含参变量常义积分
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量的常义积分
f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
在矩形区域 [ a ,b][0 ,1]上连续, 由定理1 得函数
F(x) 在[a, b]连续.
b
I( y) a f ( x, y)dx
在[ c , d ]上连续. 证 设 y [ c, d], 对充分小的 y , 有y y [c, d ](若 y 为区间的端点, 则仅考虑 y 0 或 y 0 ), 于是
*例3 计算积分
I
1 ln(1 x) 0 1 x2 dx
dy
y A dy B dy
b( y)
a( y) f y ( x, y)dx f (b( y), y)b( y)
f (a( y), y)a( y) .
例1 设 F ( y) y2 sin yx dx, 求 F( y). yx 解 由定理4，得
F( y)
y2
sin y3 sin y2
b f ( x, y)dx.
a y
证 对于 [c, d ] 内任意一点 y, 设 y y [c, d ] (若y 为
区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( y y) I( y)
b
I( y) liym0afy( x, yy)dx
b
a
lim
y0
f y ( x,
y
y)dx
b
a f y ( x, y)dx
定理4 (F ( y) 的可微性) 设 f ( x, y), fx ( x, y) 在
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的
第9章 含参变量积分
∫N
f (x, y)dy ≤ M ;
c
(2)对每个 x ∈[a, b] ，函数 g(x, y) 关于 y 是单调递减的且当 y → ∞ 时，对参量 x ，
+∞
∫ g(x, y) 一致收敛于 0，则含参量反常积分 f (x, y)g(x, y)dy 在[a,b] 一致收敛。 c
定理 5（阿贝尔判别法）设
敛。
判别法则
定 理 1 （ 柯西 准 则 ）含参 量 无 穷积分 （1 ） 在 [a,b] 上 一 致收 敛的 充 要条 件是 ：
∀ε > 0, ∃M > c,当A1, A2 > M时,∀x ∈[a,b] ，有
∫| A2 f (x, y)dy |< ε A1
定理 2（魏尔斯特拉斯 M-判别法）设有函数 g( y) ，使得
∫ I '(x) =
+∞
c fx (x, y)dy
+∞
∫ 定理 3（可积性）设 f (x, y) 在[a,b]×[c, +∞) 上连续，若 I (x) = f (x, y)dy 在[a,b] 上 c
一致收敛，则 I (x) 在[a, b] 上可积，且
b
+∞
+∞
b
∫a dx∫c
∫ f (x, y)dy = c
∫ y(x) = 1
x
n−1
(x − t) f (t)dt, x ∈[a,b]
(n −1)! a
是微分方程 y(n) (x) = f (x) 的解，并且满足条件 y(a) = y' (a) = = y(n−1) (a) = 0 。
证明：设 F (x, t) = (x − t)n−1 f (t) ，则 f (x, t), fx (x,t) 在[a, b]×[a, b] 上连续，因此有
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)
7．设函数 具有二阶导数， 是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设 由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在 处连续。
设
则
。由于 在 上连续，且
上的最小值
当 时，成立
于是
上连续，可知 所以 在
由 连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ） 当
对于
取
取
则当 充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当 取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ） 当
即
关于
一致有界，以及 单调，当
时 关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别
高等数学含参变量的正常积分
设 f ( x, y) 是定义在矩形域 R(a x b, c y d ) 上的二元 函数, 当
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
f ( x, y) 则是定义在 [c, d ]
上以 y为自变量的一元函数.若此时 f ( x, y)在 [c, d ]上可积,
则其积分值是 x 在 [a, b]上取值的函数,表为
I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上可微, 且 c d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dy c x dx c
运算与积分运算可交换顺序。
同理：对于 J(y) f ( x, y )dx，在[c, d ]上可微，且
b d b f ( x , y )dx f ( x , y )dx a y dy a
0
cos x 1 1 dx 1 dx 0 1 cos x 1 cos x
1 1 dx 0 1 cos x
1 2 1 2 2 1 2 1
1
x I ( y ) dx 0 (1 x 2 )( 1 xy)
1
x y y 0 1 x 2 1 x 2 1 xy dx 1 ln 2 y ln (1 y ) 2 1 y [a, b]
c
d
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
类似地称
J ( y) f ( x, y) dx
a
b
为含参变量
y 的积分。
I ( y ) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，
2. 性质 (i)、 连续性 :
第17章含参变量的积分
2019年2月26日星期二
7
§17 含参变量的正常积分
0, 0,只要 x , 就有
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) x f x (x x,y)-f x (x,y) , 其中 (0,1).因此
第十七章 含参变量的积分
级数与积分是构造函数的两个重要分 析工具。我们已经介绍了一种利用定积分 构造的函数──积分上限的函数。 本章和 下章介绍另一种利用 Riemann 积分与广义 积分构造的函数──含参变量的正常积分与 含参变量的广义积分，并研究它们的分析 性质：连续性、可微性、可积性。
2019年2月26日星期二
J ( y ) 在 [c, d ] 上可积。记为
b
a
I ( x ) dx J ( y)
d
c
f ( x, y) dy dx dy f ( x, y ) dx dy
b d a c d b c a
b
a d
dx dy
d
c b
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
上以 y为自变量的一元函数.若此时 f ( x, y)在 [c, d ]上可积,
则其积分值是 x 在 [a, b]上取值的函数,表为
I(x) f ( x, y)dy, x [a, b （定义域） ]
c
d
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
2019年2月26日星期二 3
(证毕)
2019年2月26日星期二 8
§17 含参变量的正常积分
下面讨论可积性. 设 f ( x, y) 在矩形 [a, b; c, d ]上连续，那末由定理1 ，函数
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
112含参变量常义积分
dx
lim
t
0.
