高等数学B教学课件:微分方程应用举例

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解:如图建立坐标系。设缉私艇的航行曲线方程为y f ( x) ,
在时刻 t 缉私艇位于 P( x, y), y
则有 y vt y , 1 x

x 0
1 y2 dx2vt ,
o
P( x, y) x
vt x
1
所求曲线就是以上联立方程组的特解,消去 t ,得
(1 x) y y 1 x 1 y2 dx ,

x t30 26015103000200171( g) 。
即 30 min后 容器内含盐 171g。
3.我缉私艇雷达发现,正东 1 海里处一艘走私船正以常 速 v 向北方向逃窜,缉私艇立即以 2v 的速度追赶,借助 于雷达,缉私艇航行的方向始终对准走私船。试求缉私艇 的航行曲线方程,并问走私船航行多远时被我缉私艇追上。
x

e

2 100t
dt
[
6
e

2 100t
dt
dt

C
]

1 (100
t
)2
[2(100
t
)3
C ]
2(100 t
)
C (100 t
)2
.
把初始条件 x t0 50 代入通解,

50
2100
C 1002
,C 1002150

从而
x 2(100 t )
1500000 (100 t )2
当 t 增大时,上式右端第一项(叫做暂态电流)逐渐 衰减而趋于零;第二项(叫做稳态电流)是正弦函数, 它的周期和电动势的周期相同,而相角落后 。
例 2.一容器盛有盐水 100cm3 ,含盐 50g 。现以流量
为 1 3cm3 min ,浓度为1 2g cm3 的盐水注入容 器,同时又以流量为 2 2cm3 min 将混合均匀的溶液
20
且有 y x0 0 , y x0 0 。
两边对 x 求导 ,得 (1 x) y 1 1 y2 , 2
这是可降阶的微分方程。
令 yz ,则 y dz ,原方程化为(1 x) dz 1 1 z2 ,
dx
dx 2
分离变量得: dz 1 , 1 z2 2(1 x)
§4.6 微分方程应用举例
例 1.一个R L 电路如图所示,其中电源电动势为
E Em sint(Em ,m 为常数) ,电阻 R 和电感L 都
R
是常数,求电流I(t) 。
解:(1)列方程
L
K
E
由 Kirchhoff 回路电压定律知:

电源电动势应等于电流流过各元件的电压降总和,即
E U L U R
R2 2L2
R2 2 L2
I
(t
)
LEm R2 2L2
e

Rt L

其中 arctanL 。 R
Em sin(t ) , R2 2L2
I (t )
LEm R2 2L2

e
Rt L

Em sin(t ) , R2 2L2
其中 arctanL 。 R
两端积分得: ln z 1 z2 1ln1 x lnC ,即 2
1 z2 z C1 , 1 x
代入初始条件 y(0)0 ,得C11 ,
从而 1 z2 z 1 ,即 1 x
1 y2 y 1 ,

1 x
亦即 1 y2 y 1 x ,

①- ②得 y 1 1 1 x ,
2 1 x 2
3
再积分得 y
1
x

1(1 3
x)
2
C2

代入初始条件
y(0)0
,得C2

2 3

故缉私艇的航行曲线方程为
3
y 1 x 1(1 x) 2 2 (0 x1 )。
3
3
当 x1 时, y(1) 2 , 3
即走私船航行2 海里时被我缉私艇追上。 3
,而U R R
I

U
L

Ld I dt

故 E LdI RI ,即 dI R I E 。
dt
dt L L
dI R I E , dt L L
把 E Em sint 代入,得
dI dt
RI L
Em L
sint
,且 I
t0 0

(2)解方程
I
(t
)e
作业
习 题 八 P258
2; 3 ; 4 ; 5 ; 8; 9。
可以不做在作业本上
第4题参考可分离变量方程PPT上相关例题。 第6题 在齐次方程大课PPT上。
作业题提示
2.解题思路与分析
设 t 时刻 尸体的温度为T T (t ) ,并记晚8:20为 t 0 , 则有 dT k(T 21.1) ,T (0)32.6C ,T (1)31.4C 。
I
(t
)
R2
Em 2 L2
(
Rsint
Lcost

)Ce
Rt L
,
其中C
为任意常数.
将初始条件 I
t0
0
代入得C

LEm R2 2L2


I
(t
)
LEm R2 2L2
e

Rt L

R2
Em 2
L2
(
Rs
int

Lcos
t
)

令 cos
R
; sin L ,则有
流出,问 30 min后 ,容器内含盐多少?
解:设在时刻 t 容器内含盐量为 x x(t ) g 。
此时容器内的盐水为100(32)t100t (cm3) ,
故流出的混合溶液在时刻
t
的浓度为2
x 100 t
(
g/cm3
)

下面利用“微小增量分析法”来建立微分方程。
来自百度文库
在时间段[t, t dt]上 ,

Rdt L
[
Em
sint
e

Rdt L
dt
C
]
Rt
e L [
Em
sint
e
R L
t
dt

C
]
L
L

e
R L
t
s
int
dt

R
2
Rt
eL 2
L2
(
RLsint
L2cost
)C1

I
(t
)
R2
Em 2
L2
(
Rsint
Lcost
)

Ce
Rt L
,
其中
C
为任意常数.
1
容器内盐的改变量
dx 流入盐量—流出盐量,
2
而流入盐量 11dt23dt6dt ,
流出盐量
2

2dt

2x 100
t
dt

故 dx(6 2x )dt, 100 t
或 dx 6 2x , dt 100t
即 dx 2x 6 , dt 100t
通解为
dt 要确定受害者死亡的时间,即要求T (t)37C 的
时刻t ,如果此时张某在办公室,则他可被排除在 嫌疑犯之外,否则张某不能被排除在嫌疑犯之外。
3.解题思路与分析
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