复变函数第七章_傅里叶变换(3)

§7-3 单位脉冲函数及其傅立叶变换
一．δ—型序列和δ—函数
例1． 在电流为零的电路中，从时刻0t 到ε+0t 通入一个单位电量的矩形脉冲。

设电流强
度为()0t t -εδ，则有：
()⎪⎩⎪
⎨⎧+><+<<=-ε
εε
δε00000,0
1t t t t t t t t t
当时间间隔+
→0ε时，函数()0t t -εδ的极限状态就可以看成在瞬时0t 通入单位电量所产生的电流。

在电路分析中，称这个极限电流为作用在时刻0t 的单位脉冲电流，称这个极限状
态下的函数()()000
lim t t t t -=-+
→δδεε为单位脉冲函数，即δ—函数，也称为狄拉克（Dirac ）函数。

00=t 时，δ—函数()t δ更为常见。

说明：δ—函数是一个广义函数，它不能用普通意义的函数定义法（即值的对应关系）来定义，我们可以认为，δ—函数()t δ是某个普通函数序列()t εδ的极限（称为δ—型序列）。

二．δ—函数的积分
我们可以认为δ—函数具有如下两个特征：
1． 0=t 时，δ—函数()∞→t δ，0≠t 时，δ—函数()0=t δ 2． ()t δ在区间()+∞∞-,上的积分表示为：
()()1lim 0==⎰
⎰+∞
∞-→+∞∞-+
dt t dt t εεδδ 由此推出δ—函数的一个重要结果，称为δ—函数的筛选性质：
()()()()()00f dt t f dt t t f ==⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞-δδ (7-3-1)
()()()()()000t f dt t t f dt t t t f ==-⎰⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-δδ (7-3-1)’
三．δ—函数的傅氏变换
()=ωF F ()[]t δ ()10
====-+∞
∞
--⎰t t
j t j e dt e t ωωδ
同理我们还可以得：
F
()[]0t t -δ ()00
0t j t t t
j t j e e dt e t t ωωωδ-=-+∞
∞--==-=⎰
即()0
0t j e
t t ωδ-↔-
需要指出，δ—函数的傅氏变换是一种广义的傅氏变换。

例1．求F ()[]ωπδ21
-和F ()[]012ωωπδ--
解： F ()[]ωπδ21
-()12210
===
=+∞
∞
-⎰
ωωωωωπδπ
t
j t j e d e
F ()[]01
2ωωπδ--()t j t
j t j e e d e 00
0221
ωωωωωωωωπδπ
==-==-+∞
∞
-⎰
从而我们又得到傅氏变换对：()ωπδ21↔和()020ωωπδω-↔t
j e。

这表明，对δ—函数而言，傅氏变换的位移性质仍成立。

例2． 利用F []()ωπδ21=及位移性质，
求：（1）F []t 0cos ω；(2) F []t 0sin ω；(3) F []
t 3sin 22
解：由时域上的位移性质得 （1）F []t 0cos ω=
()()[]002
1
ωωωω-++F F =()()[]00ωωδωωδπ
-++
（2）F []t 0sin ω=
()()[]0021
ωωωω--+F F j
=()()[]00ωωδωωδ
π+--j
（3）由倍角公式t t 6cos 13sin 22
-=，并利用（2）的结果及线性性质：
F []
t 3sin 22
= F []t 6cos 1-= F []-1 F []t 6cos
=()()()[]002ωωδωωδπωπδ
-++-
例3．证明单位阶跃函数()⎩⎨
⎧><=0
01
t t t u 的傅氏变换为
()ωπδω
+j 1。

即证：F ())(]1
[
1
t u j =+-ωπδω
解证：F ()]1[
1
ωπδω+-j = F ]1
[1ω
j -+ F ()][1ωπδ- 易知F ()2
1
][1
=
-ωπδ
下面求 F ]1[
1
ωj -⎰+∞
∞
-=ωω
π
ωd e j t
j 121
⎰
+∞
=0
sin 1
ωω
ωπωd e t
t j
我们由§7-1节例1的结论知道狄立克莱积分 ⎰
+∞
=
2
sin π
ωω
ω
d ,
因此有
⎰∞+⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<-=00
20002
sin t t t d t ππ
ωω
ω
所以：F ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+⎪⎭⎫ ⎝⎛<=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+-0
12
1210
02121]1[1t t j ππππωπδω
t=0为间断点，在连续点处有
F ()()t u t t j =⎩⎨
⎧><=+-0
1
0]1
[1
ωπδω 这样我们又得到一个常用傅氏变换对：
()()ωπδω
+↔
j t u 1
§7-4 卷积和卷积定理
本节所介绍的是傅氏变换的另一类重要性质。

它们都是分析线性系统的极有用的工具。

一．卷积的概念
若已知函数()t f 1 、()t f 2 ，则积分
()()⎰
+∞
∞
--τττd t f f 21称为函数()t f 1 和()t f 2的卷
积，记为，()()t f t f 21*，即：()()t f t f 21*=()()⎰
+∞
∞
--τττd t f f 21。

由卷积的定义容易得到下列运算规律： （1） 交换律()()t f t f 21*=()()t f t f 12*
（2） 结合律()()()()()()][][321321t f t f t f t f t f t f **=**
（3） 加法分配律()()()()()()()t f t f t f t f t f t f t f 3121321][*+*=+* （4） 卷积不等式
()()()()t f t f t f t f 2121*≤*
例1 若()⎩⎨⎧≥<=01001t t t f ，()⎩⎨⎧≥<=-0
2t e
t t f t
求：()()t f t f 21*
解：由已知()τ1f 的非零区间为[)+∞∈,0τ，而()τ-t f 2的非零区间为(]t ,∞-∈τ，所以
()()ττ-t f f 21的非零区间是上面两个区间的公共部分，为[]t ,0∈τ，
因此 ()()t f t f 21*=
()()⎰
+∞
∞
--τττd t f f 21
()()()
t
t
t
t
t t
e
d e e
d e
d t f f -----==⋅=-=⎰⎰⎰110
21τττ
τττ
τ
同样 ()()t f t f 12*亦得上述结果。

二．
卷积定理
已知函数()t f 1 、()t f 2都满足傅氏积分定理条件,且F []()ω11)(F t f =，
F []()ω22)(F t f =，则：
（1） F ()()()()ωω2121][F F t f t f ⋅=* 即F ()()()()t f t f F F 21211
][*=⋅-ωω
（2）F ()()()()ωωπ212121][F F t f t f *=
⋅即F ()()()()t f t f F F 21211]21[⋅=*-ωωπ
通常卷积并不是很容易计算的，但卷积定理为我们提供了卷积计算的简便方法，即化
卷积运算为乘积运算，这使卷积在实际应用中成为特别有用的方法。

例1
求F ()]cos [t t *δ，并利用此结果求卷积()t t cos *δ 。

解：由卷积定理：
F ()]cos [t t *δ= F ()⋅][t δ F ()()]11[1][cos ++-⋅=ωδωδπt
()()]11[++-=ωδωδπ
于是
()t t cos *δ=F ()()]11[1++--ωπδωπδ
= F
()]1[1
--ωπδ+ F ()t e e jt
jt cos 2
121]1[1=+=
+--ωπδ。