张量代数—仿射量代数运算及相关分解

1 1
令 R = (Φ∗ · Φ) 2 ∈ PSym, QR = Φ−∗ · (Φ∗ · Φ) 2 , 考虑到
1 1
分 析
1 1
−∗ Q∗ · (Φ∗ · Φ) 2 )∗ · (Φ−∗ · (Φ∗ · Φ) 2 ) R · Q R = (Φ
1 1
讲
1 1 1
= (Φ∗ · Φ) 2 · (Φ∗ · Φ)−1 · (Φ∗ · Φ) 2 = I ,
张量代数—仿射量代数运算及相关分解
谢锡麟
故有 QR · R
2 −1
· R 2 = QR · R ,
即有 R2 = R . 根据对称正定仿射量的幂运算有 R = R, 由此有 QR = QR . 同理可得左极分解 的唯一性.
∗ Φ = L · QL = QL · Q∗ L · L · QL = QL · (QL · L · QL ),
) m ∑ β λα λj e⟨j ⟩ ⊗ e⟨j ⟩ i e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ ·
j =1 m ∑ i=1 +β λα e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ = Φα+β , i
故有 ∀ Φ ∈ PSym, 有 Φα · Φβ = Φβ · Φα = Φα+β ,
∀ α, β ∈ R.
1.3
极分解
张
分 析
j k i j tr(Φ · Ψ ) = tr(Φi · j Ψ· k g i ⊗ g ) = Φ· j Ψ· i , j j i tr(Ψ · Φ) = tr(Ψ·k i Φi · j g k ⊗ g ) = Ψ· i Φ· j , i l i j Ψ ∗ : Φ = Ψ·j i Φk · l δk δj = Φ· j Ψ· i .
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但非线性函数. 例如, 对于 Φ ∈ L in(R3 ) 有如下表示:
i j I1 (Φ) = δj Φ· i = Φi · i = trΦ = I 1 (Φ); i δj 1 ij p q 1 δp 1 i j p q j i I2 (Φ) = δpq Φ· i Φ· j = Φp · i Φ· j = (Φ· i Φ· j − Φ· i Φ· j ) j i 2! 2 δq δp 2 )2 1 1( = I 1 (Φ) − I 2 (Φ); 2 2 i δj δk δr r r 1 ijk r s t 1 i j k Φr Φs Φt I3 (Φ) = δrst Φ· i Φ· j Φ· k = δs δs δs · i · j ·k 3! 6 j i k δt δt δt ( ) 1 j k j k i k i j k i j i k j i j k Φi = · i Φ· j Φ· k + Φ· i Φ· j Φ· k + Φ· i Φ· j Φ· k − Φ· i Φ· k Φ· j − Φ· i Φ· j Φ· k − Φ· j Φ· i Φ· k 6 )3 1 1( 1 = I 1 (Φ) + I 3 (Φ) − I 1 (Φ)I 2 (Φ). 6 3 2
m ∑ i=1
由此定义对称正定仿射量的幂运算, 即 Φα λα i e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ , ∀ α ∈ R.
稿
λi e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩. 3
1.2
谱分解
λi > 0(i = 1, · · · , m),
谢
锡 麟
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谢锡麟
考虑到 Φα · Φβ = (m ∑
i=1 m ∑ i,j =1
即 tr(Φ · Ψ ) = tr(Ψ · Φ) = Ψ ∗ : Φ.
量
1.1.4
仿射量的矩
定义 1.4 (仿射量的矩). 仿射量 Φ ∈ L in(Rm ) 的 r 次幂的迹称为仿射量的 r 阶矩, 记作 I r = tr(Φr ) = tr(Φ · · · · · Φ).
r重点积 s1 由于 Φr = Φ · · · · · Φ = Φi · s1 Φ · s2 · · · Φ sr−1 · j gi
j i j i t 1. I : Φ = (δi g ⊗ g j ) : (Φs · t g s ⊗ g ) = δi Φ· j = trΦ.
∀ α, β ∈ R;
2. 根据性质 (1) 以及 e 点积的线性性, 即有
tr(αΦ + β Ψ ) = I : (αΦ + β Ψ ) = αI : Φ + β I : Ψ = αtrΦ + β trΨ . 3. 有
trΦ
性质 1.1 (仿射量迹的基本性质). 设 ∀ Φ, Ψ ∈ L in(Rm ), 有 1. trΦ = I : Φ; 2. 线性性: tr(αΦ + β Ψ ) = αtrΦ + β trΨ , 3. tr(Φ · Ψ ) = tr(Ψ · Φ) = Ψ ∗ : Φ. 证明 可直接通过计算, 证明仿射量迹的基本性质.
证明 首 先 证 明 对 于 ∀ Φ ∈ Sym, 其 特 征 值 全 部 为 实 数. 考 虑 Φ 在 典 则 基 下 的 表 示 (( ) ( )) Φ⟨ij ⟩ − λ δ ⟨ij ⟩ = 0,
( ) 此处 Φ⟨ij ⟩ 为对称矩阵, 按线性代数中的结论有其特征值均为实数, 因此有对称仿射量的特征 值均为实数, 而且存在一组单位正交基满足 Φ · e⟨i⟩ = λi e⟨i⟩. 故有
−1 Q∗ · R · QR , R =R −1 QR = (Q∗ = QR · R R) −1 ∗
QR , QR ∈ Orth,
稿
4
谢
· R.
