第十章 曲线曲面积分(习题及解答)

第十章 曲线曲面积分
§10．1对弧长的曲线积分
一、选择题
1. 设曲线弧段 AB 为，则曲线积分有关系( ).
(A )
(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =-⎰⎰； (B ) (,)d (,)d A B B A
f x y s
f x y s =⎰⎰
；
(C ) (,)d (,)d 0A B B A
f x y s f x y s +
=⎰⎰；
(D)
(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =
--⎰
⎰
． 答(B).
2. 设有物质曲线2
3
:,,(01),2
3
t
t
C x t y z t ===
≤≤其线密度为ρ=,它
的质量M =( ).
(A )10t ⎰; (B )1
t
t ⎰;
(C)
t ⎰
; (D)
t ⎰
. 答(A ).
3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分O M
I s
=⎰
不相等的积分是( ).
(A )10
x ⎰
; (B )1
0y ⎰;
(C)
d r
r ⎰
; (D )1
e
r ⎰ 答(D).
4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d L
x y s -=⎰( ).
(A )4
3d 4x x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
⎰; (B)3
3d 4y y y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
⎰;
(C)
3034y y y ⎛- ⎝⎰
; (D)4
034x x x ⎛
- ⎝
⎰
. 答(D). 5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分
s =⎰
( ).
(A )x ⎰; (B)y ⎰
;
(C)
10
x ⎰
; (D)
y ⎰
. 答(C).
6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d L
x y s +=⎰( ).
(A )
; (B)2; (C) (D) 答(D).
二、填空题
1. 设L 是圆周221x y +=,则3
1d L
I x s =
⎰
与5
2d L
I x s =
⎰
的大小关系是
.
答:12.I I =
2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d L
x y s +=
⎰.
.
3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n
L
x y s +=
⎰
.
答：212a a π+.
4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22
()d L
x y s -=
⎰
.
答：0.
5. 设L 是圆周221x y +=,则2
d L
I x s =
=
⎰
.
答：π.
6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线
积分22
()d L
x y s -=
⎰.
答:
2
)2
e --.
7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,
则L
s =
⎰.
答：3. 三、解答题
1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)
d L
x s ⎰
其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.
答： 11)12
.
(2)
L
s ⎰
其中L 为圆周222
x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内
所围成的扇形的整个边界.
答： 2 2.4
a a e π⎛
⎫
+
- ⎪⎝⎭
(3)
2
d x yz s Γ
⎰
，其中Γ为折线ABC D ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).
答：9. (4)
2
d L
y s ⎰
其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.
答： 34232.53
a ⋅
⋅ (5)
22
()d L
x y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )
x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤.
答： 2322(12).a ππ+
§10．2对坐标的曲线积分
一、选择题
1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d AB
y x x y +=⎰( ).
(A )2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C).
2. 设C 表示椭圆
222
2
1x y a
b
+
=,其方向为逆时针,则2
()d C
x y x +=⎰ ( ).
(A )ab π; (B)0; (C)2
a b +; (D)1. 答(B).
3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则
(3)d (2)d C
x y x y x y +++=⎰
( ).
(A)21
[(2)(23)]d x x x x x +++⎰
； (B)
21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰
(C)
2
1
[(73)2(51)]d x x x -+-⎰
; (D)
21
[(73)(51)]d x x x -+-⎰
. 答(C).
4. 设曲线C 的方程为x y =
=
(0)2
t π
≤≤
,
则22
d d C
x y y y x x -=⎰( )
(A)
20
[cos sin t π⎰
； (B)
22
20
(cos sin )d t t t π
-⎰
(C)
220
cos sin π
π
-
⎰
⎰
(D)
20
1
d 2
t π
⎰.答(D).
5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).
(A)
22
()(d d )0L
f x y x x y y ++=⎰
；(B)
22
()(d d )0L
f x y x y y x ++=⎰
(C)
22
()(d d )0L
f x y x y y ++=⎰
; (D)
22
()(d d )0L
f x y x x y ++=⎰
.答(A).
6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则
d d C
x y y x -=⎰
( )
(A )0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C). 二、填空题
1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d L
P x y x =
⎰.
答：0.
2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22
()d L
x y x -=
⎰.
答：5615
-
.
3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22
()d L
x y y -=
⎰.
答：403
-
.