xt etx 2
x
lim
t
x 2 etx 2
y 0 y0 2
0.
定理 2 设 f (x, y) 在矩形 [a,b; c, d] 上连续，则
b
g( y) a f (x, y) dx
在c , d 可积且有
d
bd
g( y)dy f (x, y)dy dx
c
ac
db
bd
即 dy f (x , y)dx dx f (x , y)dy 。
b
| g( y y) g( y) | a | f (x, y y) f (x, y) | dx
定理 1 设 f (x, y) 在闭矩形域 R :[a,b][c, d ] 上连续，则
b
g( y) a f (x, y) dx
是 [c, d ] 上的连续函数。
几何说明： 将u f (x, y)视作空间中一张曲面 ， 它在
1
r2 1
0 r (1 1 2r cos x r 2 )dx
r
r2 1 r
1
0 1 2r cos x r 2 )dx.
令t tan x ,则 2
0
1
2r
1 c os x
r2
)dx
2dt
0 (1 r)2 t 2 (1 r)2
2 (1 r)2
1 1
r r
arctan
t
|0
1 r2 .
定理 4 设 f (x, y) 和 f y (x, y) 都在矩形 [a,b; c, d] 上连续，
u(y),v(y) 在 [c, d ] 可导，并且
a u(y) b, a v( y) b (c y d)
§1含参量正常积分
( x) 1
在矩形区域 [ a ,b][0 ,1]上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续.
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三、含参量正常积分的可微性
定理19.3 ( I( x) 的可微性) 若函数 f ( x, y)与其偏导
数 fx ( x, y) 都在矩形区域 R [a, b][c, d]上连续,
§1 含参量正常积分
对多元函数其中的一个自变量进行积 分形成的函数称为含参量积分, 它可用来 构造新的非初等函数. 含参量积分包含正 常积分和非正常积分两种形式.
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一、含参量正Biblioteka 积分的定义设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的
二元函数.当 x取[ a, b]上的定值时,函数 f ( x, y) 是
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定理19.3,
I2(u)
d du
d
H (u, y)dy
c
d
c Hu(u, y)dy
d
c f (u, y)dy I(u) .
故得 I1(u) I2(u) , 因此对一切 u [a, b] , 有
I1(u) I2(u) k (k为常数) .
当 u a时, I1(a) I2 (a) 0 ,于是 k 0, 即得
中c(x), d(x)为[ a, b]上的连续函数, 则函数
d(x)
F( x) f ( x, y)dy c( x)
(6)
在[ a, b]上连续.
证 对积分(6)用换元积分法, 令
y c( x) t(d( x) c( x)) .
