牛顿力学的基本原理.ppt

v ds 表示速度在切线的投影， ds 0 表示沿弧正向,
dt
dt
4.
ds 0 ,
dt
加速度
表示沿弧坐标反向
a
dv
s
s
d
dt
s
d
dt
v2 n
n
d
ds
ds dt
n
dt
a
s
dv dt
描述速度大小随时间的变化率
an
v2
描述速度方向随时间的变化率
a
dv dt
dv ds
ds dt
v
dv ds , an
v ds dt
/
ds da
例题1.如图所示，当液压减振器工作时， 它的活塞在套筒内作直线往复运动
已知：a kv, v t0 v0 。求：x t 。
解：活塞作直线运动， 取坐标轴Ox如图所示
由 a dv kv dt
得
v dv
t
k dt
v v0
0
ln
v v0
kt,
v
v0ekt
由
v
d
dt
eˆ
eˆ
同理可得:
deˆ dt
eˆr
2 质点运动的速度
v
eˆ
eˆr vr
v
dr dt
d dt
(reˆr
)
r
O
X
dr dt
eˆr
r d
dt
eˆ
vr
v
径向速度：
vr
dr dt
eˆr
横向速度：
v
r
d
dt
eˆ
速度的大小：
v vr2 v2
v
eˆ
v
eˆr
vr
( dr )2 (r d )2
规定：τ为切向单位矢，沿轨道切线并指向s增加的方向 n为法向单位矢，沿轨道上该点法线指向s 的凹侧 (τ, n)构成平面自然坐标系。
2.
cosi sin j
n
cos(
)i
sin(
)
j
2
2
sin i cosj
d
( sin
i
cosj )
n
d
n
dt
dt
3. 速度
v
dr
ds
s
dt dt
dt dt
R （切向加速度）
a a
ar R
O
r Reˆr
径向加速度
ar R 2
X
横向加速度
a R
故总加速度
a
R
2eˆr
Reˆ
四、自然坐标系：
1. 自然坐标:
当质点沿曲线运动时，在曲线上选一 点O为起点，规定一正向为弧坐标的正 向（如弧长增加的方向），则质点的 位置由运动方程s=s(t) 描述。
加速度分量式:
v
dr dt
eˆr
r
d
dt
eˆ
a
r
v
reˆr reˆr reˆ reˆ reˆ reˆr 2reˆ reˆ r2eˆr (r r2 )eˆr (r 2r)eˆ
areˆr a eˆ
说明:
a
(r
r2 )eˆr
(r
2r)eˆ
areˆr a eˆ
r r2 ：加速度径向分量，称为径向加速度。r是径
向速度量值变化产生的。 r2 是横向速度方向变化产生
r 2r ：加速度横向分量，称为横向加速度。r r 是横向速度量值变化产生的，r 是径向速度方向变化
产生的
4. 推 广到 柱坐 标:
avR(Rrrrrizk)irrj(irzkzk2r)
j
zk
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r(t)
求导 积分
v(t )
求导 积分
a(t)
三、平面极标系：
当一质点在平面内绕一中心运动时，用平面 直角坐标处理问题显得更为方便
1 何谓平面极坐标
设质点在一平面曲线上运动
eˆ rr
eˆreˆ eˆr
O
建立参考方向OX
质点的位置矢量：
建立单位矢量 eˆr eˆ
则质点的位置矢量：
X
r
reˆr
先求： deˆr , deˆ dt dt
eˆr eˆr' eˆr 1
0 deˆr d
deˆr eˆr
方向沿 eˆ
deˆr deˆ
deˆr dt
径向速度：
O 横向速度：
v v
X
r d
dt
vr eˆ
dr dt
eˆr
R(0
0
t)eˆ
R(0 t)eˆ
a
ar R
O
r
Reˆ r
径向加速度
0t
1 2
t 2
X
ar
d 2r dt 2
r
d
dt
2
R(0 t)2
R 2 （法向加速度）
横向加速度
a源自文库
r
d 2
dt 2
2r dr d
dx dt
v0ekt
得
x
dx
x0
t 0
v0e
kt
dt
x
x0
v0 k
1 ekt
例2.已知 一质点的运动方程为: r ect bt
求 v,a
解：vr
r
cect
cr
v r rb
v cri rbj
ar r r2 c2ect rb2 (c2 b2 )r
a r 2r 2bcr
r
dt
dt O
X
速度的方向由下式决定：
tan(
v,
eˆr
)
v vr
(r d ) /( dr )
dt dt
3 质点运动的加速度
a
dv dt
ar eˆr
a eˆ
a eˆ
r
O
eˆr ar
X
径向加速度
ar
d 2r dt 2
r
d
dt
2
横向加速度
a
r
d 2
dt 2
2r dr dt
d
dt
第一章
牛顿力学的 基本原理
第一章质点力学
§1.1 运动的描述 一、参考系与坐标系
1. 参照系：为研究物体的运动需要选定某物作为参考标准 （参照物），在其上作不共面的三条直线为一框
架与参照物固连，这框架可代表参考物
——称参考系（立场）。 注：①参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无穷远，
可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；
直角坐标系: 极坐标: 柱坐标: 球坐标: 自然坐标：如铁路。
二、运动学方程及轨道
1. 运动方程:当质点运动时 r=r(t)称为质点的运动的方程， 它是时间t的单值连续函数。 坐标表示：直角坐标
极坐标(平面运动)
2. 轨道：质点运动过程中空间描述出的连续曲线, 运动学 方程中消去t 得轨道方程。
(直线运动、曲线运动)
加速度大小：
a ar2 a2
a eˆ
r
eˆr ar
O
X
d 2r dt 2
r(d
dt
)2 2
r
d 2
dt 2
2(dr )( d
dt dt
2
方向由下式决定：
tan(
a, eˆr
)
a ar
例：一质点作圆周运动，已知 求其速度和加速度。
0t
1 2
t 2
0
,
R
为常数
解：建r立极坐R标eˆ r
②观察者是站在参照系的观察点上； ③不特别说明都以地球为参照系。
2．坐标系：参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标 系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）
3．质点及位置的描述 (1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可 忽略，物体作平动） (2) 位置描述： ①质点相对某参照系的位置，可由位矢 r 确定; ②坐标描述：