中考数学二次函数与面积最值计算题

法 2：面积相等—双轨平行线
PE 为铅垂高
OB 为水平宽
1．根据顶点找出公共边，作为底（如图）；
2．根据“双轨平行线”作公共边的平行线（过顶点作公共底的平行线，再向顶点的另一侧
作等距的平行线），求出平行线的解析式；若为倍数关系向两侧做等倍数距离的平行线即
可；
3．平行线与抛物线的交点即为动点坐标，即一次函数与二次函数联立解方程.
二、经典例题与解析 如图，抛物线 y = 1 x2 − 3 x − 2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x
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轴对称． （1）求点 A、B、C 的坐标． （2）在直线 BD 下方的抛物线上是否存在一点 P，使△PBD 的面积最大？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
22
∵-1＜0，
∴m=1 时，△PBD 的面积最大，面积的最大值为 9．
∴P（1，-3）
【例 2】 如图，抛物线经过 A（-1，0），B（5，0），C（0， − 5 ）三点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上 2
一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 运动到什么位置时，△PBC 的面积最大，并求出此时 P 点的坐标和△PBC 的最大面 积． ．
2
22
整理得 x2﹣5x﹣5﹣2n＝0，△＝52﹣4（﹣5﹣2n）＝0，解得 n = − 45 ， y = 1 x − 45 ，
8
28
∴此时 P 点坐标为（ 5 ， − 35 ），
2
8
∵Q 点坐标为（0， − 45 ）， 8
作 CN⊥l，CQ＝OQ﹣OC＝ 45 − Байду номын сангаас = 25 ， 82 8
∵ CN = OB = CQ BC
【练 2】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点 P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和△PBC 的最大面 积．
参考答案：
5
25
=,
52
+
5 2
2
5
∴CN＝ 2 5 25 = 5 5 ， 58 4
∴△PBC 的面积＝ 1 CN BN = 1 5 5 5 5 = 125 ．
2
2 2 4 16
三、实战演练
【练 1】 如图，抛物线 y=a（x-1）2+4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CD∥x 轴 交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD，已知点 A 的坐标为（-1，0） （1）求该抛物线的解析式； （2）求梯形 COBD 的面积． （3）直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【练 1】
【分析】（1）将 A 坐标代入抛物线解析式，求出 a 的值，即可确定出解析式；
（2）抛物线解析式令 x=0 求出 y 的值，求出 OC 的长，根据对称轴求出 CD 的长，令 y=0 求出 x 的 值，确定出 OB 的长，利用梯形面积公式即可求出梯形 COBD 的面积； （3）过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 F，用未知数设出点 P、F 的坐标，即可得到线段 PF 的 长度表达式，以 PF 为底、C 到 B 的水平距离为高，即可得到△PBC 的面积函数关系式，根据函数的性 质即可求出△PBC 的面积最大时，点 P 的坐标． 【解答】解：（1）将 A（-1，0）代入 y=a（x-1）2+4 中，得：0=4a+4，
如图：
作 PE∥y 轴交 BD 于 E，设 P（m， 1 m2 − 3 m − 2) ，则 E（m， − 1 m + 2 ）
22
2
∴PE= − 1 m + 2 − 1 m2 − 3 m − 2 =- 1 m2 + m + 4
2
22
2
∴S△PBD= 1 •PE•（xB-xD）= 1 ( - 1 m2 + m + 4 ) 4= −m2 + 2m + 8 = − (m −1)2 + 9
【分析】（1）分别令 y=0，x=0，求函数与 x 轴、y 轴的交点；
（2）求直线解析式，因为 P 点不定，所以先设 P 点坐标（设横求纵），然后利用面积公式（ S= 1 ×铅 2
垂高×水平宽）表示面积，再通过配方求最值。 【解答】
（1）解方程 1 x2 − 3 x − 2 = 0 ,得 x1=-1，x2=4， 22
∴A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（4，0）． 当 x=0 时，y=-2，
∴C 点坐标为（0，-2）．
（2）∵C 点坐标为（0，-2）． 点 D 与点 C 关于 x 轴对称．∴D 点坐标为（0，2）
设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，则
0 = 4k + b 2 = 0k + b
解得
k = − 1 2 b = 2 ∴直线 BD 的解析式为 y＝− 1 x + 2 2
a
=
1 2
解得 b = −2
c
=
−
5
2
所以抛物线的解析式为：y= 1 x2 − 2x − 5
2
2
（2）过点 P 作 l∥BC，交 y 轴于 Q 点，如图 2，
∵当 l 与抛物线只有唯一的公共点 P 时，△PBC 的面积最大，设此时 l 的解析式为 y＝ x+n，
∴方程有唯一一组解，即 1 x2 − 2x − 5 = 1 x + n 有相等的实数解，
二次函数与面积最值
一、知识要点 二次函数中图形面积最大值求法 法 1：割补法 1．三角形面积最值：作出铅垂高，找出水平宽，利用面积公式（ S= 1 ×铅垂高×水平
2 宽）表示面积.（如图 1） 2．四边形面积最值：连四边形对角线，将四边形面积最值转化为三角形面积最值.（如图 1） 方法：设出动点坐标，利用面积公式表示出面积，将面积最值转化为二次函数最值.
【分析】（1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）过点 P 作 l∥BC，交 y 轴于 Q 点，当 l 与抛物线只有唯一的公共点 P 时，△PBC 的面积最大，联 立方程利用△可求出设此时 l 的解析式，可求出点 P 的作坐标。
【解答】
（1） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（-1，0），B（5，0），C（0，- 5 ）代入解析式 2