当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且
1含参变量的常义积分
同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。 它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如： 计算 椭圆 1 (b a 0)的周 长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
dI ( y ) dy
b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy
b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y
b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
例3 解
设F ( y )
y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )
0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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1 I ( )
0
1 dx 1 cos x
x 对 最 后 一 个 积 分 作 万代 能 换 t tan ， 2
0
1 dx 1 cos x
2dt 1 t 2 (1 t 2 )
积分
含参变量的积分与反常积分一、含参变量的正常积分1. 含参变量积分的定义设函数(,)f x y 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续. 对任意固定的[,]y c d ∈, 积分()(,)baF y f x y dx =∫存在, 且将随y 的变化而变化, 我们称此积分为含参变量y 的积分。
同样()(,)dcG x f x y dy =∫称为含参变量x 的积分。
含参积分提供了表达函数的又一手段. 这种形式的函数在理论上和应用上都有重要作用, 有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数. 本节主要讨论这种由积分所确定的函数的连续性, 可微性与可积性. 2. 含参变量积分的性质定理1.1 （连续性） 若函数),(y x f 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 则函数()(,)baF y f x y dx =∫在[, ]c d 上连续. 注：在定理的条件下, 有()()0lim ,lim ,b baa y y y y f x y dx f x y dx →→=∫∫,即极限运算可以通过积分号.证明：设,[,]y y y c d +Δ∈, 则()()F y y F y +Δ−[(,)(,)]d b af x y y f x y x =+Δ−∫.由于),(y x f 在闭区域D 上连续, 所以一致连续, 从而,0>∀ε ,0>∃δ1122(,),(,),x y x y R ∀∈ 有.|),(),(|2211ε<−y x f y x f故,()()F y y F y +Δ− |(,)(,)|d b af x y y f x y x ≤+Δ−∫ d ().bax b a εε<=−∫这说明()F y 在],[d c 上连续.定理1.2（可导性）若函数),(y x f 及其偏导数(),y f x y 都在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 则()(,)baF y f x y dx =∫在[, ]c d 上有连续的导数, 且求导与积分可交换顺序, 即'()(,)(,).bb y aa d F y f x y dx f x y dx dy ==∫∫ 证明：对任意,[,]y y y c d +Δ∈,[]()()(,)(,)d .b aF F y y F y f x y y f x y x Δ=+Δ−=+Δ−∫又由拉格朗日中值定理，存在)1,0(∈θ使得(,)(,)(,),y f x y y f x y f x y y y θ+Δ−=+ΔΔ故,(,)d .b y a Ff x y y x yθΔ=+ΔΔ∫ 由于(,)y f x y 在 [,][,]a b c d ×上连续, 由定理1. 1知00'()limlim (,)d (,)d ,b b y y a a y y FF y f x y y x f x y x yθΔ→Δ→Δ==+Δ=Δ∫∫ 且'()F y 在[, ]c d 上连续.定理1.3（积分顺序交换）若函数),(y x f 在矩形[,][,]D a b c d =×上连续, 则()(,)d ,b aF y f x y x =∫ 在],[d c 上可积；()(,)d ,dcG x f x y y =∫ 在],[b a 上可积.且∫∫∫∫=badcdcbady y x f dx dx y x f dy ),(),(.注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序. 证明：令1()d (,)d ()d ,u b u cacI u y f x y x F y y ==∫∫∫2()d (,)d (,)d b u bacaI u x f x y y H u x x ==∫∫∫其中[,],(,)(,)d u cu c d H u x f x y y ∈=∫.易见,1d ()()d (), d ucI u F y y F u u ′==∫2d ()(,)d (,)d (,)d ()d bb b u aa a I u H u x x H u x x f u x x F u u ′====∫∫∫,所以),()(21u I u I ′=′从而k u I u I +=)()(21, k 为常数.当 u = c 时, 12()()0,I c I c ==于是.0=k 即得⇒=)()(21u I u I d (,)d d (,)d .u b b ucaacy f x y x x f x y y =∫∫∫∫注：以上结论对含参量积分()(,)dcG x f x y dy =∫同样成立.例1.1计算极限10limy −→∫.解：易见函数(,)f x y =是x 和y 的连续函数. 