人教版九年级数学下册竞赛专题13 旋转变换.doc

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专题13 旋转变换
阅读与思考
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．
旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；
（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．
例题与求解
【例1】如图，边长为1的正△A 1B 1C 1的中心为O ，将正△A 1B 1C 1绕中心O 旋转到△A 2B 2C 2，使得A 2B 2丄B 1C 1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为＿＿．
（“新知杯”上海市竞赛试题）
解题思路：S 六边形ABCDEF ＝22223A B C B CD S S ∆∆-，解题的关键是寻找CB 1，CB 2，CD ，C 1D 之间的关系．
【例2】如图，已知△AOB ，△COD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠CQD ＝90°，N ，M ，Q ，P 分别为AB ，CB ，CD ，AD 的中点． 求证：四边形NMQP 为正方形．
解题思路：连结BD ，AC ，并延长AC 交于点E ，则△OAC 可以看作是由△OBD 绕点O 逆时针旋转90°得到的，且∠AED ＝90°，这是证明本例的关键．
Q
A
B C
D
E
M N
O
P
A
B
C D
E
F O
1
A 1
B 1
C 2
A 2
2
【例3】如图，巳知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为形内一点，且∠APB ＜∠APC ． 求证：PB ＞PC ． （北京市竞赛试题）
解题思路：以A 为中心，将△APB 旋转一个∠BAC ，使AB 边与AC 边重合，这时△APB 到了△AP 'C 的位置．
【例4】点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠
CED ，直线AE ，BD 交于点F ．
（1）如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝＿＿＿＿； （2）如图3，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝＿＿＿＿（用含α的式子表示）；
（3）将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A ，B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿．
请你任选其中一个结论证明． （武汉市中考试题）
解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC ∽△EDC ，△BCD ∽△ACE ，这是解本例的关键．
A
B C
D
E
F
图1
A B
C
D
E
F
图2
A
B C
D
E
F
图3
A
B
C
D
E
F 图4
A
B
C
D
E
F
图5
Q A
B C P
P '
【例5】如图，已知凸五边形ABCDE 中，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，∠ABC ＝2∠DBE ．
求证：∠ABC ＝60°． （北京市竞赛试题） 解题思路：将△ABE 以B 为旋转中心顺时针旋转∠ABC ，使得AB 与BC 重合，落在△CBE '位置，则△ABE ≌△CBE ′，AE ＝CE ′，BE ＝BE ′，∠CBE ′＝∠ABE ．
【例6】如图，已知正方形ABCD 内一动点E 到A ，B ，C 26 方形的边长． （广东省竞赛试题）
解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E 点的位置，通过旋转变换，把EA ，EB ，EC 连结起来．
能力训练
A 级
1．如图，巳知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落
在直线BC 上的点F 处，则F ，C 两点的距离为＿＿＿＿． （上海市中考试题）
A
B
C
D
E
E '
A B
C D
E
2．如图，P 是正△ABC 内的一点，且P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△P AC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P 'AB ，则点P 与点P '之间的距离为＿＿＿＿，∠APB ＝＿＿＿＿．
（青岛市中考试题）
3．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∠BCD ＝45°．将CD 以点D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连结AE ，则△ADE 的面积是＿＿＿＿．
4．如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝＿＿＿＿．
（上海市中考试题）
5．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转60°至AB 'C 'D ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．
（全国初中数学联赛试题）
6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ．以斜边BC 上距离点B 6cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．
（黄冈市竞赛试题）
7．如图，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△A 'B 'C ，设点A '的坐标为（a ，b ），则点A 的坐标为（ ）
A ．（a -，b -）
B ．（a -，1b --）
C ．（a -，1b -+）
D ．（a -，2b --）
（河南省中考试题）
A
B
C
D
第4题
A B
C
D
B '
C '
D '
第5题
A
B
C
D
E
F G H K P
第6题
A B
C
D
第1题
A
B
C
P P '
第2题
A
B
C
D
E
第3题
x
y
O
A
B
C
B '
A '
第7题
A
B
C
P
第8题
A
B
C
P
第9题
8．如图，已知P 是等边△ABC 内部一点，∠APB ︰∠BPC ︰∠CP A ＝5︰6︰7．则以P A ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）
A ．2︰3︰4
B ．3︰4︰5
C ．4︰5︰6
D ．不能确定
（全国初中数学通讯赛试题）
