弹塑性力学-02详解
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4
体力：则是满布在物体内部各质点上的力，如重力、
惯性力。电磁力等。物体内各点所受的体力一般也是
不同的。我们可以仿照对面力的讨论，得出物体内一
点C所受的体力为按体积计算的平均集度Fb /△V， 在微小体积元素△V无限缩小而趋于C点时的极限矢
量，即
lim V 0
Fb V
Fb
显然，体力矢量 Fb 的方向就是△V内的体力△F的 极限方向。
柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）首先提出了应力 和应变的理论。为了说明应力的概念
6
lim
p
S SC 0
C
这个极限矢量就是物体 在过C面上P点处的应力
应力可分解为其所在平 面的外法线方向和切线 方向这样两个分量。
沿应力所在平面的外法线方向（n）的应力分量叫做
lim lim 正应力，记做 n 。沿切线方向的应力分量叫做剪应
九个量
这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。
数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定
义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并
称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。
各应力分量即为应力张量的元素。
12
应力张量通常表示为
其中i，j=x，y，z，当 i，j任取x，y，z时，
ij yxx zx
xy y zy
xz yz
z
便得到相应的分量
应力张量与3×3阶的矩阵写法相同。如令i代表行，j
代表列，行列数1，2，3，对应于x，y，z。例如第二
行第三列的元素为 23 ，及应力分量为 yz ，余类推。
应当指出，物体内个点的应力状态，一般来说是不同
的，即非均匀分布的。亦即，各点的应力分量应为坐
面力分量的量纲：
力/面积 力长度 2 ma / L2 mL / T 2 / L2 mT L 2 1 5
体力分量的量纲：
力/面积 力长度 3 ma / L3 mL / T 2 / L3 mT L 2 2
固体材料受外力作用后就要产生内力和变形。用以描 述物体中任何部位的内力和变形特征的力学量度是应 力和应变。应力的概念，在材料力学课程中虽已讨论 并应用过，但由于这一概念的重要性，我们在这里除 了强调应力的确切含义之外，还要进一步给出在受力 物体内某一点处的应力状态的描述方法。
应用弹塑性力学
1
第2章 应 力
➢ 力和应力的概念 ➢ 二维应力状态与平面问题的平衡方程 ➢ 一点处的应力状态的描述 ➢ 边界条件 ➢ 主应力与主方向 ➢ 球张量与应力偏量
2
力和应力的概念
作用在物体上的外力可分为表面力和体积力，简称 面力和体力。
所谓面力指的是作用在物体 表面上的力，如风力、液体 压力、两固体间的接触力等。 物体上个点所受的面力一般 是不同的。为了表明物体表 面上的一点P所受面力的大 小和方向，我们在P点的邻 域取一包含P点在内的微小 面积元素△S
标x,y,z的函数。所以，应力张量与给定点的空间位置
有关，谈到应力张量总是针对物体中的某一确定点而
言的。以后我们将看到，应力张量 处的应力状态。
ij
完全确定了一点 13
二维应力状态与平面问题的平衡方程
上一节中讨论力和应力概念时，是从三维受力物 体出发的，其中P点是从一个三维空间中取出的点。现 为简单起见，我们首先讨论平面问题，掌握了平面问 题以后，再讨论空间问题就比较容易了。
10
当微小的平行六面体趋 于无穷小时，六面体上 的应力就代表P点处的应 力。因此，P点处应力分 量共有九个，其中有三 个正应力分量、六个剪 应力分量（以后将证明 剪力互等定理，从而实 际上独立的剪应力分量 只有三个）。我们把这9 个应力按一定规则排列， 令其中每一行为过P点的 一个面上的三个应力分
p
lim S0 S ps 3
lim p
S0 S ps
△S是标量，故矢量 ps 的
方向与△p的极限方向相同
ps 在坐标轴x,y,z方向的投影称 px , p y , pz 为P
点面力的分量，并规定指向坐标轴正方向的分量 为正，反之为负。
作用在物体表面上的力都占有一定的面积，但对于 作用面很小的面力通常理想化为作用在一点的集中 力。
应力及其分量 的量纲为 [力][长度]-2
单位为帕（Pa） =N/m2
9
在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可 以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续 变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了 一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。
为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微 小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的 正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在 各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面 中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为 一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给 出的各应力分量均为正方向。
母表示应力分量的指向。应力的正负号规定为：正应
力以拉应力为பைடு நூலகம்，压应力为负。
8
剪应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外 法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向 的剪应力为正，反之为负；当其所在面的外法线与坐 标轴的负方向一致时,则以沿坐标轴负方向的剪应力 为正，反之为负。图中的各应力分量均为正
量
x xy xz yz y yz zx zy z
i, j
11
x xy xz yz y yz zx zy z
x' y'z' z'x'
x'y' y' z'y'
x'z' y'z' z'
9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象， 即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系 变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的
力，记做
n。
n
pn
S SC 0
C
n
ps
S SC 0
C
7
如果中的n方向与y坐标 轴的方向一致，则此时有
n y及 n y
其中 y 是作用在C截面内的剪应力，如将分解为沿x
轴和z轴的两个分量，并记作 y x 和 y z，则过C面上P 点的应力分量为 y , yx , yz
第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字
体力：则是满布在物体内部各质点上的力，如重力、
