认识一元二次方程_课件

一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
☞ 探索思考
“行家”看“门 道”
下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
(1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－－31x －1 ＝0 (4) －y22 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
☞ 想一想:
内涵与外延
9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36
9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0
二次项系数为5，一次项系数为36 ，常数项为－ 32 .
小结 拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
独立 作业
知识的升华
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系 数系 数 项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3
(x+2)(x -
第二章 一元二次方程
认识一元二次方程
☞ 回顾与思考
数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?
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☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6m;
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
☞ 回顾与思考
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定的 决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二 次方程也是刻画现实世界的一个有效数学 模型。
☞ 做一做
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准 备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四 周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,
宽为(x＋2) m，依题意得方程： x
5
(x＋5) (x＋2) ＝54
即
x
54m2
x2 ＋ 7x－44 ＝0
2
X＋5
独立
作业
知识的升华
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个 数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意 得方程：
你能化简这个方程吗?
☞ 回顾与思考
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0.
（ x＋６）２＋７２＝１０２
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠__3_____
时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当
k ≠±1 时，是一元二次方程．当k ＝－1 时，
是一元一次方程．
随堂练
培养能力之源泉
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程．
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平
方和等于后两个数的平方和吗？
一 般
化
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
x2 ＋ (x＋1)2 ＋ (x＋ 2)2 ＝(x＋3)2 ＋ (x＋4)2 .
你能化简这个方程吗?
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽 度为(x－4)尺,长 为 (x－2)尺,依题 意得方程：
2尺 x
数学化 x－2
(x－4)2＋ (x－
2)2＝ x2
即 x2－12 x ＋20 ＝x－0 4
4尺
想一想P44
培养能力之阵地
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２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为：
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上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程，并且都可
以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、
一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，
a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常
数项、二次项系数、一次项系数．
• ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系
• 你准备如何去求方程中的未知数呢?
独立
作业
知识的升华
１．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一 边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
1)=6 1x2 ＋1x－8＝0
1
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
－5 1 1 －8 04 0 －4
下课了!
结束寄语
• 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想——方程的思想.
• 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
☞ 做一做
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图
案的长（为8－2x） m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得方
程：(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗?
8
x
x 数学
（8－2x）
x
化5
18m2
x
☞ 想一想
观察下面等式：
你能行吗？
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２