专题02破译函数中双变量问题(教师用) 高三数学(理)特色强化训练

综述，在解决函数问题时，经常会遇到在某一范围内任意变动的双变量问题，由于两个变量都在动，所以不知道把哪个变量作为自变量研究，从而无法展开思路.对于该类问题的处理方法一般可从以下两个方面进行：（1）选取主元法，不管有多少个变量，可选一个变量为主元，其他变量为参数；（2）合理运用转化思想，将几个变量看作整体，即多元化一元. 一、单选题
1．（2020·湖南省长郡中学高三）已知函数2
()ln(1)f x x x =+满足对于任意11
[,2]2
x ∈，存在
21[,2]2
x ∈，使得2
211
2ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2
[8,)2
-+∞ B ．ln 25
[
8,2ln 2]24
--- C ．ln 2
(,8]2
-∞-
D ．5
(,2ln 2]4
-∞--
【答案】C
【解析】由函数2()ln(1)f x x x =+在定义域单调递增，
对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得2
211
2
ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得2
211
2
ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足(
)
2
211max
2max
ln 2x x x a
x ⎛⎫
++≤ ⎪⎝⎭，
令2
111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，
在11[,2]2
x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令2
22
ln ()x h x x =
，求导可得22221ln ()x h x x -'=，
2()0h x '=，可得2x e =，
在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增， 所以在21
[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==
，即ln 2
82
a +≤，
解得ln 2
82
a ≤
-，故选C . 2．（2020·江西省南城一中高三期末）设函数()()3
2
,,,0f x ax bx cx a b c R a =++∈≠，若不等式
()()5xf x af x '-≤对x R ∀∈恒成立，则
b 2c
a
-的取值范围为（ ） A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】
()32f x ax bx cx =++，()232f x ax bx c '∴=++，
由不等式()()5xf x af x '-≤对x R ∀∈恒成立， 可得(
)()()2
3
2
3250a a
x b ab x c ac x -+-+--≤对x R ∀∈恒成立，
所以，230a a -=且0a ≠，解得3a =，
则不等式2
250bx cx ++≥对x R ∀∈恒成立，所以2
04200b c b >⎧⎨∆=-≤⎩
，则2
5c b ≥， 所以，
()2
22
125252210553315153
c c c b c b c c c a ------=≥==≥-. 因此，b 2c a -的取值范围为5,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.故选：C.
3．（2020·新疆维吾尔自治区高三）已知函数ln 1,1
()1(2),13
x x f x x x -≥⎧⎪
=⎨+<⎪⎩，若αβ<且()()f f αβ=，则βα
-的取值范围是（ ） A ．[]83ln3,6- B ．)
2
83ln3,1e ⎡--⎣ C ．[]94ln3,6-
D ．)
2
94ln 3,1e ⎡--⎣
【答案】B
【解析】因为ln 1,1
()1(2),13
x x f x x x -≥⎧⎪
=⎨+<⎪⎩，故其函数图像如下所示：。