高等数学 第五章 无穷级数解剖
高等数学-无穷级数简要讲解-2
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
《高等数学极限》课件
THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
大专高等数学教材
大专高等数学教材大专高等数学教材，是一本全面介绍大专层级高等数学知识的教材，旨在为大学专科学生提供系统而全面的数学学习资源。
本教材包含了丰富的数学理论、应用和解题实例，旨在帮助学生建立数学思维，提高问题解决能力，并为未来的学习和职业发展打下坚实基础。
第一章：函数与极限函数与极限是大专高等数学的基础。
通过本章的学习，学生将了解函数概念、初等函数、特殊函数以及函数的性质与图像。
同时，引入极限的概念，帮助学生理解函数的渐近性质与变化趋势。
本章的重点包括函数的极限定义、常用函数的极限计算以及极限的性质与应用等内容。
第二章：导数与微分导数与微分是大学高等数学的核心概念。
本章介绍导数的定义与性质，以及常用函数的导数计算方法。
同时，引入微分的概念，并探讨微分的应用。
通过本章的学习，学生将学会利用导数来研究函数的变化规律，并应用导数解决实际问题。
第三章：定积分与不定积分定积分与不定积分是数学分析中的重要内容。
本章介绍不定积分的定义、基本性质以及常见函数的不定积分计算方法。
同时，引入定积分的概念与性质，并探讨定积分在几何和物理问题中的应用。
通过本章的学习，学生将学会利用积分解决曲线长度、曲线面积、体积等问题。
第四章：微分方程微分方程是数学与工程领域的重要工具。
本章介绍常微分方程的基本概念、解法以及一阶线性微分方程和二阶线性齐次微分方程的应用。
通过本章的学习，学生将学会建立微分方程模型，并利用解微分方程的方法解决实际问题。
第五章：无穷级数无穷级数是数学分析的重要内容。
本章介绍级数的基本概念、性质以及收敛判别法。
同时，引入幂级数的概念，并探讨幂级数的收敛半径与和函数。
通过本章的学习，学生将学会分析级数的敛散性，并应用级数解决数学和物理问题。
第六章：多元函数与偏导数多元函数与偏导数是大学高等数学的拓展内容。
本章介绍多元函数的概念、偏导数的定义与计算方法，以及多元函数的极值与最值。
通过本章的学习，学生将进一步了解多元函数的性质，并应用偏导数计算曲面切平面、极值问题等。
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
轻化工大学高等数学教材
轻化工大学高等数学教材（注意：以下为示例，实际教材内容需根据高等数学知识进行编写）目录第一章导言1.1 高等数学的重要性1.2 学习高等数学的基本原则第二章函数与极限2.1 实函数与复函数的概念2.2 函数的极限与连续性2.3 一元函数的微分学2.4 一元函数的积分学第三章多元函数与偏导数3.1 多元函数的定义与性质3.2 偏导数的概念与计算3.3 隐函数与参数方程3.4 多元函数的极值与最值第四章微分方程4.1 常微分方程的基本概念4.2 一阶线性常微分方程4.3 高阶线性常微分方程4.4 常系数齐次线性差分方程第五章无穷级数5.1 数项级数的定义与性质5.2 收敛级数与发散级数的判定方法5.3 幂级数与泰勒级数5.4 复数列与复级数第六章重积分与曲线积分6.1 重积分的定义与计算方法6.2 曲线积分与曲面积分的基本概念6.3 格林公式与高斯公式6.4 参数化曲线与曲面积分第七章空间解析几何7.1 空间直线与平面的基本性质7.2 空间曲线与曲面的方程与性质7.3 球面坐标与柱面坐标系7.4 向量场与无散场、无旋场第八章线性代数与矩阵论8.1 向量的线性运算与线性方程组8.2 行列式与矩阵的基本性质8.3 线性空间与线性变换8.4 特征值与特征向量第九章概率论与数理统计9.1 随机事件与概率的基本概念9.2 随机变量与概率分布9.3 数理统计的基本概念与推断9.4 相关与回归分析第十章傅里叶级数与傅里叶变换10.1 傅里叶级数的定义与性质10.2 傅里叶级数的收敛与展开10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换10.4 连续信号的傅里叶变换与反变换第十一章线性规划11.1 线性规划的基本概念与解法11.2 整数规划与二次规划11.3 对偶理论与灵敏度分析11.4 非线性规划与凸规划第十二章数值计算方法12.1 方程求根的迭代方法12.2 插值与拟合问题的数值计算12.3 常微分方程的数值解法12.4 线性方程组的数值解法结语感谢各位读者对《轻化工大学高等数学教材》的阅读与使用，希望本教材能够为学习者提供全面系统的高等数学知识，并对相关专业领域的研究和应用起到积极的推动作用。
