高中数学开放题及其教学管见

例谈数学开放题及其教学
一、数学开放题的含义和分类
（一）开放题的含义
数学开放题的含义是指它所反映的数学问题所共有的本质属性。

弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。

数学开放题是相对传统的封闭题而言的。

先请看下面两个简单数学问题：
问题１：数列２，４，８……成等比数列，求公比。

问题２：试写出公比为２的一个等比数列。

明显可以发现问题１的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题２的答案不唯一，我们称它为开放题。

一个数学问题，如果它的答案不唯一，或者有多种解法，我们就称这个问题为数学开放题。

由以上含义可知，能“一题多解”的题也称为开放题。

且开放题和封闭题具有相对性。

并且一个题目是否开放，不但与题目本身的结构有关，而且与解题者自身所具备的知识和能力也有直接的关系。

二、开放题的分类：
为了深入研究开放题，有必要对它进行分类。

可以选择不同的标准，进行不同的分类。

本文从思维形式的角度把数学开放题分为以下四类：
1.条件性开放题
如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。

这类开放题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。

如
问题3：在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件
时，有A1C⊥B1D1，（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。

（1998年全国高考题）
这是一道数学完形填空题，也是数学高考中首次出现的探索条件型答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多，此题主要考查四棱柱的性质，三垂线性定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。

2.策略性开放题
如果一个数学开放题，其未知的要素是推理，则称为策略性开放题。

这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。

如：
问题4：已知函数
该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（2000年高考第17题）
该题解答变换顺序有24种之多，由每一种不同的策略都能使该题完成。

3.结论性开放题：
如果一个数学开放题，其未知的要素是判断，则称为结论开放题。

结论性开放题就是给出一定的条件，满足条件的结论不止一个。

如：
问题5：若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（只需写出一个可能的值）（99全国上海试卷第12题）
这类题目，我们常以答案个数的多少去衡量题目开放度的大小，如问题5，此题的实质是构造满足条件的四面体，它们的体积分别是，则所求结论为三个答案中任一个。

4.综合性开放题
如果一个开放题只给出一定的情况，其条件、解题策略和结论都要求解题者自己去设定和寻找，这类问题称为综合性开放题。

问题6：α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n ②α⊥β③n⊥β④m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题
（99全国高考第18题）
该题是条件开放结论也开放。

四个论断任三个论断都可作为条件，剩余一个则是结论，条件和结论都不是固定的，是可变的，解答该题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性。

把高中数学开放题分为以上四类，应该说并非严格意义上的逻辑分类。

并且对同一个开放题，可能它不仅仅是一个结论性开放题，而且又有多种解题策略。

研究开放题的分类是为了“称呼”的方便，以便更好地研究它的教育价值。

二、数学开放题的教育价值
研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育，充分发挥开放题的教育价值。

笔者认为开放题具有以下教育价值：
1、开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围
教学过程是教师与学生，学生与学生多边活动的过程。

教学活动能否顺利进行的前提条件是教师与学生，学生与学生之间是否相互沟通。

如果离开学生的主动参与，整个教学过程难以畅通。

由于开放题答案的不唯一性和解题策略的多样性，就为教师与学生、学生与学生之间实现交流，为学生表达自己的观点和解题策略提供了很多的“参与时机”。

又由于开放题的层次性，为全体学生，特别是中、下学生提供了很大的“参与空间”。

又由于开放题的探索性，为学生提供了较好的“参与深度”。

使得每个学生都认为自己解决了这个问题，找到了答案。

正因为如此，学生不再是一个依赖教师的模仿者，这种新颖的师生关系给学生提供了一个民主平等的教学氛围，这种氛围有利于充分调动和发挥学生的非智力因素，激活学生学习的内驱力，并且促进了教师与学生，学生与学生之间相互理解，学会换位思考，使教和学相得益彰。

2、开放题的教学有利于学生体验成功，树立信心
心理学告诉我们：在人的心灵深处都有一个根深蒂固的需要，这就是自己是一个发现者、探索者、创造者和成功者。

由于开放题起点低，层次多，答案不唯一，策略多样化，就使得学生很容易“下手”。

中、下学生也常常能找到几个答案。

学生只要找得一个答案或一种解答策略，这个学生就体验到一次成功。

只要学生不断去追求成功，感受成功，他们就会逐步树立解决问题的自信，对数学的学习产生兴趣，就能为数学教学质量的提高带来不可估量的效果。

3、开放题的教学有利于培养学生的思维能力
培养学生的思维能力是高中数学教育极其重要的目标，开放题在许多方面能够弥补封闭题的局限，在培养学生的思维能力方面有其自身的特点，具体表现在以下几个方面：
⑴开放题为学生的积极思维创设了丰富的问题情境。

