浅谈三次函数的对称中心北京十三中聂勇【精选】

推论 2：三次函数 f x a x m3 c x m 的图像关于 m,0
点对称.
推论 3：三次函数 f x a x m3 c x m n 的图像关于
m,n 点对称，即关于点 m, f m 对称.
如果三次函数 f x ax3 bx2 cx d 能写成 f x a x m3 p x m n 的形式，由推 论 3 就能得到三次函数 f x ax3 bx2 cx d
ax3 bx2 cx d
令 ax3 3 max2 3am2 p x am3 n pm
（用 a ,b,c ,d 表示 m,n, p ）

b
3ma b
m


3a
则

3am
2

p

c
n pm am3


d

p



n
由上面推导知，三次函数 f x ax3 bx2 cx d 的
图像关于点
M


b 3a
,
f


b 3a



对称.
观察三次函数的导函数 f x 3ax2 2bx c
其对称轴恰好是 x b （即对称中心的横坐标） 3a
如：求函数 f x 1 x3 x2 2x 1的对称中心

b2 c
3a 2b3 bc
27 3a
d

f


b 3a
所以，三次函数 f x ax3 bx2 cx d 的图像关于
点
M


b 3a
,
fБайду номын сангаас


b 3a


对称。
数学基本要素 ——特殊与一般
思考：你知道三次函数的对称中心的几何位置吗？
D． 若 x0 是 f (x) 的极值点,则 f '(x0 ) 0
函数 y f (x) 的图像为什么是中心对称图形？
定理
三次函数 f x ax3 的图像关于原点（0,0）对称.
（奇函数图像关于原点对称）
推论 1：三次函数 f x ax3 cx 的图像关于原点（0,0）对称.
3
f x x2 2x 2 ，其对称轴是 x 1
所以对称中心是 1,
f
1


1,
1 3

是中心对称图形，其对称中心是 m,n m, f m
下面用待定系数法解决这个问题
由 f x a x m3 p x m n 得 f x a x m3 p x m n
ax3 3 max2 3am2 p x am3 n pm
浅谈三次函数的对称中心
提出问题： （2013全国新课标文）
C 已知函数 f (x) x3 ax2 bx c ,下列结论中错误的是（
）
A． x0 R, f (x0 ) 0
B． 函数 y f (x) 的图像是中心对称图形
C． 若 x0 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间 (, x0 ) 上单调递减