故由定理1.1, 1111100lim || 1.y y x dx −−−→→===∫∫∫例1.2 计算积分.d 1)1ln(12x xx I ∫++=解：考虑含参变量t 的积分所确定的函数.d 1)1ln()(12x x tx t I ∫++= 显然.)1(,0)0(I I I ==易见,21)1ln(x x t ++及其对t 的偏导数)1)(1(2x t x x ++在]1,0[]1,0[×上连续. 于是由定理2,[]][].)1ln(42ln 2111)1ln(arctan )1ln(21[11d 11111d )1)(1()(210222102212t t t x t x t x t x x t t xt x x t x x t x xt I +−++=+−+++=+−++++=++=′∫∫π故,[]tt t t tt I I I I d )1ln(42ln 2111d )()0()1(211+−++=′=−=∫∫π.2ln 4d 1)1ln()1ln(8arctan 2ln 2110201201I tt t t t −=++−++=∫ππ因此得2ln 8π=I .以上所研究的含参量积, 只是被积函数含有参变量. 一般情况, 除被积函数含有参变量外, 积分的上、下限也含有参变量，即).(),(y b b y a a ==3. 含参变量积分的一般形式及其性质设),(y x f 是定义在区域[,][,]D a b c d =×上的二元函数其中1()x y ,2()x y 为定义在],[d c 上的连续函数,值域为],[b a . 若对于],[d c 内每一固定的y 值, ),(y x f 作为x 的函数在12[(),()]x y x y 上可积, 其积分值是y 在],[d c 上取值的函数, 表示为21()()()(,),[,],x y x y F y f x y dx y c d =∈∫称为含参量y 的正常积分或简称含参量积分.定理1.4（连续性）若函数),(y x f 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 函数1()x y 和2()x y 在[, ]c d 上连续, 并且12(),()a x y b a x y b ≤≤≤≤,()c y d ≤≤,则21()()()(,)x y x y F y f x y dx =∫在[, ]c d 上连续.证明：由函数),(y x f 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续及,),()],(),([),(),(),()()()()()()()()()()()()(2221112121∫∫∫∫∫Δ+Δ+Δ+Δ+Δ++−Δ++Δ+=−Δ+=−Δ+y y x y x y x y x y x y y x y x y x y y x y y x dx y y x f dxy x f y y x f dx y y x f dxy x f dx y y x f y F y y F.0)]()([lim 0=−Δ+⇒→Δy F y y F y 说明函数()F y 在[, ]c d 上连续.定理1.5（可导性） 若函数),(y x f 及其偏导数(,)y f x y 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 函数1()x y 和2()x y 在[,]c d 上可导, 并且12(),()a x y b a x y b ≤≤≤≤, ()c y d ≤≤, 则21()()()(,)x y x y F y f x y dx =∫在[,]c d 上可导, 且21()''2211()()(,)d ((),)()((),)().x y y x y F y f x y x f x y y x y f x y y x y ′=+−∫证明：把 F ( y )看作复合函数：2112()(,,)(,)d ,x x F y H y x x f x y x ==∫其中1122(),()x x y x x y ==. 由复合函数求导法则及变限的求导法则, 有211212()''2211()d d d ()d d d (,)d ((),)()((),)().x y y x y x x H H H F y y y x y x y f x y x f x y y x y f x y y x y ∂∂∂=++∂∂∂=+−∫例1.3计算极限12201lim1y yy dx x y +→++∫.解：易知函数1()x y y =,2()1x y y =+,2211),(yx y x f ++=都是x 和y 的连续函数, 故由定理1.4，1221()1y yF y dx x y+=++∫在0处连续, 故112220011lim lim ()(0).114y yy y dx F y F dx x yx π+→→====+++∫∫例1.4求函数()2ln 1()y yyx F y dx x+=∫的导数（0>y ）. 解：,0>∀y 暂时固定, ,0>∃ε使得.1εε≤≤y 易见函数()ln 1(,)yx f x y x+=及其偏导数1(,)1y f x y yx =+在1,[1,[2εεεε×上连续. 1()x y y =和22()x y y =在]1,[εε可导, 故由由定理1.5知()F y 可导, 且()()()()()()()()()2222323232ln 1ln 1ln 1'()2ln 1ln 111ln 1ln 12ln 1ln 1.y yy yyy yx yy dy dy F y dx y x x dy x dy y y y dx yx x xy y y y y yx+++⎛⎞∂=+−⎜⎟∂⎝⎠++=+−++−++−+=+∫∫例1.5计算积分()1,(0).ln b ax x I y dx a b x−=<<∫解：由被积函数的特点想到积分:x x x x x y x ab ab y bayln ln d −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∫y x x x xx x I b a y ab d d d ln 101∫∫∫=−=⇒.因为yx 在],[]1,0[b a ×上连续，所以交换积分顺序.11ln d 11d 1d d 0111++=+=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡==∫∫∫∫+a b y y y y x x x y I b a bay yb a例1.6 讨论函数∫+=10 22)()(dx y x x yf y F 的连续性, 其中)(x f 是]1,0[上连续的正函数.