4．L 为圆弧y =(2,2)A 的一段弧,则d L
xy y =⎰
.
答：
43
.
5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d L
xy y =⎰
.
答：3
2
a
π-
.
6．设(2)d (23)d 9L
x y x x y y -++=-⎰ ,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于
.
答：
32
.
三、解答题
1．计算()d ()d L
x y x y x y ++-⎰,其中L 为:
(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧;
(2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;
(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1)
;
(2)11;
(3)14;
(4)
.33
2．计算d d L
y x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到
2
π
的
一段弧.
答：0.
3．计算22
()d ()d L
x y x x y y
x y
+--+⎰
,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针).
答：2π-.
4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ
+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直
线段.
答：13.
5. 计算22
(2)d (2)d L
x xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点
(1,1)的一段弧.
答：1415
-
.
§10．3 格林公式
一、选择题
1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d C
x y x xy y -+⎰
用格林公式计算可化为( ).
(A)23
d d R r r πθ⎰
⎰
； (B)
22
00
d d R
r r πθ⎰⎰;
(C)
23
d 4sin cos d R
r r πθθθ-⎰
⎰
; (D)
22
d d R R r r πθ⎰
⎰
. 答(A).
2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向,
则3223
()d ()d L
x x y x xy y y -+-⎰ = ( ).
(A )
323
a π; (B)4
a π-; (C); (D)4
2
a π
-
. 答(D).
3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则
d d C
x y y x -=⎰
( )
(A )8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).
4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则
d d L
P x Q y +⎰
在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).
(A )0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q P x y ∂∂-
=∂∂; (C)
0P Q x
y
∂∂-
=∂∂; (D)
0P Q
x
y
∂∂+
=∂∂. 答(B).
5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则2
2
d d 4L
x y y x x y
-=+⎰
( ).
(A )4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).
6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则2
2
d d 4L
x y y x I x y
-=
=+⎰
( ).
(A )因为
Q P x
y
∂∂=
∂∂,所以0I =; (B)因为
,
Q P
x y
∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q P x
y
∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C).
7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).
(A )P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x
∂∂=
∂∂;
(C)
P Q
x
y
∂∂=-
∂∂; (D)
P Q y
x
∂∂=-
∂∂. 答(D).
8. 已知
2
()d d ()
x ay x y y
x y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).
(A )0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B).
9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段, 则(3)d (3)d L
x y x y x y +++=⎰( ).
(A )231
1
(3)d (6)d x x y y ++
+⎰
⎰
; (B)
21
[(6)(23)]d x x x x x +++⎰
;
(C)
23
1
1
1(31)d (3)d 2
y x x y y +++
+⋅
⎰
⎰
; (D)
2
1
[(31)(51)]d x x x -++⎰
.
答(A ).
10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分
(
,)43
(0,0)
()tan d ()d I yf x x x f x y ππ
=
-⎰
与路径无关,则()f x =( ).
(A )1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).
二、填空题
1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d L
x y y x -=
⎰ .
答: 2σ.
2. 设(,)f x y 在2
2
:
14
x
D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,
则(,)d [3(,)]d y x L
f x y y y f x y x -+=
⎰ .
答: 6π.
3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针,
则2(2)d (4)d L
xy y x x x y -+-=
⎰ .
答: 27π-.
4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d L
ax y by x x y
-+⎰
=.
答: 4()a b +.
5. 设ABC D A 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d L
x y x y
++⎰
=.
答: 0.
6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则
2
d y
L
e y =
⎰
.
答: 0. 7.
(2,2)2
(0,0)
2d (3)d xy x x y +-=
⎰
.
答: 2.
8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则2
2
d 2d y y L
e x xye y +=
⎰.
答: 42e .
9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d L
P x y x Q x y y +⎰化为对弧长
的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.
答:
2
2d 14L
P xQ
s x
++⎰
.
10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分
[()]sin d ()cos d x
L
f x e y x f x y y --⎰
与路径无关,则()f x =
.
答:
2
x x
e e
--.
三、解答题
1. 计算2
2
d d 2()
L
y x x y x y -+⎰ ，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向.
答:π-.
2. 计算(24)d (536)d
L
x y x y x y -+++-⎰ ，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.
答:12. 3. 计算
32
2
2
(2c o s )d (12s i n 3)d L
x y y x x y x x y
y -+
-+
⎰
,其中L 为抛物线
2
2x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的一段弧.
