高三数学二轮专题复习教案――三角函数

2009届高三数学二轮专题复习教案――三角函数

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600

+α的形式，

特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800

，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α

=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900

，k ∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；

⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π

=

弧度，1弧度 )180

(

π

='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角

函数的关系式、诱导公式：

（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

,cos ,sin r x r y ==

ααx

y =αtan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；

（3）特殊角的三角函数值 α

6

π 4

π 3

π 2

π π

2

3π 2π

sin α 0 21 22 2

3 1

-1

cos α 1

2

3 2

2 2

1 0 -1 0 1

（3）同角三角函数的基本关系：x x

x x tan cos ;1cos sin 22==+ （4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．

）: sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan α

sin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan α

sin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈ sin(2

π

α-)＝cos α,cos(2

π

α-)＝sin α sin(

2

π

α+)＝cos α,cos(

2

π

α+)＝-sin α

3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式

①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±

（2）二倍角公式

二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α

α

α2tan 1tan 22tan -=

（3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式：2

1cos 2sin

2αα-=

、2

1cos 2cos 2αα+=、1sin cos sin 22

ααα=；

②辅助角公式：sin cos )a b αααϕ++（ϕ由,a b 具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅.

4、三角函数的图象与性质

（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．

； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

sin y x =的对称轴是2

x k π

π=+

()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；

cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2

k π

π+()k Z ∈

tan y x =的对称中心是(

,0)()2

k k Z π

∈ 注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.

（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．

⑴“五点法”作图的列表方式；

⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω

=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 5、解三角形

Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB

C ∆外接圆直径）

注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③

C

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=

==。