解： 令22)(),(yx x yf y x g +=, 则),(y x g 在],[]1,0[d c ×连续, 其中],[0d c ∉. 从而)(y F 在0≠y 连续.当0=y 时,0)0(=F .当0>y 时, 记 0)(min ]1,0[>=∈x f m x , 则∫+=10 22)()(dx y x x yf y F ∫+≥1 0 22dx y x y m .1arctan ym = 若)(lim 0y F y +→存在, 则≥+→)(lim 0y F y y m y 1arctan lim 0+→)0(02F m =>=π, 故)(y F 在0=y 不连续.或用定积分中值定理, 当0>y 时, ]1,0[∈∃ξ, 使;1arctan )(arctan)( )()()(11 0 2210 22yf yx f dx y x y f dx y x x yf y F ξξξ==+=+=∫∫若)(lim 0y F y +→存在, 则 =+→)(lim 0y F y y f y 1arctan )(lim 0ξ+→02>≥m π, 故)(y F 在0=y 不连续.问题1 上面最后一个式子能否写为y f y 1arctan)(lim 0ξ→0)(2>=ξπf ? 事实上,ξ是依赖于y 的，极限的存在性还难以确定.例1.7设函数)(x f 在],[b a 连续, ∫−=xcdt t x k t f k x y )(sin )(1)(, 其中],[,b a c a ∈.求证函数y 满足微分方程)(2x f y k y =+′′. 证：令)(sin )(),(t x k t f t x g −=, 则)(cos )(),(t x k t kf t x g x −=, )(sin )(),(2t x k t f k t x g xx −−=它们都在],[],[b a b a ×上连续. 而,)(cos )()( ∫−=′x cdt t x k t f x y ).()(sin )()( x f dt t x k t f k x y xc+−−=′′∫故,).()(sin )()()(sin )( 2x f dt t x k t f k x f dt t x k t f k yk y xcxc=−++−−=+′′∫∫例1.8设)(x f 为连续函数, ∫∫++=hhd d x f x F 0])([)(ξηηξ, 求)(x F ′′.解：令u x =++ηξ, 则∫∫++=h h d d x f x F 0])([)(ξηηξ,)(0∫∫+++=hx x h du u f d ξξξ.])()([)(0∫∫+−++=′hh d x f d h x f x F ξξξξ在第一项中令u h x =++ξ，在第二项中令u x =+ξ, 则∫∫+++−=′hx xhx hx du u f du u f x F ])()([)(2,).()(2)2()("x f h x f h x f x F ++−+=二、含参变量的广义积分本节研究形如∫+∞adx y x f ),(和)(,),(为瑕点b dx y x f ba∫的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性. 下面只对无穷限积分讨论, 无界函数的情况可类似处理. 1. 含参变量的广义积分的定义定义2.1设f (x , y ) 在无界区域[,][,]D a c d =+∞×上连续. 若对每个固定的[,]y c d ∈, 反常积分(,)af x y dx +∞∫都收敛, 则它的值是 y 在区间[,]c d 上取值的函数, 表示为()(,),[,]aF y f x y dx y c d +∞=∈∫,称为定义在[c, d ]上的含参量y 的无穷限反常积分, 或简称为含参量反常积分. 2. 含参量反常积分的一致收敛定义及判别方法定义2.2设f (x , y )在无界区域[,][,]D a c d =+∞×上连续. 且对任意[,]y c d ∈含参量积分()(,)aF y f x y dx +∞=∫收敛. 若对任意],,[,,0,0)(d c y N M N ∈∀>∀>∃>εε 都有(,),Mf x y dx ε+∞<∫则称含参量反常积分()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[,]c d 上一致收敛.定理2.1（ 一致收敛的柯西准则）设f (x , y ) 在无界区域[,][,]D a c d =+∞×上连续. 则含参量反常积分()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[c ,d ]上一致收敛的充要条件是：都有],,[,,,,021d c y M A A a M ∈∀>∀>∃>∀ε21(,).A A f x y dx ε<∫定理2.2（ 一致收敛比较准则）设f (x , y )在无界区域 [,][,]D a c d =+∞×上连续, 且),(),(x g y x f ≤ ,d y c ≤≤+∞<≤x a . 若()ag x dx +∞∫收敛，则()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[c ,d ]上一致收敛.证明：(,)|(,)|().A A A AAAf x y dx f x y dxg x dx ′′′≤≤∫∫∫因为()ag x dx +∞∫收敛, 所以由广义积分收敛的柯西准则, 00,,A a ε∀>∃> 0,,A A A ′∀>|()|,A Ag x dx ε′<∫从而[,]y c d ∀∈,(,)(),A A AAf x y dxg x dx ε′′≤<∫∫所以()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[,]c d 上一致收敛.3.一致收敛含参量广义积分的性质在一致收敛条件下, 含参量广义积分保持被积函数的一些重要分析性质, 如连续性、可导性和可积性.定理2.3 (连续性) 设),(y x f 在[,][,]D a c d =+∞×上连续,∫+∞adx y x f ),(关y 在],[d c 上一致收敛, 则一元函数∫+∞=adx y x f y F ),()(在],[d c 上连续.证明：因为),(y x f 在[,][,]D a c d =+∞×内一致收敛, 所以 ,,00a A >∃>∀ε使得, 0A A >∀],[d c y ∈∀,.),(ε<∫+∞Adx y x f从而, 当],[d c y y ∈Δ+时,.),(ε<Δ+∫+∞Adx y y x f又),(y x f 在[,][,]a A c d ×上连续, 所以∫Aadx y x f ),(作为y 的函数在],[d c 连续, 于是,||,0,0时当δδε<Δ>∃>∀y .),(),(ε<−Δ+∫∫A aAadx y x f dx y y x f综上知, 当δ<Δ||y 时,.3),(),(),(),(|)()(|ε<+Δ++−Δ+≤−Δ+∫∫∫∫∞+∞+AAAaAadx y x f dx y y x f dx y x f dx y y x f y F y y F定理2.4 (积分顺序交换)设),(y x f 在[,][,]D a c d =+∞×上连续, ∫+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛, 则 函数∫+∞=adx y x f y F ),()(在],[d c 可积, 并且.),(),(∫∫∫∫+∞+∞=adcdcady y x f dx dx y x f dy证明：由定理 2.3知)(y F 在],[d c 上连续, 从而)(y F 在],[d c 上可积. 由一致收敛定义,,,00a A >∃>∀ε使得, 0A A >∀],[d c y ∈∀,.),(ε<∫+∞Adx y x f由上节的定理1.3,.),(),(∫∫∫∫=A adcdcA ady y x f dx dx y x f dy从而, ,0A A >∀ 有.),(),( ),(),( ),(),(),()(∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞+∞++∞+∞d c A A a d c d c A d c A a d c Aa A dcd c a dy dx y x f dx dy y x f dydx y x f dy dx y x f dydx y x f dx y x f dy dx y x f dy y F于是,,)(),(),(),()(∫∫∫∫∫∫∫∫−=<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∞+∞+dcdcAdc A dcA a dc cd dy dy dx y x f dydx y x f dxdy y x f dy y F εε即,()lim(,)(,).dAd d cac a c A F y dy f x y dy dx f x y dy dx +∞→+∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫∫定理2.5 (积分号下求导)设),(y x f ,),(y x f y 在[,][,]D a c d =+∞×上连续,dx y x f a∫+∞),(收敛,dx y x f ay ∫+∞),(关于y 在],[d c 上一致收敛, 则dx y x f y F a∫+∞=),()(的导数存在且.),(),(dx y x f ydx y x f dy d a a ∫∫+∞+∞∂∂= 注：无界函数的积分也有类似的结论. 证明:因为),(y x f y 在[,][,]D a c d =+∞×上连续, 由连续性定理∫+∞=ay dxy x f y ),()(ϕ在],[d c 上连续.沿区间)(],[d y c y c ≤≤积分)(y ϕ, 由积分顺序交换定理, 得到.),(),(),(),()(∫∫∫∫∫∫∫∞+∞++∞+∞−===aaaycy ycay ycdx c x f dx y x f duu x f dx dx u x f du du u ϕ在上式两端对y 求导, 得,),()(∫+∞=adx y x f dy d y ϕ 定理证毕.例2.1证明反常积分2cos 1xydx x +∞+∫在(,)−∞+∞上一致收敛. 证明：由于y R ∀∈有22cos 1,11xy x x≤++ 而反常积分201dx x +∞+∫收敛, 故由比较判别法知含参量反常积分2cos 1xydx x+∞+∫在(,)−∞+∞上一致收敛. 例2.2证明含参量反常积分2ux e dx +∞−∫在[,)a +∞上一致收敛(0>a ) .证明：由于[,),u a ∀∈+∞22.ux ax e e−−≤而反常积分2ux e dx +∞−∫收敛, 故由M 判别法知含参量反常积分2ux e dx +∞−∫在[,)a +∞上一致收敛.例2.3计算积分sin sin , ( 0 , ).pxbx axI e dx p b a x+∞−−=>>∫解：由于被积函数函数可表示成积分:sin sin cos b a bx axxydy x−=∫. 已知],[b a y ∈∀,cos .pxpx exy e −−≤而无穷积分0pxIedx +∞−=∫收敛, 故由定理2.2,cos px e xydx +∞−∫在区间],[b a 一致收敛.由定理2.4，交换积分次序得()00sin sin cos b pxpxabx axI edx e xydy dxx+∞+∞−−−==∫∫∫cos bpx adx e xydy +∞−=∫∫220cos b bpx aapdy e xydx dy p y+∞−==+∫∫∫arctanarctan .b a p p=− 例2.4设),(y x f 在],[],[d c a ×+∞连续，对),[d c 上每一个y ,dx y x f a∫+∞),(收敛, 但积分在d y =发散. 证明这积分在),[d c 非一致收敛.证：（用反证法）若积分在),[d c 一致连续, 则)(,00εεA ∃>∀, 当)(',0εA A A ≥时, 对一切),[d c y ∈均有.|),(|'ε<∫A Adx y x f （1）由假设),(y x f 在],[]',[d c A A ×连续, 故∫'),(A Adx y x f 是y 的连续函数. 在式（1）中令d y →取极限 ε≤==∫∫∫→→→|),(lim ||),(lim ||),(|lim '''A A dy A Ad y A Ady dx y x f dx y x f dx y x f .由ε的任意性, 所以∫+∞adx y x f ),(在d y =点也收敛, 这与已知矛盾. 故dx y x f a∫+∞),(在),[d c 非一致收敛.。
第十九章 含参量积分
§3 欧拉积分
§1 含参量常义积分
一、含参 是定义在矩形域 R(a x b, c y d ) 上的二元 函数, 当
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
f ( x, y ) 则是定义在 [c, d ]
c x x0
d
即定义在矩形域上连续， 其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.