答:
2
4
π
.
4. 计算
22
()d (sin )d L
x y x x y y --+⎰
，其中L 是圆周y =
上由
(0,0)到(1,1)的一段弧.
答:7sin 26
4
-
+
.
5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)
()d ()d x y x x y y ++-⎰
.
答:52
.
(2)
(2,1)423
(1,0)
(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰
.
答: 5.
6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .
(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.
(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-. 答: (1)
2
2
22
2
x
y
xy ++
; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +.
7. 用格林公式计算223
()d (2)d L
x x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周
y =
(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.
答:3
24
π-.
8. 用格林公式计算423
(23)d (4)d L
xy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周
y =
(1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.
答:62
π
-.
§10．4 对面积的曲面积分
一、选择题
1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰与
二重积分(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).
(A)(,,0)d f x y S ∑
⎰⎰
=
(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰
;(B)
(,,0)d f x y S ∑⎰⎰
=(,)d d xy
D f x y x y -⎰⎰;
(C)
(,,0)d f x y S ∑
<
⎰⎰
(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰
;(D)
(,,0)d f x y S ∑
>
⎰⎰
(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰
.
答(A).
2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).
(A)
(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰
=
2
2
22
4
(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
;
(B)
(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰
=
2
2
224
(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
;
(C)
(,,)d f x y z S ∑
=
⎰⎰
2
2
224
(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
;
(D)
(,,)d f x y z S ∑
=
⎰⎰
2
2
224
(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
. 答(D).
3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).
(A)1
d 4d x S
x S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰; (B )1
d 4d y S x S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰;
(C)
1
d 4d z S
z S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰; (D )1
d 4d x y z S x y z S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰
. 答(C).
4. 设∑是锥面1)z z =
≤≤,则2
2
()d x y S ∑
+=⎰⎰( ).
(A)
22
()d x y S ∑
+=
⎰⎰21
2
d d r r r πθ⋅⎰
⎰;
(B)
2
2
()d x
y S ∑
+=
⎰⎰1
2
d d r r r πθ⋅⎰
⎰;
(C)
2
2
()d x
y S ∑+=
⎰⎰21
2
00
d d r r πθ⎰;
(D)2
2
()d x y S ∑
+=
⎰⎰21
2
d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D).
5. 设∑为平面
12
3
4
x y z +
+=在第一卦限内的部分,
则4
2d 3z x y S ∑
⎛⎫
++
= ⎪⎝
⎭
⎰⎰( ). (A)4d d xy
D x y ⎰⎰; (B
)4d d 3xy
D x y ⎰⎰;
(C)23
4d d 3
x y ⋅
⎰;
(D)32
4d d 3
x y ⎰;. 答(B).
6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑
=⎰⎰( ).
(A)2
222
d (2)d r r r r πθ--⋅⎰
⎰
;
(B)22
200
d (2d r r r πθ-⎰
⎰;
(C)
22
d )d r r r πθ-⋅⎰
⎰
;
(D)
220
d d r r r πθ-⎰⎰
. 答(D).
7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).
(A)2
2()d 0x y
z S ∑
+=⎰⎰ ; (B )22
()d 0y y z S ∑
+=⎰⎰ ;
(C)
2
2
()d 0z x y S ∑
+=⎰⎰
; (D)
2
()d 0x y z S ∑
+=⎰⎰
. 答(C).
二、填空题
1. 设2222:x y z a ∑++=,则222
()d x y z S ∑
++=
⎰⎰ .
答: 44a π.
2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则222d x y z S ∑
=
⎰⎰ .
答: 0.
3. 设∑
为上半球面z =,则d z S ∑
=
⎰⎰.
答: 3a π.
4. 设∑
为下半球面z =则d z S ∑
=
⎰⎰.
答: 3a π.
5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑
=
⎰⎰ .
答: 23a π.
6. 设∑
为上半球面z =,则d x S ∑
=
⎰⎰.
答: 0. 7. 设∑为平面
1232x y z
++
=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫
++=
⎪⎝
⎭⎰⎰.
答
: 8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑
=
⎰⎰.
答
:
6
.
9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑
---=
⎰⎰.
答: 272
-
.
三、解答题
1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面
上方部分,(,,)f x y z 分别如下:
(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1)
136
π; (2)
14930
π; (3)
11110
π.
