第五章1 控制系统的频域分析(频率特性与BODE图)

对数幅频特性 20 lg G ( jω ) 对数频率 特性曲线 相频特性 纵坐标均按线性分度
G ( jω )
dB
L (ω )
(° )
(ω )
横坐标是角速率 ω 按 lg ω 分度 10倍频程，用dec表示 10倍频程 倍频程， dec表示
Bode图的几点说明 关于 Bode图的几点说明
ω =0不可能在横坐标上表示出来； 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣 的频率范围确定； 只标注ω的自然对数值。
C (s) B (s) = G (s) = R (s) A(s)
Aω R( s) = 2 s +ω2
已知输入 r (t ) = A sin(ωt )
A为常量，则系统输出为 为常量，则系统输出为
B ( s ) Aω B( s) Aω = 2 C ( s ) = G ( s) R( s) = A( s ) s 2 + ω 2 ( s + p1 )( s + p2 ) L ( s + pn ) s + ω 2
2. 伯德图 伯德图(Bode图) 图 如将系统频率特性G(j G(jω 的幅值和相角分别绘在半对数坐 如将系统频率特性G(jω ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐 标图上,分别得到对数幅频特性曲线 纵轴： 对数幅频特性曲线（ 标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数 后进行分度；横轴：对频率取以10 10为底的对数后进行分度 后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度 :lgw） 对数相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度； :lgw）和对数相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度； 横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgw ），合称为 10为底的对数后进行分度 横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgw ），合称为 伯德图(Bode (Bode图 伯德图(Bode图)。 对数幅频特性 （dB) 对数相频特性 (° )
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3.
对数幅相图(Nichols图 对数幅相图(Nichols图) (Nichols 将Bode图的两张图合二为一。 Bode图的两张图合二为一。 图的两张图合二为一
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（ 2） 系统的频率特性可用实验方法测出 。 频率 ） 系统的频率特性可用实验方法测出。 特性具有明确的物理意义， 特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确 定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说 具有重要的实际意义。 ，具有重要的实际意义。 （ 3） 可推广应用于某些非线性系统 。 频率响应 ） 可推广应用于某些非线性系统。 法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数 法不仅适用于线性定常系统， 中含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。 含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。 系统和部分非线性系统的分析 （ 4） 用频率法设计系统 ， 可方便设计出能有效 ） 用频率法设计系统， 抑制噪声的系统。 抑制噪声的系统。
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对于RC网络 对于 网络 1）传递函数: G(s)=1/(Ts+1) ）传递函数 2） 频率特性： ） 频率特性：
G ( jw) = 1 1 + jωT ωT 1 = j 2 2 1+ ω T 1 + ω 2T 2 = x(ω ) + jy (ω )
= A(ω )e j (ω )
= A(ω ) A sin( ω t + (ω ))
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稳态分量
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c (t ) = ae
jω t
+ ae
jω t
= A(ω ) e
j (ω )
e
jω t
A j ( ω ) jω t A e + A(ω ) e 2j 2j
= A(ω ) A sin( ω t + (ω ))
A (ω ) A A (ω ) = = G ( jω ) A 相频特性 ω 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差: 相频特性(ω): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差 (ω ) = G ( jω )
幅相频率特性G(jω 幅相频率特性 ω) : G(jω) 的幅值和相位均随输入正弦信 ω 号角频率ω 变化而变化。 号角频率ω的变化而变化。
i =1 n
n
稳态响应C 稳态响应 ss(t) 瞬态响应（t → ∞ 趋向于零）
Aω A a = G( s) 2 ( s + jω ) s = jω = G( jω ) 2 s +ω 2j
Aω A a = G (s) 2 ( s j ω ) s = jω = G ( j ω ) 2 s +ω 2j
G( jω) = G( jω) e
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j (ω )
(ω ) = arctgTω
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T = RC
一、基本概念
1、频率响应 、 在正弦输入信号作用下， 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的 频率响应, 记为c 频率响应 记为 ss(t) 2、频率特性 、 幅频特性A(ω 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比: 幅频特性 ω): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比
幅频特性 相频特性
j a (ω ) jb(ω ) G ( jω ) G ( jω ) = = G ( jω ) e c(ω ) jd (ω )
= A(ω )e j (ω )
c (t ) = ae
jω t
+ ae
jω t
= A(ω ) e
j (ω )
e
jω t
A j ( ω ) jω t A + A(ω ) e e 2j 2j
t →∞
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bi e pi t → 0 ∑
i =1
n
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令
j a(ω) + jb(ω) G ( jω ) = A (ω ) e j (ω ) G( jω) = = G( jω) e c(ω) + jd (ω)
A(ω ) = G ( jω )
(ω ) =
G ( jω )
R ui C uo
U o ( s) 1 = G( s ) = U i ( s) 1 + RCs
