二次根式知识点及典型例题

第17章:二次根式

第一课时:二次根式的概念与性质

知识点1:二次根式的定义:

（1）

(a ≥0)的式子叫做二次根式。 （2）

(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求

① 根指数为2

② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数

类型一：二次根式的识别

例1

：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。

知识点2:二次根式中字母的取值范围：

（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。 （2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.

类型一：求字母的取值范围

例1：x 取何值时，下列各式有意义？

11

(6

250

1 6.60166

301

2210

2

201

1

22x x x x x x x x x x x x x -

---⎧⎨

-⎩+-⎧-⎪

-⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义

≥ （）由题意知＞解得

＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当

＜x ≤3且x ≠2有意义

类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2

：x y y =

若、为实数，且

222224040, 14,20,2,4

x x x x x x x y --=+==

≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以

222

40404,

1

20,2

4

3

2

x x x

x x y

--∴=

+∴=∴=

===

解:由题意知:≥且≥

又≠

知识点3：二次根式的性质：

（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）

语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。

性质2

(0)

(0)

a a

a

a a

⎧

==⎨

-

⎩

≥

＜

语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。

2

2

2

22

22

1

=

=

2(0),

(0)

1a(0)

(0)

(0)

(0)

x a x x

x a

x a

x x x

a a

x x x a

a a

a a

a

a a

===

=

=

==

⎧

===⎨

-

⎩

⎧

==⎨

-

⎩

证明：性质：设①则

把

把

性质≥两边平方得：

≥由性质得：≥所以

＜

≥

＜

类型一：简单的计算与化简

例1：计算与化简

2

222

;4

=243=12.

888

111

3(0)

43

3(0)

x x

x

x x

⨯=⨯

=-===

=-===

-

⎧

-=⎨

-

⎩

（

解:(1)

（

≥

（

＜

类型二：在实数范围内因式分解

例2：在实数范围内因式分解。

22

222

222

(1)3(2)1611

(1)3=(

(2)1611(4)(4

a b

a a a a

b b b b

--

--=+

-=-=-

解：

注：性质1

的逆用：2(0)

a a

=≥

类型三:利用非负数定理进行的较复杂的计算

例3:已知实数x 、y 、z

满足2

1

20,4

x y z z --+

= 求x+y+z 的值。

2

2214

14

11

22

12()02

1120()0 2()=0

22

011120()04420x y z x y z x y z x x y y z y x y z z z -+

+-

=---+-=-⎧-=⎧⎪⎪

+==-++=-+-+=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩解：原式化为：因为≥≥且 所以解得所以 注：非负数定理:几个非负数和为0，则这几个非负数均为0.

类型四:根字母的取值范围、字母隐含的的取值范围、图象或三角形三边关系等

(0)

(0)a a a a a ⎧==⎨-⎩≥＜进行较复杂的化简

例4

(23)x <<

:

230,20,30

=23(2)(3)353=(3)3x x x x x x x x x x x x x x

<<∴>->-<∴+---=+---=----=-解 原式 注： 例5

2

2212100.

230 232104421

=21

=(21)(23)21232

x x x x x x x x x x x x =---->-=--∴---=--+=要脱掉绝对值符号必须知道是大于，还是小于≥所以≥，从而 又

原式

例6：实数a,b 在数轴上数轴上位置如图所示，化简a b ++

0,

00,0=()()2a b a b a b b a a b b a a b b a a b b a a

<>>∴+<

->∴++-=-++-=--+-=-解：由图象可知：且 原式

例7：若a 、b 、c 为△ABC a b