀圆筒状的弹簧，c 的理论值为1/3，即弹簧的自身质量是其有效质量的3倍。在本实验中，12k k =，0102m m =，

12s s m m =。01m 和1s m 分别为一个弹簧的有效质量和一个弹簧的自身质量。

本实验通过改变滑块（振子）质量m 测出相应的振动周期T ，求出k 和m 0 ，从而求得一个弹簧的劲度系数1k 和有效质量01m 。

2．简谐振动的运动学特征

把式（5-2-2）两端对时间求一阶导数，有 0sin()dx

v A t dt

ωωϕ=

=-+ （5-2-5）

由式（5-2-2）和（5-2-5）式消去t ，有

)(2

2

2

2

x A v -=ω （5-2-6） 由上式可见，当0=x 时，v 的数值最大，即

A v ω=max （5-2-7） 利用式（5-2-3）、式（5-2-4）和式（5-2-7）可求出k

2

max

02()v k m m A

=+ （5-2-8）

3．振动的能量

本实验中，任何时刻系统的振动动能为 201

()2

k E m m v =

+ （5-2-9）

系统的弹性势能为两个弹簧的弹性势能之和（以平衡位置处为零势能点），即

2

2

2222

1010101011

1

1

1

1

()()22222p E k x x k x k x x k x k x kx ⎡⎤⎡⎤

=+-+--==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （5-2-10）

由式（5-2-3）、（5-2-9）及（5-2-10）得系统的总机械能

2220111

()222

k p E E E m m v kx kA =+=

++= （5-2-11） 其中k A 、均不随时间变化，说明简谐振动的机械能守恒。本实验通过测定在不同位置x 处滑块的运动速度v ，从而求得k E 及p E ，观测它们之间的相互转换并验证机械能守恒。

【实验内容】

一、测量弹簧的劲度系数和有效质量。 1．准备工作

（1）用酒精棉球擦拭气轨表面（在供气时）以及滑块内表面，用薄的小纸条检查气孔是否有堵塞。

（2）记下不带挡光片的滑块的净质量（由实验室给出），并用天平称量平板挡光片以及两个弹簧的质量。将平板挡光片固定在滑块上，其总质量即为滑块质量m ，两根弹簧质量的一半即为1s m 。

（3）将滑块放在气轨中央，静态调节气轨水平（参阅实验5-1），打开气源，挂接上两个弹簧。

2．测定弹簧振子的振动周期

（1）将MUJ-5B 型计时计数测速仪的“功能”选为“T 周期”（ MUJ-5B 型计时计数测速仪的使用参阅实验5-1）。

（2）使滑块离开平衡位置一定距离（10cm 左右）自由释放，待振动稳定时，测出它振动20个周期所需的时间t ，重复5次，求出振动周期的平均值T 。

（3）在滑块上加2个骑码，即使滑块的质量增加10.00g ，按照上述方法测量其振动周期。然后依次增加2个骑码，共加5次，测出各次的振动周期，填入表5-2-1。

二、测量简谐振动的能量，验证机械能守恒。

1．称量“凹”形挡光片的质量，将“凹”形挡光片固定在滑块上，其总质量即为滑块质量m 。

2．按MUJ-5B 计时计数测速仪的“转换”键输入“凹”形挡光片两前沿之间的距离x ∆。 3．令弹簧振子的振幅10.00A cm =，当滑块位于极大位置处（即10.00x cm =）时，速度为零，弹簧振子的总能量2

012

E kA =

。 4．将光电门放在平衡位置处，测出滑块通过平衡位置（即0.00x cm =）时的速度m ax v ，反复测量5次，将测量数据填入表5-2-2中。

5．将光电门移至 2.50x cm =处，保持弹簧振子的振幅不变，测出滑块通过该处的速度，测量5次。用同样的办法测出滑块通过 5.00x cm =和7.50cm 时的速度。将测量数据填入表5-2-2中。 【数据处理】

1．计算一个弹簧的劲度系数1k 和有效质量01m 。

表5-2-1 利用振动周期与质量的关系测k 和0m 的数据表

_____m g =,1_____s m g =

计算k 和0m 的方法如下：