1994-1997山东大学考博高等量子力学真题

的运动方程是 i 方程可化为
ˆ (x ˆ H , ( x , t ) ˆ H , ( x , t ), H , t ) 。求证在该情况下场算符满足的运动 t


ˆ H , ( x , t ) 0 。 i T ( x ) t
() () （1）求证：如果 k 是正交完备的，则波算符是幺正算符。如果 H 还有 E 0 的束缚态， k 不
构成正交完备系，则波算符不是幺正算符。 (2)求证波算符满足关系 H H 0 。这里 H H0 V , H 0 p 2 / 2m 附:公式备查
i ( ) cos 2 e (1) D ( ) 2e i sin cos 2 2 i ( ) sin 2 e 2
T ( x ) ( x )

所以
3
i
H , ( x, t ) e iHt / T ( x )e iHt / e iHt / ( x )e iHt / T ( x, t ) ( x, t ) t
这就是要证明的结果
dp x exp( iH (t t 0 ) / p p x

1 p 2 (t t 0) exp i 2m 2
exp i( px px) / dp
完成积分最后给出传播函数是：
K ( xt , x t 0 )

im( x x0 ) 2 m exp 2(t t ) 。 2i (t t 0 ) 0
ˆ
ˆ 2 2A ˆ 2 3( S r ) ， H 3 S 2 r r 这里的 r 是粒子之间相对矢径。在 t 0 时一个自旋与 r 平行，另一个则与 r 反平行，求在 势能作用下 t 时刻的状态，以及两个粒子自旋都改变方向的时间。计算时取 r 为常量。
而 H10
2A ( S 2 3S z2 ) ， r3
2 A 2 4 A 2 2 3 ， H 00 0 ， r3 r
iHt / H t 0, U (t ,0) e
(t ) U (t ,0) (0)
1 4 At ( 10 exp(i 2 ) 00 ) , r 2 1 ( 10 00 ) ， 要求 2
四、 （1）解 直接由题设条件 () () | K | K Go ( E )V | K k
() k k dk k k dk



k k dk
1 V k k dk E k H i
( ) i 1 e 2 cos (1 / 2 ) 2 D ( ) 1 i 2 ( ) sin e 2
2e i sin cos 2e i sin
1 i ( ) 2

2
cos 2

2
cos

2
2 i ; 2e sin cos 2 2Байду номын сангаас e i ( ) cos 2 2 e i ( ) sin
1 1 1 四、解:(1)先用总自旋波函数表示初态。用 i | 1 2 , 2 , i | 2 , 2 , i 1,2 表示自
旋1 2 粒子的波函数，构造出总自旋角动量波函数是
11 1 2,
10
1 2 1 2
(1 2, 1 2)
11 1 2,
总自旋波函数另一种可能的组合为
(s, s z ) 1 (s, m1 ) 2 (s, m2 ) 1 (s, m2 ) 2 (s, m1 )
当 m1 m2 时为第一种完全对称的情况，m1 m2 时是交换对称或反对称的， 数目各 占一半， 这种情况状态数目为 (2s 1) 2 (2s 1) 2s(2s 1) 种， 这样对称与反对称的数 目分别是： N s (2s 1) s(2s 1) (s 1)(2s 1) ，
N A s(2s 1) ；
所以有
N s ( s 1)(2s 1) s 1 。 NA s(2s 1) s (2)要证明的结论是 RTJ J RT 0 ，首先计算 TJ TJ T 1T ( J x iJ y )T ，
而
RTJ R( J xiJ y )T ( RJ x R 1 iJ y ) RT
由此

因而
() () k k dk ， k k dk ，
i T ( x ) H , ( x , t ) 0 。 t 三、 （1）解：把 (t ) T (t , t 0 ) (t 0 ) 投影到坐标表象，给出 ( x, t ) x (t ) x T (t , t 0 ) x x (t 0 ) dx K ( xt , x t 0 ) ( x , t 0 )dx 矩阵元 K ( xt , x t 0 ) x T (t , t 0 ) x 的物理意义是系统在 t 0 时刻位于 x 的波函数演化到 t 时刻位于 x 处的几率振幅。 （2） 解： 对于一维自由粒子情况， 哈密顿算符与时间无关， 利用基本方程给出 T (t , t 0 )
(3) 求自 旋都 改变 方向 的时 间 。此 时自 旋波 函数是 2 1
(t )
2
1 ，利用自旋波函数的正交关系给出条件是：
1 4 At exp i 3 1 1， 4 r
2
4 At 这要求 cos 3 1 ，解出 r 4 At (2k 1) ， r3 即要求 (2k 1)rr 3 ， k 0,1,2,3, 。 t 4 A

