随机现象的特征值

• （3）一次测验中，如果已知大一年级各班级 的中位数和众数，也知道各班级的人数，能算 出整个年级的平均分吗？
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• 分析：（1）一般都会想象是几个高中学生在 游玩。但是如果是一个60岁的大爷带着三个4 岁的孩子在游玩，也有可能吧！或者是一对年 轻夫妇带着他们的两个孩子也有可能。所以， 这是一个不适合用平均数而适合用中位数或者 众数来代表数据的例子。
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• 下面是一个小故事：
一个人到某公司求职，经过调查，得出 关于该公司工资的一些数据，如果是你， 应该如何选择？
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挠头的数值
公司员工的月薪如下：
员工
月薪 （元）
经理 6000
副经 理
4000
职员 A
1700
职员 B
1300
职员 C
1200
职员 D
名。
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例：等候时间
分组
0－10 10－20 20－30 30－40 40－50 50－60
频数
fi
6 7 9 8 5 1
组中值 （xi)
5 15 25 35 45 55
• 组中值 x1=(0+10)/2=5 x2=(10+20)/2 =15 k
fi xi
x
i 1 k
中位数。 ③在单元格B9中输入公式“=MODE（B2：B6））”计算众
数。 计算结果如图所示：
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计算结果表明，抗拉强度的均值是30，中位数也 是30，由于数据中的数值所出现的次数都为1， 所以没有众数骗人的“平均数”
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三 集中趋势特征值的特点
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③选定单元格B7，单击“插入”菜单，选择“函数”选 项，
Excel会弹出“粘贴函数”对话框窗口。
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• ④在“函数分类”列表中选择“统计”，在 “函数名” 列表中选均值函数“AVERAGE”。单击 “确定”， 则弹出“AVERAGE”函数对话窗口。
• 平均数考虑了所有数值，其大小容易受总 体中极端数值的影响。
• 众数是总体中出现次数最多的数值，它只 考虑总体中各数值出现频数的多少，不受 极端数值的影响，但当总体中出现多个众
数时，众数便没有意义。
• 中位数只是考虑各单位数值在总体中的顺 序变化，它受极端数值的影响不大。
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频数
fi
f1 f2 f3 . . .. . fk
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组中值（xi)
x1 x2 x3 . . . . xk
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式中：x i —第i组的组中值；
f i —第i组的次数；
k —分组数
第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在 资料中所占比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权”，加权法也由此而得
865 36
24.02778
fi
i 1
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2 中位数
把总体单位某一数量标志的各 个数值按大小顺序排列，位于正 中处的变量值，即为中位数，用 Md表示。
适合条件：各类分布的资料，特别是偏态分布资料
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计算方法：
n为奇数时， Md= x(n+1)/2
• （2）买礼物当然要看大部分人喜欢什么来荐 定，也就是众数来荐定。该例子中平均数和中 位数都没有什么意义。
• （3）显然是求不出来的。但如果已知的各个 班级的平均数，则可以求出整个年级的平均数。
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三者之间的数量关系
– A.在对称的正态分布条件下：算术平均数等 于众数等于中位数：
偏态 峰度
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本章主要内容：
• 3.1 集中趋势的测定与分析 • 3.2 离中趋势的测定与分析 • 3.3 分布形态的测定与分析 • 3.4 描述统计分析工具的使用
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3.1 集中趋势的测定与分析
• 一 集中趋势的特征值 • 二 集中趋势特征值的Excel计算 • 三 集中趋势特征值的特点 • 四 案例应用
• 众数反映了出现次数最多的那个值，因此它用来 表示数据的“多数水平”。
• 在使用这三者时，关键在于根据不同情景，使用 各自适合的指标
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• 例：（1）草地上有四个人在游玩，他们的平 均年龄为18岁，请想象一下是怎样年龄的四个 人在游玩？
• （2）为了给毕业班的同学选毕业礼物，老师 对全班同学做了民意调查。那么最终决定买什 么礼物，该由调查数据的平均数、中位数还是 众数决定呢？
批产品的抗拉强度的平均水平，以决定
产品质量是否合格。由此需要计算抗拉 强度的均值、中位数与众数 。
操作步骤如下：
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• ①打开“第3章 数据描述分析.xls”工作簿，选择 “抗拉强 度”工作表。如图所示：
• ②在单元格A7中输入“均值”，在A8中输入“中位 数”， 在A9中输入“众数”。
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（2）中位数函数（MEDIAN）
其语法结构： MEDIAN(number1,number2, ...)。
其中：number1, number2,... 是需要找出 中位数的 1 ~ 30 个数字参数。
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(3)众数函数（MODE）
n是偶数时，
Md
xn/2
x(n/21) 2
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例如：某商场在过去15天的彩电销售资料如下：9、3、7、 13、14、7、4、1、9、7、3、3、5、7、2，则：中位数？ 7 排序：1、 2、3、 3、 3、 4、 5、 7、 7、 7、 7、 9、 9、13、 14
中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同
一般当所获得的数据资料呈偏态分布时（或存在极 端值），中位数的代表性优于算术平均数。
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3.众数
• 众数是在一组资料中，出现次数(或 频数)呈现出“峰”值的那些变量值，用
Mo表示。
• 众数只与次数有关
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语法结构： MODE(number1,number2, ...)。 其中：number1, number2, ...是用于众数 计算的 1 ~ 30 个参数，也可以使用单 一数组（即对数组区域的引用）来代替 由逗号分隔的参数。