高数课件28无穷级数
任意项级数审敛法总结
绝对收敛判别法
对于任意项级数，首先尝试判断其是否绝对收敛。若绝对收敛，则原级数一定收敛。
交错级数审敛法
对于交错级数，可以利用交错级数审敛法进行判断。若满足条件，则交错级数收敛。
其他审敛法
除了绝对收敛和交错级数审敛法外，还有其他一些审敛法可用于判断任意项级数的敛散性 ，如比较审敛法、比值审敛法等。在实际应用中，可以根据级数的具体形式选择合适的审 敛法进行判断。
泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
原理介绍
泰勒级数的基本思想是将复杂的函数用多项式来逼近，通过逐次求导并代入展开点的值，得到各阶导 数在该点的值，进而构造出相应的多项式。
常见函数泰勒展开式举例
要点一
常见函数泰勒展开式
如$e^x$、$sin x$、$cos x$、$ln(1+x)$等函数的泰勒展 开式。
电力系统
在电力系统中，傅里叶级数被用于 分析周期性电气信号的谐波成分， 为电力系统的稳定运行提供支持。
傅里叶变换与离散时间信号处理关系
傅里叶变换与傅里叶级数关系
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，可以将非周期函数表 示为连续频谱的形式。
离散时间信号处理中的傅里叶变 换
在离散时间信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于频域分 析和滤波器设计等方面，为数字信号处理提供了重要工具。 同时，离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）也在 实际应用中发挥着重要作用。
判断原级数的收敛性。
适用范围
02
适用于通项可以表示为某个函数的级数，且该函数在相应区间
内单调、可积。
应用举例
03
如对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$级数，可
厦大金融系高等数学教材
厦大金融系高等数学教材高等数学是金融专业的基础课程之一，对于金融系学生的学习和发展至关重要。
作为厦门大学金融系的一份专业教材，本教材旨在帮助学生全面理解和掌握高等数学的基本理论和方法，为日后的金融工作打下坚实的数学基础。
第一章导数与微分导数与微分是高等数学的重要概念，对于理解函数的变化规律和求解问题至关重要。
本章将介绍导数的概念，包括导数的定义、求导法则以及应用。
学习者将通过练习题的训练，逐步掌握导数的计算方法和理论。
第二章微分中值定理和导数的应用微分中值定理是微积分中的基础定理，它为我们理解函数的变化提供了重要依据。
本章将详细介绍几种常见的微分中值定理，并结合金融实际问题，探讨导数在金融领域中的应用。
第三章不定积分和定积分不定积分和定积分是微积分的重要分支，在金融数学中也有广泛的应用。
本章将介绍不定积分和定积分的概念，以及它们的性质和计算方法。
通过实例演练和习题训练，学习者可以熟练掌握不定积分和定积分的运算技巧。
第四章微分方程微分方程是数学中的一类重要方程，也是金融数学中常用的建模工具。
本章将介绍常微分方程的基本概念和解法，以及应用于金融领域的典型案例。
学习者将通过解题训练，培养解决实际问题的思维和能力。
第五章无穷级数无穷级数是高等数学中的重要概念之一，它描述了数列的和的性质。
本章将介绍几种常见的无穷级数及其性质，以及级数在金融数学中的应用。
学习者将通过题目的练习，逐步掌握无穷级数的求和方法和收敛条件。
第六章重积分重积分是高等数学中的重要内容，也是金融数学中的常用工具之一。
本章将介绍重积分的基本概念和计算方法，包括二重积分与三重积分的定义和性质。
通过实例分析和练习题的训练，学习者可以熟练掌握重积分的应用技巧。
第七章偏导数偏导数是多元函数微积分中的重要概念，也是金融数学中常用的分析工具。
本章将介绍偏导数的概念和计算方法，以及它在金融领域中的典型应用。
通过大量的例题练习，学习者可以掌握偏导数的求解和应用技巧。
高等数学基础教材目录