定理 1.3 (极分解定理). 对任意非奇异仿射量 Φ ∈ L in(Rm ), 则唯一存在正交仿射量
R, R ∈ PSym,
锡 麟
=
β λα i λj δ ⟨ij ⟩e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ =
( ) ( ) −1 为 Φ 的逆, 式中 Ψ·p q = Φi . ·j
张
量
1.1.2
仿射量的转置
定义 1.2 (仿射量的转置). 设 Φ ∈ L in(Rm ), 则它的转置 Φ∗ 满足 Φ∗ (u, v ) = Φ(v , u), 基于转置的定义, 如果 Φ = Φij g i ⊗ g j , 则有 Φ∗ = Φij g j ⊗ g i = Φji g i ⊗ g j . ∀ u, v ∈ R m .
讲
2
稿
⊗ g j , 因此有
s
r −1 s1 I r (Φ) = tr(Φr ) = Φi i. · s1 Φ· s2 · · · Φ·
一般地, 第 r 个主不变量是第 1 到 r 阶矩的函数 Ir (Φ) = fr (I 1 (Φ), I 2 (Φ), · · · , I r (Φ)).
谢
锡 麟
j i I1 = δi Φ· j = Φi ·i
又考虑到 L 是对称正定的, 因此 Q∗ L · L · QL 也是对称正定的. 根据右极分解的唯一性有 QR = QL = Q, R = Q∗ · L · Q.
2 ห้องสมุดไป่ตู้用事例 3 建立路径
• 主不变量是关于矩的函数.
张
量
分 析
5
讲
• 仿射量的谱分解及极分解基于仿射量的特征问题.
稿
谢
锡 麟
最后证明 QR = QL ∈ Orth. 由于
Q ∈ Orth 和对称正定仿射量 R, L ∈ PSym, 满足
Φ = Q · R = L · Q.
证明 由于 Φ 非奇异, 则 Φ∗ · Φ 为对称正定仿射量, 则有 Φ∗ · Φ = (Φ∗ · Φ) 2 · (Φ∗ · Φ) 2 ,
1 1
其中 (Φ∗ · Φ) 2 ∈ PSym. 故有
1
Φ = Φ−∗ · (Φ∗ · Φ) 2 · (Φ∗ · Φ) 2 .
张量代数—仿射量代数运算及相关分解
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日
1 知识要素
1.1
1.1.1
仿射量基本代数运算
仿射量的逆
定义 1.1 (仿射量的逆). 对 ∀ Φ ∈ L in(Rm ), 如果 ∃ Ψ ∈ L in(Rm ) 满足 Φ · Ψ = Ψ · Φ = I,
i g ⊗ g j 为单位仿射量, 则称 Ψ 为仿射量 Φ 的逆, 记作 此处 I = δj i
故
分 析
( ) ( ) p 当 Φ ∈ L in(Rm ) 满足 det Φ = det Φi = ̸ 0 , 则称 Φ 非奇异 . 按线性代数 , ∃ ! Ψ · q := ·j ( )−1 , 满足 Φi ·j ) ( ) ) ( )( )( ( i , k i = δj = Ψ Φ Ψ·i k Φk j j k · · · Ψ = Ψ·p q g p ⊗ g q
显然对于对称仿射量, 有 Φ∗ = Φ.
讲
1
Ψ = Φ−1 .
稿
谢
锡 麟
张量代数—仿射量代数运算及相关分解 1.1.3 仿射量的迹
谢锡麟
定义 1.3 (仿射量的迹). 仿射量的第一主不变量称为仿射量的迹, 记作 trΦ.
j 设仿射量 Φ = Φi · j g i ⊗ g , 则根据主不变量的计算公式可得
1
即 QR ∈ Orth. 由此即有 Φ = QR · R. 同理, 可有
量
Φ · Φ∗ = (Φ · Φ∗ ) 2 · (Φ · Φ∗ ) 2 ,
1 1
其中 (Φ · Φ∗ ) 2 ∈ PSym, 所以 Φ = (Φ · Φ∗ ) 2 · (Φ · Φ∗ ) 2 · Φ−∗ .
1
张
令 QL = (Φ · Φ∗ ) 2 · Φ−∗ , L = (Φ · Φ∗ ) 2 ∈ PSym, 同理可得 QL ∈ Orth, 所以有 Φ = L · QL . 由此证得极分解的存在性, 下面证明左右极分解的唯一性. 以右极分解为例, 设有 Φ = QR · R = QR · R , 由此 QR = QR · R · R−1 , 所以有
定理 1.2 (谱分解定理). 对任意对称仿射量 Φ ∈ L in(Rm ), 存在单位正交基 {e⟨i⟩}m i=1 满 足: Φ=
m ∑ i=1
此处, {λi }m i=1 为 Φ 的 m 个特征值, 且均为实数.
Φ = Φ⟨ij ⟩ii ⊗ ij , 其特征方程为
分 析
det =
m ∑ i=1
量
Φ = Φ(e⟨i⟩, e⟨j ⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j ⟩ = (e⟨i⟩ · Φ · e⟨j ⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j ⟩ = (λj δ ⟨ij ⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j ⟩ λi e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩.
张
对于对称正定仿射量 ∀ Φ ∈ PSym, 总是有 Φ=
m ∑ i=1
讲
λi e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ ,