第 五 章.导数

第五章导数与微分

§1导数概念

内容： 1 导数的概念

2 导数的定义

3 单侧导数

4 用定义计算简单函数的导数

5 导数的几何意义

重点：导数的定义和建立导数的变量数学思想。

在第一章我们研究了函数，，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。

变速运动物体的速度问题

在中学里我们学过平均速度，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律

。不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代

替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数，则在到这段时间内的平均速度为

可以看出与越接近，平均速度与

时刻的瞬时速度越接近，当无限接近时，平均速度就发生了一个质

的飞跃，平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度，即物体在时刻的瞬时速度为

（1）

照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为

按照上面的公式

这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。

切线问题

设曲线的方程为

，为过曲线上两点 与

的

割线，则

的斜率为

如图，当点

沿着曲线趋近

时，割线 就趋近于点

处的切线，

趋近于切线的斜率

，因此切

线的斜率应定义为

（2）

上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看，它们有共同的本质：两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率

二、导数的定义

上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它

们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率

（3）

定义1、设函数在点的某邻域内有定义，若极限

存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数在点处的导数，

等.

若上述极限不存在，则称在点不可导。

注：令，，则（3）式可改写为

（4）

所以，导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数

处关于的变化率，它能够近似描绘函数

则为在χ

在点附近的变化性态。

例1 求函数在点x=1处的导数，并求曲线在点（1，1）处的切线方程。

解：由定义求得

由此知道抛物线

在点（1，1

）处的切线斜率

为

所以切线方程为

即

.

例2 求函数

在

处的导数

解

根据导数的定义

例3 证明函数

在点

处不可导.

证: 因为

所以，函数 在点 处不可导.

极限 不存在，所以在 处不可导.

例4 证明 函数 ， 处不可导

证明由于极

限，

不存在,所以在处不可导.

例5 常量函数在任何一点的导数都等于零，即

接下来我们来了解一下函数在点可导与函数在点连续的关系，为此先介绍有限增量公式.

由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为

我们称这个是式子为有限增量公式。

注：此公式对△χ= 0仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论：

定理1 若函数在处可导，则函数在处连续。但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数

在处连续，但不可导。

例2证明函数仅在点= 0 处可导。其中 D（）为狄利克雷函数

证：当x0≠0时，由归结原理可得在处不连续，所以, 由

定理5.1，在处不可导。

当时，由于为有界函数, 因此得到

（二）函数在一点的单侧导数

类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。

定义2 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限

(0＜＜或

(

存在，则称该极限值为在点0 的右导数，记作，类似地，可定义左导数

右导数和左导数统称为单侧导数。

如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是：

定理5.2 若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充分必要条件是：都存在，且

= 。

说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。

例

例讨论函数在的导数。

解

由定理2，

连续函数不存在导数举例

函数，处是焦点，不可导。