高等数学基础教材目录目录第一章导论1.1 数学的基本概念和历史1.2 高等数学的学习方法和技巧第二章极限与连续2.1 函数的极限2.1.1 定义与性质2.1.2 无穷小量和无穷大量2.2 连续性与间断点2.2.1 连续函数的基本性质2.2.2 间断点的分类与性质第三章微分学3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 函数的可导性与可导函数的性质3.2 微分中值定理与导数的应用3.2.1 罗尔定理及其应用3.2.2 拉格朗日中值定理3.2.3 柯西中值定理3.3 高阶导数与导数的计算3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 高阶导数的计算方法和性质第四章积分学4.1 不定积分与定积分4.1.1 不定积分的定义与性质4.1.2 定积分的定义与性质4.2 积分的计算方法4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法4.3 定积分的几何应用4.3.1 曲线长度与曲面面积的计算 4.3.2 平面图形的面积第五章无穷级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 部分和与数项级数5.1.2 数项级数的收敛与发散5.2 收敛级数的性质与判别法5.2.1 收敛级数的四则运算5.2.2 正项级数的判别法5.2.3 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的定义与性质5.3.2 幂级数的收敛域与展开函数第六章函数序列与函数级数6.1 函数序列的收敛与一致收敛6.1.1 函数序列的点态收敛与一致收敛 6.1.2 一致收敛的性质6.2 函数级数的收敛与一致收敛6.2.1 函数级数的和函数6.2.2 函数级数的一致收敛性质6.3 傅里叶级数与函数逼近6.3.1 傅里叶级数的定义6.3.2 函数逼近的应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.1.1 多元函数的极限定义7.1.2 多元函数的连续性7.2 偏导数与全微分7.2.1 偏导数的定义与性质7.2.2 全微分的定义与性质7.3 多元函数的链式法则与隐函数定理 7.3.1 多元函数的链式法则7.3.2 多元函数的隐函数定理与参数方程第八章多元函数积分学8.1 重积分的定义与性质8.1.1 二重积分的定义8.1.2 三重积分的定义8.2 重积分的计算方法8.2.1 二重积分的计算8.2.2 三重积分的计算8.3 曲线积分与曲面积分8.3.1 曲线积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的定义与性质第九章向量代数与空间解析几何 9.1 空间直角坐标系与坐标变换 9.1.1 空间直角坐标系的表示9.1.2 坐标变换与向量的坐标表示 9.2 向量的数量积与叉积9.2.1 向量的数量积的定义与性质 9.2.2 向量的叉积的定义与性质 9.3 空间中的直线与平面9.3.1 点、直线与平面的基本性质 9.3.2 直线与平面的方程式第十章偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念与分类10.1.1 偏微分方程的定义和分类10.1.2 偏微分方程的解的概念10.2 二阶线性偏微分方程的基本理论10.2.1 椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程 10.2.2 二阶线性偏微分方程的解法10.3 常见偏微分方程的应用10.3.1 热传导方程10.3.2 波动方程10.3.3 拉普拉斯方程第十一章级数展开与特殊函数11.1 正弦级数与余弦级数11.1.1 正弦级数的展开11.1.2 余弦级数的展开11.2 幂级数的展开与特殊函数11.2.1 幂级数的收敛域11.2.2 阶乘函数与伽玛函数11.3 勒让德多项式与贝塞尔函数11.3.1 勒让德多项式的定义与性质11.3.2 贝塞尔函数的定义与性质第十二章多元函数的微分学应用12.1 最值与条件极值12.1.1 多元函数的最值问题12.1.2 多元函数的条件极值问题12.2 多元函数的极值和最值求法12.2.1 概率与极值问题12.2.2 三元函数的最值问题的求解总结附录：数学符号与术语解释参考文献注：本教材目录仅供参考，具体编排、内容和章节划分可根据实际情况进行调整和修改。
4 高等数学方法选讲——无穷级数
注：当交错级数不满足莱布尼茨判别法时，若一般项趋于零，可以考虑 将相邻的正负项加括号后证明其敛散性（相邻的正负项加括号后一般符 号固定，成为不变号级数）.