惯性力。电磁力等。物体内各点所受的体力一般也是
不同的。我们可以仿照对面力的讨论，得出物体内一
点C所受的体力为按体积计算的平均集度Fb /△V， 在微小体积元素△V无限缩小而趋于C点时的极限矢
量，即
lim V 0
Fb V
Fb
显然，体力矢量 Fb 的方向就是△V内的体力△F的 极限方向。
柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）首先提出了应力 和应变的理论。为了说明应力的概念
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lim
p
S SC 0
C
这个极限矢量就是物体 在过C面上P点处的应力
应力可分解为其所在平 面的外法线方向和切线 方向这样两个分量。
沿应力所在平面的外法线方向（n）的应力分量叫做
lim lim 正应力，记做 n 。沿切线方向的应力分量叫做剪应
九个量
这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。
数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定
义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并
称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。
各应力分量即为应力张量的元素。
12
应力张量通常表示为
其中i，j=x，y，z，当 i，j任取x，y，z时，
ij yxx zx
xy y zy
xz yz
z
便得到相应的分量
应力张量与3×3阶的矩阵写法相同。如令i代表行，j
代表列，行列数1，2，3，对应于x，y，z。例如第二
行第三列的元素为 23 ，及应力分量为 yz ，余类推。
应当指出，物体内个点的应力状态，一般来说是不同
的，即非均匀分布的。亦即，各点的应力分量应为坐
面力分量的量纲：
力/面积 力长度 2 ma / L2 mL / T 2 / L2 mT L 2 1 5
体力分量的量纲：
力/面积 力长度 3 ma / L3 mL / T 2 / L3 mT L 2 2
固体材料受外力作用后就要产生内力和变形。用以描 述物体中任何部位的内力和变形特征的力学量度是应 力和应变。应力的概念，在材料力学课程中虽已讨论 并应用过，但由于这一概念的重要性，我们在这里除 了强调应力的确切含义之外，还要进一步给出在受力 物体内某一点处的应力状态的描述方法。
应用弹塑性力学
1
第2章 应 力
➢ 力和应力的概念 ➢ 二维应力状态与平面问题的平衡方程 ➢ 一点处的应力状态的描述 ➢ 边界条件 ➢ 主应力与主方向 ➢ 球张量与应力偏量
2
力和应力的概念
作用在物体上的外力可分为表面力和体积力，简称 面力和体力。
所谓面力指的是作用在物体 表面上的力，如风力、液体 压力、两固体间的接触力等。 物体上个点所受的面力一般 是不同的。为了表明物体表 面上的一点P所受面力的大 小和方向，我们在P点的邻 域取一包含P点在内的微小 面积元素△S
标x,y,z的函数。所以，应力张量与给定点的空间位置
有关，谈到应力张量总是针对物体中的某一确定点而
言的。以后我们将看到，应力张量 处的应力状态。
ij
完全确定了一点 13
二维应力状态与平面问题的平衡方程
上一节中讨论力和应力概念时，是从三维受力物 体出发的，其中P点是从一个三维空间中取出的点。现 为简单起见，我们首先讨论平面问题，掌握了平面问 题以后，再讨论空间问题就比较容易了。
10
当微小的平行六面体趋 于无穷小时，六面体上 的应力就代表P点处的应 力。因此，P点处应力分 量共有九个，其中有三 个正应力分量、六个剪 应力分量（以后将证明 剪力互等定理，从而实 际上独立的剪应力分量 只有三个）。我们把这9 个应力按一定规则排列， 令其中每一行为过P点的 一个面上的三个应力分
p
lim S0 S ps 3
lim p
S0 S ps
△S是标量，故矢量 ps 的
方向与△p的极限方向相同
ps 在坐标轴x,y,z方向的投影称 px , p y , pz 为P
点面力的分量，并规定指向坐标轴正方向的分量 为正，反之为负。
作用在物体表面上的力都占有一定的面积，但对于 作用面很小的面力通常理想化为作用在一点的集中 力。
应力及其分量 的量纲为 [力][长度]-2
单位为帕（Pa） =N/m2
9
在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可 以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续 变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了 一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。
为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微 小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的 正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在 各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面 中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为 一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给 出的各应力分量均为正方向。
母表示应力分量的指向。应力的正负号规定为：正应
力以拉应力为பைடு நூலகம்，压应力为负。
8
剪应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外 法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向 的剪应力为正，反之为负；当其所在面的外法线与坐 标轴的负方向一致时,则以沿坐标轴负方向的剪应力 为正，反之为负。图中的各应力分量均为正
量
x xy xz yz y yz zx zy z
i, j
11
x xy xz yz y yz zx zy z
x' y'z' z'x'
x'y' y' z'y'
x'z' y'z' z'
9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象， 即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系 变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的
力，记做
n。
n
pn
S SC 0
C
n
ps
S SC 0
C
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如果中的n方向与y坐标 轴的方向一致，则此时有
n y及 n y
其中 y 是作用在C截面内的剪应力，如将分解为沿x
轴和z轴的两个分量，并记作 y x 和 y z，则过C面上P 点的应力分量为 y , yx , yz
第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字