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(4)切尾均值函数（TRIMMEAN）
n
n
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例如：某商场在过去15天的彩电销售资料 如下（台）：9、3、7、13、14、7、4、1、 9、7、3、3、5、7、2，则15天平均销售多 多少？：
• 算术平均数：
n
xx1x2
xn
xi i1
946.3
n
n 15
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（2）加权平均数（分组数据，利用频数表）：
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均数、中位数、和众数两注意
Hale Waihona Puke Baidu• 1. 三种统计量的计算方法不同，三者之 间可以相等也可以不等，无固定的大小 关系
• 2. 三者反映数据的特征不同，适用范围 不同
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• 平均数反映了一组数据的平均大小，因此用来表 示数据的“一般水平”；
• 中位数需要将数据排序后才能得出，它就象一条 分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此 用来表示数据的“中等水平”；
• 既可手工创建公式计算各种平均数， 也可利用Excel中的统计函数。
• 用于集中趋势测定的常用函数有三 种：均值、中位数、众数及切尾均 值函数。
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(1)均值函数（AVERAGE）
其语法结构： AVERAGE(number1,number2, ...)。 其中：number1, number2, ...为要 计算平均数的 1～30 个参数。
返回数据分布中心部分的算术平均值。 其语法结构：TRIMMEAN(array,percent) 。
其中：Array为需要进行筛选并求平 均值的数组或数据区域。Percent为计算 时所要除去的数据点的比例。
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例：
例1 某企业的生产部门使用抽样方法检测一 批新产品的质量，该批产品的抗拉强度 见“原始数据”。管理人员希望知道这
第三章：随机现象的特征值分析
引言：
对经济活动的描述，除了上述的 频数分布、图表及图描述以外，还有 一些基本的描述统计量方法，如绝对 指标、相对指标、平均指标和标志变 动度等方法.
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数据分布性质
集中趋势
算术平均数 中位数 众数
离中趋势
分布形态
全距 四分位距 方差 标准差
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一、集中趋势特征值
• 统计分析首先要解决的问题，就是寻求 一个简单数值以代表搜集所得资料共同 趋势。
• 集中趋势反映数据集资料中，各数据所 具有的共同趋势，即资料中各数据聚集 的位置。
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统计上常使用平均数（average )这一 指标体系描述各数据所具有的共同趋势
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• 假设某商家得知宁波理工学院男生较喜 欢A品牌运动鞋，于是决定在周日来理工 进行推销。推销前商家需要了解一些信 息，试问就鞋号而言，商家最想知道的 信息是鞋号的平均数？中位数？众数？
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二、 集中趋势特征值的Excel计算
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如：某商场在过去15天的彩电销售资料如下： 9、3、7、13、14、7、7、4、1、9、7、3、 5、7、2，则：众数 7
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案例分析
• 例如：甲乙两学生射击的环数如下：甲： 10环、10环、9环、3环。
• 乙：9环、5环、3环、2环。请你试一试 如何评价他们的射击成绩。
平均指标把总体各单位之间的差异加以 抽象概括，其中个别标志值的偶然性被 相互抵消，从而反映出总体分布的集中 趋势。
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• 上图的分布中，各个变量值与中间位置的距离越近，所出
现的次越多，与中间位置的距离越远，所出现的次数越 少， 从而形成了以中间值为中心的集中趋势。
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– B.在非对称正态分布的情况下，众数、中位 数和平均数三者的差别取决于偏斜的程度， 偏斜的程度越大，它们之间的差别越大。
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• 当次数分配呈右偏(正偏)时：算术平均数 受极大值的影响
• 当次数分配呈左偏(负偏)时，算术平均数 受极小值的影响
• 中位数则总是介于众数和平均数之间。
1100
职员 E
1100
职员 F
1100
职员 G
500
我们有三种方法选择集中趋势： （1）根据频数：哪个变量值出现次数越
多，就选择哪个变量值，比如民主决策的表决 机制。
（2）根据居中：比如一个城镇居民的生活 水平，居中的是小康家庭，那么就用小康家庭 来代表该城镇的生活水平。
（3）根据平均：用算数平均数来代表变量 的平均水平。
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⑤在“Number1”区域中输入数据B2：B6后，对话窗口底 部便显示出计算结果30。如果对话窗口中没有计算结 果，便说明计算有错误，需要再检查一下。
⑥单击“确定”按钮，计算完成。
或在单元格直接输入公式。具体操作 ①也可以直接在单元格B7中输入均值函数公式
“=AVERAGE(B2:B6)”，然后敲回车键，得到同样结果。 ② 在单元格B8中输入公式“=MEDIAN（B2：B6）”计算
xMe Mo
Mo Me x
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当样本含量 n≥30 以上且已分组的数据，可
在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数， 也即加权平均值。
公式为：
k
x f1x1 f2x2 f1 f2
fkxk fk
i1 k
fi xi fi
i1
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频数分布表
分组
1 2 3 . . . . K
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集中趋势测量的指标
平均数
主 要 指 标
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中位数 众数
几何平均数和调和平均数
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• 计算方法：
• （1）直接计算：算术平均值（不分组数据）
• 设某一资料包含n个观测值： x1、 x2、… xn，公式为：
n
x x1 x2 xn i1 xi