n =1
∞
（ 3） Dirichlet 判别法： 级数级数 ∑ un 中，un = an ⋅ bn ， 如果 (a) Bn = ∑ bk
n =1 k =1
∞
n
有界， (b) 数列 {an } 单调递减， (c) lim an = 0 ，则级数 ∑ un 收敛 . n →∞
n=1
∞
注： Abel 和 Dirichlet 判别法用到如下的 Abel 变换（分布求和公式） 设 {an } , {bn } 是两数列，记 Bk = ∑ bi , k = 1, 2, ，则
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 7）根值判别法（ Cauchy 判别法） ：设 ∑ an 为正项级数，且 ∃N > 0 ，
n =1 ∞
(a) 若当 n > N 时 n an ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛；
n =1
∞
(b) 若当 n > N 时 n an ≥ 1 成立，则级数 ∑ an 发散 .
n =1 n =1
（ 3）极限形式 . （ 4）分式形式
南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 5）比值判别法（D’Alember 判别法） ：设 ∑ an (an ≠ 0) 为正项级数，
n=1 ∞
∃N > 0 ，
∞ an + 1 ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛； (a) 若当 n > N 时 an n=1
《高等数学教学课件汇编》第五章1 无穷级数的敛散性-精品文档
2
aa q n 1
n
S , 由于 lim q ,从而 lim n
n
n
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因此级数发散 .
2). 若 q 1, 则
n a , 因此级数发散 ; 当 q 1 时 ,S n
当 q 1 时 ,级数成为
n 1 a a a a ( 1 ) a
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 1 1 1 (2) S n 1 22 33 4 n ( n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 2 2 3 3 4
1 1( n ） 1 n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、级数的基本性质
性质1. 若级数
n 1
u n 收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1
乘以常数 c 所得级数 c u n 也收敛 , 其和为 c S .
n 0 2 n a q a a q a q a q ( a 0 ) n
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q1, 则部分和
n 因此级数收敛 , 其和为 a ; 1 q n 当 q 1 时 ,
S a a q a q a q 1 q n n a 由于 lim q 0 ,从而 lim 当q 1时， S n 1 q
高等数学教材的目录部分
高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。
第5章 无穷级数解剖
un
收敛,则必有
lim
n
un
0.
其逆否命题: 若级数的一般项极限不为0,则级数发散.
3
3.几何级数与 p 级数及其收敛性
几何级数
qn
n0
收敛 | q | 1
发散
| q |1
1 收敛 p 1
p 级数
n1 n p
发散
0 p 1
调和级数 1 发散. n1 n
4
4.正项级数收敛性的判别法
若 | un | 发散,而 un 收敛,则称 un 为条件收敛.
