量子力学期末总结(郑以松)

ˆ S t H S t t
H t 0, t
力学量随时间变化， 满


t
薛定谔图像波函数与海森堡图像波函数之间关系：
S t e iHt / S t 0 e iHt / H
海森堡图像力学量与薛定谔图像力学量 之间的关系：
量子体系=粒子+势场环境
物理：“平方可积” 的函数的集合 数学：定义了内 积的线性空间
Hilbert 空间
(t )
描述量子状态，随时间变化 算符
算符
态矢之间的映射关系
ˆ i H t
（基本原理）

ˆ A
a
n
：H空间的基矢
算符的本征态（特殊的映射）
cn an
ˆ ˆ FH t eiHt / FS e iHt /
可见在不同的图像下，波函数和力学量的形式并不相同。即波函 数和力学量没有直接的物理意义，有直接物理意义的是力学量平均值
中心力场：简并和完整力学数量组：

ˆ ˆ ˆ 不考虑自旋 H , L2 , Lz
ˆ H nlm E n nlm ˆ L2 nlm 2 l l 1 nlm ˆ L m
z nlm nlm

ˆ ˆ ˆ 考虑自旋（总角动量 J L S ） ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 非耦合表象 H , L2 , S 2 , Lz , S z , J z

例

x2 p2 2
4
完整力学数量组（能够唯一确定波函数且两两对易的力学量集合）
ˆ ˆ ˆ ˆ 守恒量 A, H 0且 A t 0 ，则称 A 为体系的一个守恒量。 体系在任何状态下，守恒量的平均值以及取值几率不随时间改变。
ˆ ˆ Virial定理（定态）2 T r V
S-eq的求解：
初态
(0) Cn n
n
(t ) e iHt / (0) Cn e iE t / n
n
能量本征态
ˆ H n En n
n
一维定态问题：方位阱， 位阱， 线形谐振子。
三维定态问题：球形位
氢原子 三维各向同性谐振子 中心力场
n
an an an ˆ A an an an
力学量==厄米算符：
ˆ A
Cn和an的测量意义 量子测量：态矢塌缩 展开假定：基本原理
ˆ ˆ A A ˆ ˆ A A
基本算符：（从本征方程定义）
ˆ X
基本原理
ˆ ˆ P S
ˆ ˆ [ X , P] i
ˆ a A表象
n
cn
ˆ A [ A]
表象变换->Dirac符号的运算
位置表象（特殊的表象）
wenku.baidu.com
量子状态（波函数） 微观物理体系的量子状态（波函数）由 薛定谔方程确定。 2 r , t Born的统计诠释 波函数应满足 自然条件（连续、单值、有限） 归一化 r , t 和ei r , t 整体相位无物理意义



ˆ Feynman-Hellmann定理（束缚定态）H E n
海森堡、薛定谔图像（picture）

薛定谔图像：力学量不随时间变化 F t 0 ，波函数随时间变化， 满 t 足薛定谔方程
ˆ
S
i


海森堡图像：波函数不随时间变化 足海森堡方程 ˆ ˆ ˆ i FH t FH t , H t ˆ H 若 0 ，则

简并情况：
W11 E (1) W21 W31 W n1
k(1) n k
Wnk ( n0 ) , (0) ( 0) Ek En
W12
( ˆ 其中 Wnk n0) W k( 0)
W22 E 1 W32 Wn 2
W13 W23 W33 E (1) Wn 3
ˆ H nlml ms Enl nlml ms ˆ S 2 nlml ms 3 4 2 nlml ms ˆ S z nlml ms ms nlml ms ˆ L2 nlml ms 2l l 1 nlml ms ˆ Lz nlml ms ml nlml ms ˆ J z nlml ms ml ms nlml ms
0
多自由度情况：

空间的直积 自由度1 ：N维 ，其基矢为 kn 则直积空间基矢 自由度2： M维，其基矢为 Lm 例：两个自旋1/2的粒子的自旋空间的基矢为
k n Lm
，N*M维
, , ,

全同性原理：全同粒子体系波函数 q1 , q2 ,, t 程，同时还应满足置换算符方程：

a1 W2 n a 2 W3n a3 0 Wnn E (1) a n W1n
ˆ 2、变分法（选择适当的波函数 b ，通过 b H b b 求得参数b的值，从而确定波函数 ）。
z
耦合表象
ˆ H nljm j Enl nljmj
ˆ ˆ H , Jˆ , L , Sˆ , Jˆ
2 2 2
ˆ J 2 nljmj 2 j j 1 nljmj ˆ S 2 nljmj 3 4 2 nljmj
ˆ L2 nljmj 2l l 1 nljmj ˆ J z nljmj ml ms nljmj
定态的近似方法：
ˆ ˆ ˆ 1、定态微扰理论 H H W （ ˆ 可作微扰处理） W 0
Ek Ek0 Ek1 Ek2 ,
( ( k k0) k1)

非简并情况：
ˆ Ek(1) k( 0) W k( 0) , E k(1) n k Wnk Wkn ( E k( 0) En0)
ˆ Pij , qi ,q j ,, t , qi ,q j ,, t
不仅满足薛定谔方
其中 为常数 全同玻色子体系波函数满足置换对称性。 全同费米子体系波函数满足置换反对称性。
角动量定义：
ˆ ˆ ˆ 若有三个算符 J x , J y , J z ，且满足
Jˆ , Jˆ i

则
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J J x ex J y e y J z ez
ˆ J
称为角动量。
ˆ 2 lm l (l 1) lm J ˆ J z lm m lm
力学量（算符）和量子状态

ˆ ˆ 期望值 A A
ˆ ˆ 不确定关系 A2 B 2 i A, B 2 4