美国重新修订中小学数学课程标准

美国重新修订中小学数学课程标准

全美数学教师理事会（NCTM）已于1998年10月公布了新的中小学数学课程标准讨论稿，向美国国内各界人士征求意见。这份文件以《学校数学的原则和标准》为题，总结了自1989年NCTM公布《美国学校数学课程与评价标准》以来，美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见，对原标准重新进行修订，提出了面向21世纪新的课程与评价标准。

新的标准没有改变1989年制订标准的基本方向，而是在如何使教师更好地理解和有效地贯彻标准上做了改进。从新标准的讨论稿来看，主要变化有以下几个方面。

1．新标准把以前关于课程、数学、评价标准的三个文件（分别于1989年、1991年和1995年公布）综合为一个文件，使教师更容易掌握应当教学哪些内容、怎样教，以及如何评价。

2．新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的。它们成为制定课程标准的基础。这六条是公平的原则、数学课程的原则、教的原则、学的原则、评价的原则和技术的原则。

3．新标准把年级分段由三段改为四段（K~2，3~5，6~8和9~12），使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容、方法和要求。

4．新标准开发、阐述了学校数学教学十项标准的总观点，并将其贯穿在各个年级的标准中，通过具体的示例详细解释。这些标准的前五项叫做内容标准，包括：（1）数与运算；（2）模式、函数与代数；（3）几何与空间观念；（4）测量；（5）数据分析、统计和概率。后五项叫做过程标准，包括：（1）问题解决；（2）推理和证明；（3）交流；（4）联系；（5）表达。

5．新标准还有一个特别的变化，就是应用了新技术的力量，提供了计算机网络版。这样，由于网络版可以是动态的，使教师能够及时地、很容易地从因特网上得到最新的标准和有关的信息咨询。

这份新标准的讨论稿经过广泛征求、收集意见后，将在1999年夏季由全美数学教师理事会的专门写作小组做进一步整理和修改。新的《学校数学的原则和标准》将于2000年春季正式公布。

标准1：数和运算

数学教学纲要应促进对数和运算的感觉（以下简称"数感"）的发展，为此全体学生应──

◆理解数，数的表示法，数之间的关；

◆理解运算的意义及各种运算之间如何联系；

◆熟练地运用计算工具和策略并恰当地进行估计。

说明：幼儿园前－12年级

在学校数学课程中，数、运算及计算有悠久而显要的历史。此外，数学的这个领域或许要比任何其他部分，在超出学校的范围里更广泛地受到承认和尊重。这个标准的中心就是发展"数感"这样的目标，即理解数的意义，它们之间如何联系，它们的相对大小关系，如何用多种方法思考和表示它们，以及数的运算产生的结果。在教师的经验的引导下，让学生适时地发展"对于数及它们间关系的良好直觉"（Howden1989）。具有良好"数感"的学生会自然地分解数，发展和运用最基本的内容，运用运算间的关系及十进制数的知识去解决问题，估计问题的合理结果，并且具有能形成对于数、问题及结果的直觉的素质（Sowder1992）。具备蕴藏于"数感"中的技能的学生，是数学的自信的使用者。

关于数的基本知识，是发展"数感"和教会学生解决问题的基础。学生必须能容易地回顾这些基本知识。这些基本知识包括一位数加法的结构及减法、乘法和除法的原形。对于基本知识的理解和有关的技能，可以通过探索如"7＋8与7＋7＋1是同样的"这类问题的思考策略来发展。它们也可以通过多样的、系统的校内外实践活动来发展。大多数学生在２年级应能迅速地回忆起加法和减法的基本知识，在４年级后期容易和熟练地回忆起乘法和除法的基本知识。

同样，熟练的计算－－掌握和运用有效和精确的计算方法－－是发展"数感"和在大多数的数学领域取得成功的基础。某些情形中，学生会用聪明的策略，例如把"6×2．5"看作"6个2加6个一半（0．5）"。在其他情形，学生用聪明的策略结合写在纸上的算草迅速得出精确的结果。在另一些情形，学生可以用纸和笔演练教学中的计算法则及其变形法则，特别是在数目很大或很复杂时。重要的是，学生必须具有可以有效使用和产生正确结果的方法。能应用、处理问题中的信息材料和反映、比较解题策略，会帮助学生发展对于数、运算及它们的性质的理解，增加关于基本规律的知识，使运算更流畅。

