6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
课标要求素养要求
掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法.通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示形式，体会数学运算及数学抽象素养.
教材知识探究
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过
B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从
A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).
晶晶：502×4＝2 008(km).
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.
问题1当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
提示横纵坐标均不为0时成比例.
问题2如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.
1.平面向量数乘运算的坐标表示
设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量共线的坐标表示
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2
－x2y1＝0.)
3.中点坐标公式
若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2
2，y ＝y 1＋y 2
2，
此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.
,教材拓展补遗
[微判断]
1.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1
＝x 2
y 2
.(×)
2.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .(×)
3.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .(√) 提示 1.当y 1y 2＝0时不成立.
两向量共线的坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0，故2错，3正确. [微训练]
1.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A.(－2，－4) B.(－3，－6) C.(－4，－8)
D.(－5，－10)
解析 由a ∥b 得到m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). 答案 C
2.已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________. 解析 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7). 答案 (5，7)
3.已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________. 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1，3). 答案 (－1，3) [微思考]
1.向量(共线)平行的用途是什么？
提示 利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题. 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？
提示 当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标.比如A ，B ，P 三
点共线且|AP →|＝3|PB →
|，如果知道点A ，B 的坐标就可以求出点P 的坐标.事实上，由|AP
→|＝3|PB →|且A ，B ，P 三点共线，可知AP →＝3PB →或AP →＝－3PB →，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P 的坐标.
题型一 向量的坐标运算
【例1】 已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；
(3)12a －1
3b . 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－76，23.
规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练1】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)
D.(－7，0)
(2)已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP
→＝12MN →，则P 点坐标为________.
解析 (1)由3a －2b ＋c ＝0，
∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)， ∴c ＝(－23，－12).
(2)设P (x ，y )，∴MP
→＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8，1)，由MP →＝12MN →得P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－32. 答案 (1)A (2)⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－32
题型二 向量平行(共线)的判定
在利用向量共线的坐标表示进行判定时，易出现坐标之间的搭配错误而致误的情况
【例2】 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2)
B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7)
C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)
D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，－34
解析 A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝1
2e 2， ∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 答案 B
(2)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
解 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－1
3.
此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
3－3，－23＋2＝－13(a －3b )，
∴当k ＝－1
3时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向. 规律方法 1.向量共线的判定方法
2.利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
【训练2】 若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝________. 解析 ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3，
又0<α<π2，故α＝π
3. 答案 π3
题型三 三点共线问题
向量共线的坐标表示是解决已知点共线求参数问题中列方程的重要依据
【例3】 (1)已知OA
→＝(k ，2)，OB →＝(1，2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，
B ，
C 共线，则实数k ＝________.
解析 AB
→＝OB →－OA →＝(1－k ，2k －2)，AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)，由题意可
知AB
→∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0，解得k ＝－14或k ＝1，当k ＝1时，A ，B 重合，故舍去. 答案 －1
4
(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线
AB 平行于直线CD 吗？
解 因为AB
→＝(2，4)，CD →＝(1，2)，又因为2×2－4×1＝0，
所以AB
→∥CD →，因为AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0， 所以A ，B ，C 三点不共线，所以直线AB 与直线CD 不重合，所以AB ∥CD . 规律方法 三点共线的条件及判断方法
(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则A ，B ，C 三点共线的条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.
(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： ①直接利用上述条件，计算(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)·(y 2－y 1)是否为0； ②任取两点构成向量，计算出两向量，如AB →，AC →，再通过两向量共线的条件进行判断.
【训练3】 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线.
证明 AB
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72， AC
→＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
∵7×4－7
2×8＝0，
∴AB
→∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.
一、素养落地
1.通过数乘向量的坐标运算，培养数学运算素养.通过学习三点共线的坐标表示方法提升数学抽象素养.
2.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.
(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1
y 2，即两向量的相应坐标成比例.
3.两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 二、素养训练
1.下列各组向量中，共线的是( ) A.a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B.a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C.a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D.a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)
解析 选项A 中，3×4－(－2)×6≠0，则a 与b 不共线；同理，B ，C 中的两向量不共线；选项D 中，2×6－(－3)×(－4)＝0，则有a ∥b . 答案 D
2.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x －1，2)，若a ∥b ，则实数x 的值为( )
A.2
B.－2
C.3
D.－3
解析 因为a ∥b ，所以2×2－(－1)×(x －1)＝0，得x ＝－3. 答案 D
3.若点A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a )共线，则a ＝________.