由于开放题的多样性、层次性和探索性，它提供给学生的问题情境比封闭题所能提供的问题情境更加丰富、更加复杂，很多实际生活题中的问题情境对学生富有很大的挑战性。

因此，更能激发学生的积极思考和大胆的想象。

解决数学开放题常常需要学生变换思维的方式和角度，这将有利于培养学生思想的广阔性、灵活性和深刻性，无论是学生的形象思维、还是逻辑思维能力都能得到了培养和发展。

⑵开放题的教学为学生提供了数学学习的交流机会，促进了学生的思维活动。

由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性，不同的学生常常有不同的解题策略和得到不同的结果，这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间。

学生之间通过开放性问题的讨论，能体会到同一个数学问题可以从不同的角度去观察，可以有不同的解决方式，相互之间受到有益的启发。

同时，学生之间的讨论过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。

学生在数学学习的交流中不断地进行讨论、表达，促进了学生的思维活动，有利于培养学生思维的逻辑性、批判性和深刻性，从而使学生的思维品质得到培养，思维能力得到提高。

⑶开放题的教学为学生提供了创新的机会，有利于培养学生创新思维能力。

解决高中数学开放题容易激起创造欲望。

在学生解决开放题的过程中，通过分析后独立提出了一种新的解题方法或独立构造出一种新的方案，这本身就是一种创造。

在高中数学开放题的教学中，教师往往引导学生根据所给的已知条件以及经验和方法，对问题广泛联想，积极探索、猜想，以便寻找规律，使问题得到合理解决。

数学开放题由于具有探索性和多样性，不同的问题应有不同的解题策略，需要不断研究和推敲，常常要不循常规，勇于创新，考虑的问题存在着多种可能性。

这样有利于培养思维的独创性、多向性和灵活性，从而提高了学生的创新思想能力。

三、数学开放题的教学设计
（一）开放题的教学过程。

让开放题进入高中数学教学课堂，让学生去解决开放题，是实现开放题教育价值的重要途径，一般来说，高中数学开放题的教学，有以下几个环节：
1、呈现问题
无论是条件性、策略性开放题，还是结论性、综合性开放题，教师可以根据教学的需要，把握好时机，合理、适时的呈现各类开放题。

如：在“线面垂直和面面垂直的判定和性质”复习课中，教师可出示前面的“问题6”。

这个问题的开放度比较大，又具有一定的层次性，尽管这时学生之间的能力有差异，但每个学生都能“做得出”，满足了各种层次水平的学生的要求，再通过寻找规律，能使学生更进一步理解“垂直关系”的含义和有关解题方法，有利于达到复习目标。

2、研究问题
一般地，研究解决开放题的方法大致有：学生个别学习、小组讨论学习，班内组际交流学习和教师讲解等几种形式。

例如，在研究“问题4”时，教师可以首先要求每个学生根据自己的能力积极参与，独立完成这个题目，并鼓励学生充分利用开放题的多样性，找出多种答案。

由于该开放题的开放度比较大，所以每个学生都或多或少能获得的几个答案，这大大激发了学生的学习热情，每个学生在学习中都有一定的成就感，增强了学习数学的自信心。

接着进行小组交流，通过组内讨论，不同层次的学生间集思广益，互相启迪，缩小了差异。

这样，借助于这个开放题的教学过程，既为学生提供了充分发展个性的机会，又充分畅通了学生间交流信息的渠道，有利于促进学生的思维活动。

3、小结问题
对开放题进行小结，可以采用学生代表发言小结，也可以教师进行总结性发言。

小结是诱发学生产生顿悟，使认知结构产生质的飞跃的重要步骤。

同时可以帮助学生去伪存真，纠正学生思维的偏差。

小结除了罗列一些可能的答案外，更重要地是要归纳规律和提出有关问题之间的联系。

如能再适当提问，一可以增加问题的开放度，二可以促使学生进一步思考、探索，把问题向课外延伸，使理论与实际紧密结合，做到“言尽意不尽”，真正达到教育的目的。

（二）开放题教学中的注意点
1、开放题与封闭题在教学中应该并存，而不是相互排斥。

开放题和封闭题各有自己的教育价值。

2、作为教师应学会编制和选择合适的开放题进行教学设计。

学会把握开放题教学的时间和空间。

3、教师是开放题教学的鼓励者。

要时刻当好学生的参谋，不断启发，鼓励学生大胆地探索，要了解学生的心理，掌握学生的认知结构，充分调动学生的主动性和积极性。

让学生能品尝“胜利的果实”。

4、在开放题的教学中，教师要善于对学生开放题的解答进行评价。

要学会观察、分析、
归纳各种结论的正确性，并善于用简炼的语言抓住重点，总结规律，并能对具体问题有独到的见解。

5、在开放题的教学中，获得多种答案或多种解题策略固然重要，但更重要的是获得解答的过程。

教师要转变教学观念，由强调“结果”转变为强调“过程”，通过“过程”教学生做人。