全体学生应学会在计算时进行估计的策略，养成对数值(包括计算结果的合理性)做判断的习惯。估计的能力和习惯，依赖于对于数的理解──它们的大小，在数系中的地位，等价形式──以及用这些数进行运算的结果（例如，当一个整数乘以一个小于1的数时会产生什么样的结果？）。估计可以用来直接回答一个如"我们该要多少比萨饼？"这样的问题，或用来评价用纸、笔、计算器所得出的结果的合理性。在高中，学生应理解误差估测及其在计算中的作用，并应发展区分估计值和近似值的能力。

计算器是可行且可靠的计算工具。全体学生应在适当的时候把计算器作为计算工具。计算器应可以运用于数学课堂中的计算，特别当解决问题中需要很多或很复杂的计算时。然而，当教学重点在于发展学生自身或由此转化的计算技能时，计算器的使用应服从于教学重点。今天，计算器已是课堂之外广泛使用的工具。课内环境应反映这一现状。

◆理解数，数的表示法，数之间的关系及数系

学生的有关数的概念和性质的知识应在他们的学校生活中不断发展。在2年级前，学生

通过多种途径学习记数、表示数和比较大小，可以借助于他们能够操作的实物，如记数器和10以内的模块。2年级前，学生将会接触并应探索较大的数。实际上，他们对于大的数特别是在他们的生活中遇到的这样的数常常很感兴趣。例如，小龄的学生可以通过计算用学校的便士机换的硬币数目或收集的苏打水罐拉环的数目来认识数。低年级学生会探索和使用部分与整体的关系。24被看作两个10和4个1，也是两个12。用多种方法来认识数，会为学习10进制记数法提供基础。

在2年级，学生形成这样的转化，如10是10个1的集合，也是一个10。这样的认识是通往10进制记数法的第一步（Cobb&Wheatly1998）。在低年级，学生也会通过现实问题和语言遇到并学习普通分数（如1/2，3/4）。例如，大多数学生已能在他们的校外生活词汇中使用"一半"。

3－5年级的学生继续发展和扩充关于整数的概念并思考运用解题技巧。3408是3个1000、4个100和8个1之和的知识，是学生理解3408如何与4408、3308及3500相联系的基础。这样的理解是发展数感的一部分，也有益于产生和运用计算技巧。

在3－5年级，学生将学习和表示分数和小数，要强调它们如何与整数相联系等。理解分数或小数是单位量的部分量，是这些年级的关键概念。在这个阶段，教学中对有理数概念的强调应重于它们运算的策略。对于3－5年级的学生来说，有用的经验包括形成对分数和小数的实际背景的认识，用如1/2这样的已熟悉的最基本的数来比较分数，在数轴上表示分数和小数，及分数和小数间相等的表示等。运用这些理解，学生将能估计分数的和，如1/2+3/8必然小于1，因为每个加数都不大于1/2。

3－5年级的学生学习数也学习它们的分类和性质，例如奇数、偶数、素数、合数、平方数。认识这些建立在整除规律基础上的性质，找出素数因子或理解函数关系。

6－8年级的学生用分数、小数和百分数扩大他们的工作，使得他们能够灵活运用等价关系和策略来给有理数排序和比较大小。由认为分数是单位数的部分到理解分数也是数，这个认识在中年级完成。学生关于10进制小数的知识及其运用也在这时完成。加上用有理数进行估测，学生在6－8年级也发展了分数和小数的计算策略。在整个中年级，对很大的数及这些数代表什么的理解继续发展。学生使用计算器或数学用表这样的工具处理和分析数据，并且学习用科学记数法表示很大或很小的数。随着由自然数到整数的扩充，中年级学生

对顺序和量的知识也扩充了。在学习勾股定理和圆周长时，他们也遇到像和π这样的无理数。

在9－12年级，课程的其他内容比数的内容更突出，然而随着学生用更全面的观点来看已熟悉的数系，他们对数的性质的理解继续深化。科学记数法和矩阵表示，成为可能实现的事。复数也加入学生的视野，他们还认识到当实数系扩大时实数的全部性质并不能都保留。

◆理解运算的意义和它们彼此间的联系

为使运算流畅，学生必须理解算术运算的意义。这包括对一个特定的问题决定实施什么