对易关系


( x ), ( x ) ( x x ) ， ( x ), ( x ) 0 ， ( x ), ( x ) 0 ；






求出
( z )T ( z ) ( z ) dz ( x z 0T ( z ) ( z ) ( x ), H ( x ), dz
但是
RJ x R 1 J x ， 这是因为转动仅是绕 y 轴 角度的转动，这样就有关系： RTJ J RT 。
二、证明：场算符满足的运动方程
H , ( x, t ) H , ( x, t ), H ( x , t ) t e iHt / ( x ), H e iHt / ， ˆ ( x )T ( x ) ( x ) ，利用场算符的 其中泊松括号 ( x ), H 在这里代入 H T dx i
2
山东大学 1994 硕士研究生《高等量子力学试题》试题参考答案
一、 解： （1）自旋为 s 的粒子，总的波函数为 (2s 1) 个，双粒子构成的无偶合表象是
(2s 1) 2 维，偶合空间的维数也是 (2s 1) 2 的。 总自旋波函数由 1 ( s, m1 ) 与 2 ( s, m2 ) 组成。 总自旋波函数可能的组合为 (s, s z ) 1 (s, m1 ) 2 (s, m2 ) ，当 m1 m2 时为完全对 称的，此时的数目为 (2s 1) 种；
1

ˆ ˆ UQ*U 1 ，TJT 1 J ；令空间转动幺正算符 R exp( iJ y / ) ，
求证 RT 与 J 对易。
二、设全同玻色子系统哈密顿算符仅是动能算符，即 H T ，而动能算符用场算符表示成
ˆ dx ˆ ( x )T ( x ) ( x ) ，这里 是粒子自旋量子数。在海森堡绘景中场算符满足 T

e e
1 i ( ) 2
2 ; cos 2
sin

J | jm j ( j 1) m(m 1) | jm 1 ; 1 1 iK ( x x ) ( x x) e d K , (t t ) e i (t t ) d ; 3 2 (2 )
山东大学 1994 级硕士研究生 《高等量子力学》试题
1995 年 1 月 12 日 说明: (1)全试题共五大题,每题 20 分,满分 100 分; (2)考试时间 3 小时,试题与答卷一起上交。 一、 （1）双粒子构成的全同粒子系统，每个粒子的自旋量子数均为 s ，求证总自旋波函数 中对称与反对称的比例是 ( s 1) / s ； （2）设 J 是角动量算符，定义移位算符 J J x iJ y ；令 T 表示时间反演变换算符， 且成立关系 TQT
满足方程
i
T (t , t 0 ) HT (t , t 0 ) ， t
p 2 (t t 0 ) 积分利用初条件 T (t 0 , t 0 ) 1 ，求出 T (t , t 0 ) exp( i ) ，于是传播函数是 2m K ( xt , xt 0 ) x exp( iH (t t 0 ) / x
00
( 1 2, 1 2 ) 1

系统初始状态用总自旋波函数表示为：
(0) 1 2
2
( 10 00 )
(2)在题设相互作用势能中取 r 为 z 方向，则
4
ˆ 2 2A ˆ 2 3( S r ) H 3 S r r2
五、定态散射理论中，能量 E 0 的散射形式解是
k( ) k

1 ˆk ， V E k H i
1
自由粒子 k 正交完备条件是： k k (k k ) ，





k k dk 1 。引入算符
1 lim 1 V ，称为波算符。 0 E k H i
三、量子系统在一定时刻的态矢量是对该时刻状态的完整描述，也决定了在自然发展中演 化到其它时刻的状态。 按照态叠加原理， 态矢量之间的线性关系在随时间演化过程中不变。 因此系统的运动过程可以用一个线性算符 T (t , t 0 ) 来描述， 由此给出 t 0 与 t 时刻态矢之间的 关系： (t ) T (t , t 0 ) (t 0 ) 。 （1）在坐标表象给出上式的表示，说明 T (t , t 0 ) 算符矩阵元的意义； （2） 对于自由粒子， 求出 T (t , t 0 ) 算符在坐标表象中的矩阵表示， 成为传播函数或传播子。 四、两个自旋为 1 2 的粒子，它们之间的相互作用为偶极 -偶极相互作用，这个相互作用势 能用总自旋算符 S 表示为