达朗贝尔判别法: 设 un 为任意项级数,
(1) 当 1时,级数绝对收敛;
lim
n
un1 un
,
(2) 当 1时,级数发散,同时 | un | 也发散.
9
7.幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域
•定义 形如 an (x x0 )n 的级数称为幂级数. n0 当x0 0时, an xn , 其中 an 为幂级数系数. n0
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 S(x) ,称 S(x) 为函数项级数的和函数.
9.幂级数在其收敛区间内的基本性质 设幂级数 an xn 的收敛半径为 R,收敛域为 I,且和
n0
函数为 S(x) .下面介绍 S(x) 的三个性质.
性质 1 S(x) 在 an xn 的收敛域 I 内连续.
n0
性质 2 S(x) 在 an xn 的收敛域 I 内可积,且有逐项积分公
式:
x
n0
S(x) dx
an x n1,
且收敛半径仍为R.
0
n0 n 1
12
性质 3 S(x) 在 (R, R) 内可导,且有逐项求导公式:
高等数学-无穷级数课件
洛朗级数
详细回顾幂级数的定义及性 质，引出洛朗级数及其底层 原理，以及如何求解洛朗级 数。
函数幂级数
幂级数的概念
讲解函数幂级数的基本概念，介绍为什么函数幂级 数在数学科学中是极为重要的。
幂级数的收敛域
解析复幂级数的收敛域，掌握如何利用幂级数求函 数的收敛域的基本方法与思想。
幂级数的和函数
从几何角度引出幂级数，深入讲解幂级数的和函数 及其原理和相关定理，复习求导和积分。
幂级数的求和
介绍求解幂级数求和问题的方法和技巧，强调计算 过程中所需要注意的地方。
特殊函数的幂级数展开
自然对数函数的幂级数展开
讲解自然对数函数如何用幂级数来展开，以及 为什么对数函数的幂级数展开在微积分中应用 非常广泛。
余弦函数的幂级数展开
深入剖析余弦函数及其幂级数展开，重点探究 在实际问题中如何运用对余弦函数的认识来解 决实际问题。
先修知识回顾
深入回顾微积分相关内容如数列极限、级数收敛性 概念等，为本课程的学习打下坚实基础。
基本概念
1 无穷级数的概念
简单介绍无穷级数的基本形式和定义。
2 数列极限的基本概念
讲解数列极限的定义和性质，为理解无穷级 数奠定基础。
3 部分和数列的概念
详细解释部分和数列的含义，为后续章节的 理解做准备。
2 无穷级数的应用举例
案例分析如何运用无穷级数的知识来解决实际问题，提升学生的应用能力，解决学生学 以致用的问题。
3 拓展阅读建议
鼓励学生挖掘更多的应用案例和技巧，开阔视野，探索无穷级数的广泛应用领域。
参考文献
1 课本
2 学术论文
陈红药著《数学分析教程 7-无穷级数》，各高校数 学本部编写的《高等数学》 和《数学分析教程》等。
高等数学11-1 无穷级数的概念与性质
1 sin 1 n 1 0, 解. （1）因为 lim n sin lim n n n 1 / n 所以级数发散.
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常数项级数的概念与性质
1 ln n 3 (2) n 3 n 1 3n 1 1 因调和级数 解 发散, 由性质1知, 发散. n 1 n n 1 3n ln n 3 l n3 而级数 n 是以 r 为公比的等比级数, 3 n 1 3
常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念
引例 求圆的面积
正六边形：a1 正十二边形：a1＋a2 正二十四边形：a1＋a2 a3
正3 2n 边形：a1＋a2 a3
圆：A a1＋a2 a3 圆：A a1＋a2 a3 an
an
an
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常数项级数的概念与性质
n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
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常数项级数的概念与性质
性质3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性 .
注：
仅讨论级数 un 的敛散性时， 可简记为 un ，
n1
但求收敛级数的和时，需指明从哪一项开始！
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常数项级数的概念与性质
性质4 设级数 un 收敛, 则对其各项任意加括号所得
n
矛盾！ 级数发散 .