定理19.2
若二元函数 f ( x, y )在区域
G ( x, y ) c( x ) y d ( x ), a x b
上连续,其中 c(x ) , d (x ) 为定义在 [a , b] 上的连续函数,则函数
函数 c x ， d x 为 a, b 上的连续函数，
且对 a, b 内每一点 x ，函数 f x, y 关于 y
y
y d ( x)
则定义了 在闭区间 cx , d x 上可积，
x 的函数
F x =
dx
y c( x )
c x
f x , y dy ， x a, b
d( x)
c( x )
f ( x , y )dy 在 [a , b] 上可微, 且
d( x)
c( x )
f x ( x , y )dy f ( x , d ( x ))d ' ( x ) f ( x , c( x ))c ' ( x ).
d ( x)
: 证 : 将F ( x )看作复合函数 F ( x ) H ( x, c, d ) c ( x ) f ( x, y )dy,
a c
u
d
因为H ( u, y )与H u ( u, y ) f ( u, y )都在R上连续， 由可微性
含参变量的积分
第五节 含参变量的积分
【例3】
求 解 因为
所以
令x=sin θ，则
第五节 含参变量的积分
于是
谢谢聆听
含参变量的 积分
第五节 含参变量的积分
本节不仅给出含参变量积分确定的函数的连续性、可微 性、二次积分可交换性、求导公式，还通过例子进一步说明如 何用这些性质计算一些特殊类型的定积分.
设f(x,y)是定义在矩形区域［a,b］×［c,d］上的连续函数，
在a,b上任意取定x的一个值，于是f(x,y)是变量y在c,d上的一个
因此，在式(9-23)的两边取极限（当Δx→0时），即得公式 （9-21）.
公式(9-21)称为莱布尼茨公式.
第五节 含参变量的积分
【例1】
设 解 由莱布尼茨公式，得
第五节 含参变量的积分
【例2】
求 解 因为
所以
这里函数f(x,y)=xy在矩形［0,1］×［a,b］上连续，由定理 3知，可交换积分次序，由此有
都在
第五节 含参变量的积分
于是
,因此对
(C为常数).又F(a)=0=G(a)，所以
特别地，F(b)=G(b)，即
第五节 含参变量的积分
以上所讨论的含参变量积分，其上、下限c与d都为常数.实际上 还会遇到上、下限依赖于x的情况，即形如
的含参变量x的积分.下面考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的 某些性质.
（9-21）
第五节 含参变量的积分
证明
(1)对于x,x+Δx∈［a,b］，有
（9-22）
当Δx→0时，式(9-22)右端的第一个积分趋近于零（与证明定理1 时同样的理由）.
由积分中值定理和函数f(x,y)的连续性可知
第五节含参变量的积分优秀课件
(y )d y a bf(x ,y )d xd yD f(x,y)dxdy
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
b
b
adx f(x,y)dydyaf(x,y)dx
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定理3. (可微性) 若 f(x,y)及其偏 fx(x导 ,y)都数 在
1 1 t20 11 x x2 1 tx2 1 ttxdx
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1 1 t2 1 2 l1 n x 2 ( ) tarx c lt 1 n a tx ( )n 10
故
1 1 t21 2ln 2 4t ln 1 t()
I(1 ) (0 ) 0 11 1 t2 1 2 l2 n 4 t ln 1 t) (d t
定理1.(连续性) 若 f(x,y)在矩 R [a 形 ,b ] [,域 ]
上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续.
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证: 由于 f(x,y)在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即
任给 0,存在 0,对 R 内任(意 x1,y1),两 (x2,y2 点 ),
1ln2arctatn1 ln1(t2)
2
08
1 0
01l1n1(t2t)dt
ln2I
4
因此得
I ln 2
8
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设f(x,y)为定义在区域
(x )y (x )
D : axb
上的连续函数, 则
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ca
ac
例2 求定积分
1 x2 x
I 0
dx. ln x
解 这里被积函数在 x 0及x 1 处无定义.但易求出
lim x2 x 0 且 lim x2 x 1.
x00 ln x
x10 ln x
因此，x 0及x 1 是被积函数的第一类间断点.经过补 充定义后，被积函数在[0,1]上是连续的.所以，上述积
lim
y y0
g(
y)
g(
y0
)
即
b
b
b
lim
y y0
a
f (x, y) dx
a
f (x, y0) dx
a
lim f (x, y) dx
y y0
也就是说在定理的条件下，极限运算和积分运算可以 交换次序，或者说极限运算可以通过积分号。
例1
求
lim
1
x
arctan dx.
y1 0
y
解 被积函数在闭矩形域：{( x, y) | 0 x 1,1 2 y 2}
b
a
lim
y0
f y (x,
y
y) dx
b
a fy (x, y) dx
定理证毕.
例3 求定积分
I (r) ln(1 2r cos x r 2 )dx (| r | 1).
