六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙

六方最密堆积中正八面体空隙

和正四面体空隙中心的分数坐标

等径圆球紧密排列形成

密置层，如图所示。

在密置层，每个圆球周

围有六个球与它相切。相切

的每三个球又围出一个三角

形空隙。仔细观察这些三角

形空隙，一排尖向上，接着下面一排尖向下，交替排列。而每个圆球

与它周围的六个球

围出的六个三角形

空隙中，有三个尖

向上，另外三个尖

向下。如图所示，

我们在这里将尖向

上的三角形空隙记

为B，尖向下的三角

形空隙记为C。第二

密置层的球放在B之

上，第三密置层的球

投影在C中，三层完

成一个周期。这样的

最密堆积方式叫做立

方最密堆积（ccp，记为A1型），形成面心立方晶胞。

若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。

在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每

层的正三角形中心的连线垂直于正三

角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。

在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。

面心立方最密堆积（ccp，A1型）中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。

在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。

平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙，如下面两幅图所示。空隙中心的分数坐标分别为：（2/3,1/3,1/4），（2/3,1/3,3/4）。

对于正四面体空隙，存在这样一个问题，即正四面体的中心到它的底面的距离是它的高的多少倍？

解法一（分体积法）：以正四面体的

中心O 为顶点，以正四面体的四个面为

底面将正四面体平均分为四个等体积的小

三棱锥，小三棱锥的高为OH ，则有： 4V 334S

AH S OH AH OH

==∴= 即正四面体的中心到底面的距离是它的高的四分之一。 解法二（立方体法）：