2. 计算22
()d x y S ∑
+⎰⎰ ,其中∑
是锥面z =
1z =所围成的区
域的整个边界曲面.
答
:
2.
3. 计算22()d x y S ∑
+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截
得的部分.
答: 9π.
4. 计算4
2d 3z x y S ∑
⎛⎫
++
⎪⎝
⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分.
答
: .
5. 计算()d x y z S ∑
++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)
z h h a ≥<<的部分.
答: 22()a a h π-.
§10．5 对坐标的曲面积分
一、选择题
1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).
(A) 2
d d z x y ∑
=
⎰⎰
2
22
()d d xy
D a
x y x y --⎰⎰;
(B)2
d d z x y ∑=⎰⎰
2
2
2
2
()d d xy
D a x y x y --⎰⎰
;
(C)
2
d d z
x y ∑
=⎰⎰ 0; (D ) (A)(B)(C)都不对. 答(C).
2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则
d d d d d d z x y x y z y x z ∑
++
=⎰⎰( ).
(A) 3d d z x y ∑
⎰⎰; (B)3d d x y z ∑
⎰⎰;
(C)3d d y x z ∑
⎰⎰0; (D)
d d d d x y z y x z ∑
+
⎰⎰. 答(D).
3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一
卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑
++=⎰⎰( ).
(A) 30
3d y x ⎰⎰
; (B)30
02d z y ⎰⎰
;
(C)
30
d z x ⎰
⎰
; (D)
30
d z x ⎰
⎰
. 答(B).
4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=,∑取外侧, 1∑取上侧.下
列结论正确的是( ).
(A) 12
222
()d d d d x
y z x y a
x y ∑
∑++=⎰⎰⎰⎰ ;
(B)12
2
2
2
()d d 2d d x y z x y a x y ∑
∑++=⎰⎰
⎰⎰ ;
(C)
2
2
2
2
2
2
2
()d d 2d d x y a
x y z x y a
x y ∑
+≤++=⎰⎰
⎰⎰
; (D) 0. 答(D).
5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑
=⎰⎰( ).
(A) 110
0d (1)d x x x y y ----⎰⎰
; (B)
110
d (1)d x x x y y ---⎰
⎰
; (C)
110
d (1)d x
y x y x ---⎰
⎰
; (D) 1
10
d (1)d x y x y x ----⎰⎰
. 答(A).
6. 曲面积分2
d d z x y ∑
⎰⎰在数值上等于( ).
(A)向量2
z i
穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;
(C)向量2
z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).
二、填空题
1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,
则()d d x y z y z ∑
++=
⎰⎰.
答: 0.
2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩的上侧,
则()d d x y z x y ∑
++=
⎰⎰.
答: 1.
3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222
()d d x y z x y ∑
++=⎰⎰ .
.
答: 0.
4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑
=⎰⎰ .
.
答:
3
43
a π.
5. 设∑为球面2222
()()()x a y b z c R
-+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑
=⎰⎰ .
.
答:
3
43
R π.
6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222
()d d x y z x y ∑
++=
⎰⎰ .
答: 0. 三、解答题
1. 计算22
d d x y z x y ∑
⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.
答:
77
426422453753105
R R π
π⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑
++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及
3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.
答:
32
π.
3. 计算d d d d d d x z x y x y y z y z
z x ∑
++⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
答:
18
.
4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y
∑
++
⎰⎰
化成对面积的曲面积分,其中:
(1) ∑
是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.
答:
(1)
32d 555P Q S ∑⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰;
(2) S ∑
⎰⎰
.
§10．6 高斯公式
一、选择题
1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).
(A)
1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑
++⎰⎰
; (B )
1d d d d d d 3
x y z y z x
z x y
∑
+
+⎰⎰ ; (C)
1d d d d d d 3
z y z z z x y x y ∑
++⎰⎰
; (D)
1d d d d d d 3
x y z z z x y x y ∑
++
⎰⎰ .答(B).
2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外
侧,则222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=⎰⎰ ( ).
(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2
abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).
3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
(A)
d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫
∂∂∂++=
⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S α
βγ∑
++⎰⎰ ;
(B)
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++=
⎰⎰
d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫
∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰;
(C)
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++=
⎰⎰
d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫
∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰;
(D)
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++=⎰⎰ (cos cos cos )d P Q R S α
βγ∑
++⎰⎰ .答(C).