解析 AB
→＝(5，4)，AC →＝(4，a )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，故5a
－16＝0，所以a ＝16
5. 答案 165
4.与向量a ＝(－3，4)平行的单位向量是________. 解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则 ⎩
⎨⎧x 2＋y 2＝1，4x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，
y ＝45
或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3
5，y ＝－45.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
5，－45
基础达标
一、选择题
1.已知向量a ＝(3，5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A.3
5
B.53
C.－35
D.－53
解析 由a ∥b ，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝5
3. 答案 B
2.下列向量中，与向量c ＝(2，3)不共线的一个向量p 等于( ) A.(5，4) B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 解析 因为向量c ＝(2，3)，对于A ，2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线. 答案 A
3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A.e 1＝(2，2)，e 2＝(1，1)
B.e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8)
C.e 1＝(1，0)，e 2＝(0，－1)
D.e 1＝(1，－2)，e 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，1
解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底. 答案 C
4.向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8)
D.(－4，8)
解析 由a ∥b 可排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D
5.向量P A →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的
值为( ) A.－2 B.11 C.－2或11
D.2或11
解析 AB →＝PB →－P A →＝(4－k ，－7)，BC →＝PC →－PB →＝(6，k －5)，由题知AB →∥BC →，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2. 答案 C 二、填空题
6.设向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6，2)共线，则实数λ＝________.
解析 λa ＋b ＝(λ，0)＋(1，1)＝(λ＋1，1)，因为(λa ＋b )∥c ，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2. 答案 2
7.已知A (2，0)，B (0，2)，若AC
→＝13AB →，则点C 的坐标是________. 解析 设C (x ，y )，则AC
→＝(x －2，y )，AB →＝(－2，2)，
所以(x －2，y )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，23，得x ＝43，y ＝23，
即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，23
8.设OA
→＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________. 解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形， ∴AB
→，AC →不共线. 又∵AB
→＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)， ∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.
∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}. 答案 {m |m ∈R 且m ≠6} 三、解答题
9.如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM
→，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线.
解 由已知可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12，
所以AM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52，CN →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52，－52，
由52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－52×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝0，所以AM
→和CN →共线. 10.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M ，N 的坐标.
证明 法一 ∵A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA
→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB
→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3).
∵CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，
∴CM
→＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， ∴⎩⎨⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎨⎧x 2＋3＝12，
y 2＋4＝6.
解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎨⎧x 2＝9，
y 2＝2.
∴M (0，20)，N (9，2). 法二 设O 点为坐标原点， 则由CM
→＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM
→－OC →＝3(OA →－OC →)， ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，
∴OM
→＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →. ∴OM
→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON
→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2). ∴M (0，20)，N (9，2).
能力提升
11.平面上有A (2，－1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC
→＝1
2BC
→，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________. 解析 ∵AC
→＝12
BC →，
∴A 为BC 的中点，AC
→＝BA →，
设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)， ∴C 点的坐标为(3，－6)，
又|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，
∴CE →＝－14
ED →， 设E (x ，y )，
则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，
得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14（4－x ），y ＋6＝－14
（－3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7. 故点E 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫83，－7. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫83，－7 12.已知向量OA
→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y ). (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件；
(2)若AC
→＝2BC →，求x ，y 的值. 解 (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线.
由题意得AB →＝(3，1)，AC →＝(2－x ，1－y )，
所以3(1－y )＝2－x .
所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0.
(2)BC
→＝(－x －1，－y )， 由AC
→＝2BC →得(2－x ，1－y )＝2(－x －1，－y )， 所以⎩⎨⎧2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－1.
即x ，y 的值分别为－4，－1.
创新猜想
13.(多选题)已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( )
A.OC
→与BA →平行 B.AB →＋BC →＝CA → C.OA →＋OC →＝OB → D.AC
→＝OB →－2OA →
解析 BA →＝(2，－1)，OC →＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以OC →与BA →平行，A 正确.
AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以B 不正确.
OA →＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以C 正确.
AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D 正确.
答案 ACD
14.(多选题)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中不正确的是(
) A.存在实数x ，使a ∥b
B.存在实数x ，使(a ＋b )∥a
C.存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a
D.存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b
解析 只有D 正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b . 答案 ABC。