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常数项级数的概念与性质
小结：判断级数敛散性步骤：
（1）求出级数的前n项和（部分和）Sn；
（2）讨论 lim Sn 的存在性.
n
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常数项级数的概念与性质
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数 k 0, 则 un与 kun
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习题课
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无穷级数
一、数项级数的审敛法
二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数
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主要内容
un为常数
常数项级数
un
n1
un为函数 un( x)
函数项级数
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求和 展开
(在收敛域内进行)
lim
n
un
0
不满足 发 散
满足
比值审敛法 lim n
un1 un
1
不定
根值审敛法
lim n
n
un
其它法判别
部分和有界 比较审敛法
1
收敛
1
发散
利用基本性质和正项级数 审敛法就可以判定负项级 数的敛散哦！
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3. 任意项级数审敛法
［概念］
为收敛级数
若
收敛 , 称
sin
1
发散
.
n1 n
例8. 判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n2
1 n2
1
根据比较判别法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
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的敛散性 .
和
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都收敛, 证明级数
也收敛 .【另用比较法的极限形式处理也可以!】
［提示］ 因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,
存在
N
>
0,
当n >N 时
又因
2( un2 vn2 )
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
【练习】 设正项级数
和
都收敛, 证明级数
n1
unvn
,
n1
un n
也都收敛.
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lim
n
sn不存在
级数发散
综上
aqn
当q
1时,收敛于 a 1q
［要求熟记该结论］
n0
当q 1时,发散
例 3.判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
【解】
un
22n31n
3
4 3
n
,
已知级数为等比级数， 公比q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
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例4. 判别下列级数的敛散性:
【解】 (1)
2 sn ln 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ;
当x 1时,
【根值法也可以哦！】
【练习】 P264(同济p254;p268)
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例10. 设正项级数
在用定义判别级数的敛散性时，必须设法求出sn的具体
有限表达式，即须将sn中的省略号“…”消去，才能求
极限lim n
sn
，否则不能直接求出.
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例5. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
绝对收敛
若
发散 , 称
条件收敛
Leibnitz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且 s u1 ，余项
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级数审敛法表格一览
正项级数
交错级数
任意项级数
1. 若 sn s ,则 级 数 收 敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法p212 6.比值法p216 7.根值法p220
4.Leibnitz定理
p223同济262
4.绝对收敛p224 5.条件收敛
同济p263
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例1. p 级数
1 当p 1时,
np
n1
当p 1时,
收敛 发散 (常数p 0)
注：1.调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数。
［技巧］
利用 “拆项相消” 求 和
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(2)
sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n
1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
【小结】
［技巧］ 利用 “拆项相消” 求 和
例6.
设级数
n1
1 nn
,
（根值审敛法）
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
故级数收敛.
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例7.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
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sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较判别法的极限形式知
若存在N Z , 对一切 n N ,
注：2.几何级数（p205同济p250）也是常用的比较级数。
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例 2.讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)的收敛性.
n0
【解】 如果| q | 1时
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
【基本问题】 判别敛散； 求和函数(收敛域)； 级数展开.
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一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别数项级数的敛散性.
以及收敛级数的5条基本性质（p205同济p256）
2. 正项级数的比较审敛法
设 un和 vn均为正项级数，且 un vn
(n 1,2,)
则n1
n1
(1)若 收vn敛，必有 收敛u.n
n1
n1
【注意其极限形式
(2)若 发un散，必有
n1
发散vn.
n1
哦！P215同济p258】
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一、数项级数的审敛法
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3. 正项级数审敛法
必要条件
sn a aq 当q 1时,
aq2 aqn1 lim qn 0
n
a(1 qn )
1
lim
n
sn
q
1
a
q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
当q 1时, sn na
级数发散
当q 1时, 级数变为 a a a a
发散
s2n 0 0 s2n1 a a