4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).
(A) 2
d d (2)d d x
y z z y x y ∑++=
⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω
+⎰⎰⎰;
(B)3
()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑
--+=
⎰⎰ 2
(321)d d d x
x x y z Ω
-+⎰⎰⎰;
(C) 2
d d (2)d d x y z z y z x ∑++=
⎰⎰
(21)d d d x x y z Ω
+⎰⎰⎰;
(D)
2
d d (2)d d x
x y z y y z ∑
++=
⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω
+⎰⎰⎰. 答(B).
二、填空题
1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑
=
⎰⎰ .
答:
3
43
a π.
2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=⎰⎰
.
答:
5
25
a π.
3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=
⎰⎰ .
答: 3abc .
4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的
外侧,则222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=
⎰⎰ .
答: ()a b c abc ++.
5. 向量A y z i z x j x y k =++
穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=
.
答: 0.
6.向量2
(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面 2
2
2
(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=
.
答: 108π.
三、解答题
1. 计算222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰ ,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及
x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.
答: 43a .
2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰ ,其中∑为球面2222x y z a ++=外侧.
答:
5
25
a π.
3. 计算2232
d d ()d d (2)d d x z y z x y z z x x y y z x y ∑
+-++⎰⎰ ,其中∑为上半球体
222
x y a +≤,0z ≤≤
.
答:
5
25
a π.
4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰ ,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱
体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.
5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑
-+⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与
平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:
32
.
6. 计算22d d (2)d d d d 2
z x y z z xy z x x y ∑
+-+
⎰⎰ ,其中∑为曲面2
2
z x y =+与平
面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:
4
π
.
7. 计算曲面积分
3333
d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑
+++-⎰⎰
,其中∑为曲面
z =z =
.
答: 326(1cos 2)5
π⋅⋅-.
8. 计算曲面积分
2
22
d d d d (1)d d xy
y z z z x z x x y ∑
++-⎰⎰ ,其中∑为由
曲面
z =
0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.
答: 322161625335
πππ⋅
⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑
+-⎰⎰,其中∑是旋转抛
物面22
1()2
z x y =
+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧.
答: 8π.
§10．7 斯托克斯公式
一、选择题
1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
(A)
d d d P x Q y R z Γ
++=
⎰
d d d d d d y z
z x x y x y z P Q R ∑
∂∂∂∂∂∂⎰⎰
;
(B)
d d d P x Q y R z Γ
++=
⎰
cos cos cos d S x y z P
Q
R
α
βγ∑
∂∂∂∂∂∂⎰⎰
;
(C)
d d d P x Q y R z Γ
++=
⎰
{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q R αβγ∑
∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰
;
(D)
d d d P x Q y R z Γ
++=
⎰
{}d ,d ,d i
j k x y z x y z P
Q
R
∑
∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰
. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ
-+-+-=⎰ ( ).
(A) 23a ; (B )26a ; (C )22a ; (D) 2
a . 答(A).
3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.
则2
2d 3d d y x x y z z Γ
+-=⎰ ( ).
(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).
二、填空题
1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方
向.22d 2d d y x x y z z Γ
+-=⎰
.
答: 0.
2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =
.
答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++
(2) div(grad )u = .
答: 0.
(3) rot(grad )u =
.
答: 0 .
3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-
,则rot A = .
答: 246i j k ++
.
4. 设向量场22
sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++ ,
则rot A =
.
答: 2
22
[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+- .
三、解答题
1. 计算d d d y x z y x z Γ
++⎰
,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若
高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 21 页 学院 专业
学号 姓名
从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.
答: 2a .
2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ
+-+-⎰ ,其中Γ为椭圆222x y a +=, 1(0,0)x
y
a b a b +=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.
答: π3. 计算23d d d y x x z y y z z Γ
-+⎰ ,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.
答: 20π-.
4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ
+-⎰ ,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.
答: 9π.
5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰ 化为曲线积分,并计算积分
值,其中A 、∑及n
分别如下:
(1) 2A y i xyj xzk =++ ,∑为上半球面z =的上侧, n 是∑的单位法向量.
(2) ()A y z i yzj xzk =-+- ,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的
表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.
答: (1) 0. (2) 4-.。