解
0
不难看出当 |
r
| 1时 | 1
r2
| 1,因而1 2r
cos
x
r2
0,
2r
即被函数当0 x .1 r 1时有定义. 我们取正数 q使得 :
分仍是正常积分.另外，由
则
2 x ydy
x2 x
(0 x 1),
1
ln x
I
1
dx
2 x ydy
01
由于函数 x y 在 [0,1][1,2]上是连续函数.故由定理2知 上述累次积分可交换次序，即有
I
1
dx
2 x ydy
2
dy
1 x ydx
2
dy
ln 3 .
01
1
0
1 y 1 2
定理 3 设 f (x, y) 和 f y (x, y) 都在矩形 [a,b; c, d] 上连续，
则
g( y)
b
f (x, y) dx
b
f (x, y) dx
y
y a
a y
即求导运算与积分运算可以交换次序，或者说微分运算 可以通过积分号.
证明 y [c, d] 要证
lim g( y y) g( y)
dx
lim
t
0.
xt etx 2
x
lim
t
x 2 etx 2
y 0 y0 2
0.
定理 2 设 f (x, y) 在矩形 [a,b; c, d] 上连续，则
b
g( y) a f (x, y) dx
在c , d 可积且有
d
bd
g( y)dy f (x, y)dy dx
c
ac
db
bd
即 dy f (x , y)dx dx f (x , y)dy 。
y0
y
b
a f y (x, y) dx
因为
g( y y) g( y) b f (x, y y) f (x, y) dx
y
a
y
由拉格朗日中值定理，有
于是
f
(x,
y y) y
f
(x, y)
f y (x,
y
y)
g( y y) g( y)
lim
y0
y
lim y0
b a
fy (x, y y) dx
上连续，所以当 y [1 2, 2] 时可在积分号下求极限，即
lim
1
arctan
x
dx
1
lim
arctan
x
dx
y1 0
y
0 y1
y
1
arctan xdx
1 ln 2.
0
42
注意：在积分号下求极限是有条件的，就是二元函
数 f (x, y)在R：[a,b][c, d ] 上连续时， 才可以作.下面的例
| r | q 1. 显然函数 ln(1 2r cos x r 2 )及函数
b
g( y) a f (x, y) dx
是 [c, d ] 上的连续函数。
证明： y [c, d]
要证 lim[g( y y) g( y)] 0 y0
b
b
g( y y) g( y) a f (x, y y) dx a f (x, y) dx
b
a [ f (x, y y) f (x, y)]dx
设 f (x, y) 在闭 矩形域 [a,b; c, d] {(x, y) | a x b, c y d}
上连续。把 y 固定，函数 f (x, y) 成为 x 的一元函数，
若这个函数在 [a, b] 上可积，则
b
g( y) a f (x, y) dx
是一个与 y 有关的数，它是 y 的函数，其定义域
为 [c, d ] 。 称积分
b
a f (x, y) dx
为含参变量的正常积分，参变量是 y 。
d
类似地称 J (x) f (x, y) dy c
为含参变量 x 的积分。
I ( y) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我
们研究这种函数的连续性，可微性与可积性等定理。
定理 1 设 f (x, y) 在闭矩形域 [a,b; c, d] 上连续，则
11-2 含参变量的正常积分
我们经常遇被积函数含参变量的定积分，如
e1 x2 sin dx 与 0
0
sin x x
dx等，
其中 与 是参变量.显然，这种定积分的值依赖于参
变量，并且是参变量的函数. 一般说来，我们无法将
这种积分表示成参变量的初等函数.然而我们却需要知 道这种函数的性质：如是否连续？是否可导？如何求 它们的导数与积分？等等.
子说明积分号下求极限并不成立：
lim
y0
1 0
x y2
e
x2 y2
dx
1
lim
0 y0
x y2
e
x2 y2
dx.
事实上，有
lim
1
x
e
x2 y2
dx
lim
1
(1
e
1 y2
)
1.
y y0 0 2
y0 2
2
对于任意固定的 x, 我们有
从而
lim
y0
x y2
1
lim
e
e
x2 y2
oxy平面上的投影为 R. 函数值
b
g( y) a f (x, y) dx
是固定y时图中所示截面之面积 .当y连续变动时，这个截 面
面积也在连续变动 . 说明 g( y) 在 [c, d ] 上连续。
定理1说明：当二元函数 f (x, y)在R 上连续时， g( y)在[c, d ]
上也连续，即对任意 y0 [c, d ], 有
b
| g( y y) g( y) | a | f (x, y y) f (x, y) |dx
定理 1 设 f (x, y) 在闭矩形域 R :[a,b][c, d ] 上连续，则
b
g( y) a f (x, y) dx
是 [c, d ] 上的连续函数。
几何说明： 将u f (x, y)视作空间中一张曲面 ， 它在