高中数学开放题及其教学管见

例谈数学开放题及其教学

一、数学开放题的含义和分类

（一）开放题的含义

数学开放题的含义是指它所反映的数学问题所共有的本质属性。弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。数学开放题是相对传统的封闭题而言的。先请看下面两个简单数学问题：

问题１：数列２，４，８……成等比数列，求公比。

问题２：试写出公比为２的一个等比数列。

明显可以发现问题１的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题２的答案不唯一，我们称它为开放题。一个数学问题，如果它的答案不唯一，或者有多种解法，我们就称这个问题为数学开放题。

由以上含义可知，能“一题多解”的题也称为开放题。且开放题和封闭题具有相对性。并且一个题目是否开放，不但与题目本身的结构有关，而且与解题者自身所具备的知识和能力也有直接的关系。

二、开放题的分类：

为了深入研究开放题，有必要对它进行分类。可以选择不同的标准，进行不同的分类。本文从思维形式的角度把数学开放题分为以下四类：

1.条件性开放题

如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。这类开放题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。如

问题3：在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件

时，有A1C⊥B1D1，（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。（1998年全国高考题）

这是一道数学完形填空题，也是数学高考中首次出现的探索条件型答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多，此题主要考查四棱柱的性质，三垂线性定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。

2.策略性开放题

如果一个数学开放题，其未知的要素是推理，则称为策略性开放题。这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。如：

问题4：已知函数

该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

（2000年高考第17题）

该题解答变换顺序有24种之多，由每一种不同的策略都能使该题完成。

3.结论性开放题：

如果一个数学开放题，其未知的要素是判断，则称为结论开放题。结论性开放题就是给出一定的条件，满足条件的结论不止一个。如：

问题5：若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（只需写出一个可能的值）（99全国上海试卷第12题）

这类题目，我们常以答案个数的多少去衡量题目开放度的大小，如问题5，此题的实质是构造满足条件的四面体，它们的体积分别是，则所求结论为三个答案中任一个。

4.综合性开放题

如果一个开放题只给出一定的情况，其条件、解题策略和结论都要求解题者自己去设定和寻找，这类问题称为综合性开放题。

问题6：α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n ②α⊥β③n⊥β④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题

（99全国高考第18题）

该题是条件开放结论也开放。四个论断任三个论断都可作为条件，剩余一个则是结论，条件和结论都不是固定的，是可变的，解答该题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性。

把高中数学开放题分为以上四类，应该说并非严格意义上的逻辑分类。并且对同一个开放题，可能它不仅仅是一个结论性开放题，而且又有多种解题策略。研究开放题的分类是为了“称呼”的方便，以便更好地研究它的教育价值。

二、数学开放题的教育价值

研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育，充分发挥开放题的教育价值。笔者认为开放题具有以下教育价值：

1、开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围

教学过程是教师与学生，学生与学生多边活动的过程。教学活动能否顺利进行的前提条件是教师与学生，学生与学生之间是否相互沟通。如果离开学生的主动参与，整个教学过程难以畅通。由于开放题答案的不唯一性和解题策略的多样性，就为教师与学生、学生与学生之间实现交流，为学生表达自己的观点和解题策略提供了很多的“参与时机”。又由于开放题的层次性，为全体学生，特别是中、下学生提供了很大的“参与空间”。又由于开放题的探索性，为学生提供了较好的“参与深度”。使得每个学生都认为自己解决了这个问题，找到了答案。正因为如此，学生不再是一个依赖教师的模仿者，这种新颖的师生关系给学生提供了一个民主平等的教学氛围，这种氛围有利于充分调动和发挥学生的非智力因素，激活学生学习的内驱力，并且促进了教师与学生，学生与学生之间相互理解，学会换位思考，使教和学相得益彰。

2、开放题的教学有利于学生体验成功，树立信心

心理学告诉我们：在人的心灵深处都有一个根深蒂固的需要，这就是自己是一个发现者、探索者、创造者和成功者。由于开放题起点低，层次多，答案不唯一，策略多样化，就使得学生很容易“下手”。中、下学生也常常能找到几个答案。学生只要找得一个答案或一种解答策略，这个学生就体验到一次成功。只要学生不断去追求成功，感受成功，他们就会逐步树立解决问题的自信，对数学的学习产生兴趣，就能为数学教学质量的提高带来不可估量的效果。

3、开放题的教学有利于培养学生的思维能力

培养学生的思维能力是高中数学教育极其重要的目标，开放题在许多方面能够弥补封闭题的局限，在培养学生的思维能力方面有其自身的特点，具体表现在以下几个方面：

⑴开放题为学生的积极思维创设了丰富的问题情境。

由于开放题的多样性、层次性和探索性，它提供给学生的问题情境比封闭题所能提供的问题情境更加丰富、更加复杂，很多实际生活题中的问题情境对学生富有很大的挑战性。因此，更能激发学生的积极思考和大胆的想象。解决数学开放题常常需要学生变换思维的方式和角度，这将有利于培养学生思想的广阔性、灵活性和深刻性，无论是学生的形象思维、还是逻辑思维能力都能得到了培养和发展。

⑵开放题的教学为学生提供了数学学习的交流机会，促进了学生的思维活动。

由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性，不同的学生常常有不同的解题策略和得到不同的结果，这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间。