设输入电压 u i (t ) = A sin(ωt )
图5-3 R-C电路
U o ( jω ) 1 1 = G ( jω ) = = U i ( jω ) 1 + RCjω 1 + Tjω
G ( jω ) = 1 1 + T 2ω 2
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5.1频率特性及其表示法 5.1频率特性及其表示法 5.1.1 频率特性的基本概念
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件） 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同 频率正弦输入信号的响应特性。 频率正弦输入信号的响应特性。
2 1.5 1
2 5 4 3
0.5
第5章 线性系统的频域分析法 FrequencyFrequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
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自动控制原理 频率特性。
G ( jω ) = A( w)e j (ω )
在系统闭环传递函数G(s)中，令s= jω，即可得到系统的
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G ( jω ) =
1 1 + T 2ω 2
电路的输出与输入的幅值之比
(a) 幅频特性
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(ω ) = arctgTω
s= p
j =
ω
微分 方程
p
p= d dt
传递 函数
系统
频率 特性
s = jω
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5.1.2 频率特性的表示法
(1)幅相频率特性曲线 (1)幅相频率特性曲线 相曲线 (2)对数频率特性曲线 (2)对数频率特性曲线 伯德图或伯德曲线(Bode 伯德图或伯德曲线(Bode diagram or lgarithmic plot) (3)对数幅相曲线 尼科尔斯曲线或尼科尔斯图(lg (lg(3)对数幅相曲线 尼科尔斯曲线或尼科尔斯图(lgmagnitude versus phase plot) 极坐标图(Polar plot)， 极坐标图(Polar plot)，幅
输出与输入的相位之差
(b)相频特性 (b)相频特性
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Uo (s) 1 = G(s) = Ui (s) 1 + RCs
U o ( jω) 1 1 = G( jω) = = 1 + RCjω 1 + Tjω U i ( jω)
G ( j ω ) = G ( s ) s = jω
时域分析法的缺点： 时域分析法的缺点：
高阶系统的分析难以进行； （1）高阶系统的分析难以进行； 当系统某些元件的传递函数难以列写时， （2）当系统某些元件的传递函数难以列写时， 整个系统的分析工作将无法进行。 整个系统的分析工作将无法进行。
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频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经 频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经 典工程实用方法 , 是一种利用频率特性 频率特性进行控制系 典工程实用 方法, 是一种利用 频率特性 进行控制系 方法 统分析的图解方法 , 可方便地用于控制工程中的系 统分析的 图解方法, 可方便地用于控制工程中的 系 图解方法 统分析与设计。 统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下 优点： 优点： （ 1 ） 不必求解系统的特征根 ， 采用较为简单的图解 不必求解系统的特征根， 方法就可研究系统的稳定性。 方法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通 过开环频率特性的图形对系统进行分析， 过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形 象直观和计算量少的特点。 象直观和计算量少的特点。
p1 , p 2 ,L p n ,± jω
G(s)
的极点
对稳定系统
bi a a C ( s) = ∑ + + s + jω s jω i =1 s + p i
n
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bi a a C ( s) = ∑ + + s + jω s jω i =1 s + pi
c ( t ) = ae jω t + a e jω t + ∑ bi e p i t
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极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，幅相曲线 极坐标图 ，幅相频率特性曲线， 当ω在0～∞变化时,相量G(jω) 的幅值和相角随ω而变化,与 变化时,相量G(jω 的幅值和相角随ω而变化, G(j 此对应的相量G(j G(jω G(jω 此对应的相量G(jω) 的端点在复平面 G(jω) 上的运动轨迹 就称为幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线或 Nyqusit曲线 曲线。 Nyqusit曲 就称为幅相频率特性曲线或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲 极坐标图或 ～－∞ 线的坐标图称为极坐标图 Nyqusit图 线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。（ ω在0～－∞变化 对称于实轴） 对称于实轴） 奈奎斯特(N.Nyquist) 1932年基于极坐标图阐述了反馈系统 (N.Nyquist)在 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统 稳定性
0 -0.5 -1
线性系统
1 0 -1 -2 -3
-1.5 -2
-4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入量， 输出的振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化
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设系统的传递函数为
说明
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其输出与输入的幅值比为
A (ω ) = G ( j ω )
输出与输入的相位差 ( ω ) =
幅频特性 相频特性
G ( jω )
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下面以R 电路为例， 下面以R-C电路为例，说明频率 特性的物理意义。 特性的物理意义。 图5-3所示电路的传递函数为
( x 0.5)2 + y 2 = 1/ 4
A(ω ) = 1/ [1 + (ωT ) 2 ]
(ω ) = arctg (ωT )
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幅相频率特性画法举例 画出二阶系统
G (s) = 112 s (1 + 0 . 02 s )
的幅相频率特性
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