9．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，P 是△ABC 内一点，则（ ） A ．P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋AC B ．P A ＋PB ＋PC ＞AB ＋AC C ．P A ＋PB ＋PC ＝AB ＋AC
D ．P A ＋R B ＋PC 与AB ＋AC 的大小关系不确定
（武汉市竞赛试题）
10．已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ．连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△F ′OE ′（如图2）．
（1）探究A 'E 与BF ′的数量关系，并给予证明； （2）当α＝30°时，求证：△AOE '为直角三角形．
（南通市中考试题）
11．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ＝α，点M ，N 分别是BE ，CF 的中点．
（1）若点A 与点D 重合，点E ，F 分别在AB ，AC 上（如图1），则AM 与AN 的数量关系是＿＿＿＿，∠MAN 与α的数量关系是＿＿＿＿；
（2）将图1中的△DEF 绕点A （D ）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A
B
C
D
E F
O
图1
A
B
C
D
E '
F '
O
α
图2
B 级
1．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，∠MDN ＝60°，则△AMN 的周长＝＿＿＿＿．
（重庆市竞赛试题）
2．如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN ＝45°，记AM ＝m ，MN ＝x ，BN ＝n ，则以线段x ，m ，n 为边长的三角形的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．随x ，m ，n 的变化而变化
（安徽省竞赛试题）
3．如图，直线y ＝4
43x -+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后
得到△AO 'B '，则点B ′的坐标是（ ）
A ．（3，4）
B ．（4，5）
C ．（7，4）
D ．（7，3）
（丽水市中考试题）
4．如图，正方形ABCD 中，已知AB 3BC ，CD 上，且∠BAE ＝30°，∠DAF ＝15°，求△AEF 的面积．
A B
C ()
D E
F
M
N 图1
A B
C
()
D E
F
M
N
图2
A B
C
M N 第1题
A
B C
M
N 第2题
x
y
O
第3题
（“希望杯”邀请赛试题）
5．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°． 求证：BC ＋DC ＝AC ；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝120°，求证：P A ＋PD ＋PC ≥BD ．
（江苏省竞赛试题）
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，△ADE 是正三角形，点D 在边BC 上，已知BD ︰DC ＝2︰3，当△ABC 的面积是50cm 2时，求△ADE 的面积．
（日本数学奥林匹克试题）
7．如图，已知O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AQB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，P 是△ABC 内任一点．求证：P A ＋PB ＋PC ≥OA ＋OB ＋OC ．
（杭州市竞赛试题）
A
B
C
D E
F
第4题
A
B
C
D
图①
A B
C
D
P
图②
第5题
A
B
C
D
E
第6题
A
B
C
O
P
第7题
8．（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ），B ，C ，G 在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MD ，MF 的关系；
（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45°，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转α，M 为AE 的中点．试问：第（1）问中探究的结论是否成立？
（大连市竞赛试题）
9．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，BE ＝EF ，∠BEF ＝90°．按图1的位置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连结EG ，CG ．
（1）探索EG ，CG 的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°，再连结DF ，取DF 中点G （如图2），第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；
（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意角度（在0°～90°之间），再连结DF ，取DF 的中点G （如图3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明．
10．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD ．记旋转角为α，∠ABO 为β．
（1）如图1，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；
A B
C
D
E
F G
M 图1
A B
C
D
E
F
G
M 图2
A B
C
D
E
F
G
M
图3
A
B
C
D
E F
G
图3
A
B
C
D
E
F
G
图2
图1
A
B
C
D
E F
G
（2）如图2，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系； （3）当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．
（天津市中考试题）
11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AD ，点P 在△ABC 内，且P A 3PB ＝5，PC ＝2，求△ABC 的面积．
（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）
中考数学知识点代数式 一、 重要概念
分类：
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独
的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。

(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)
几个单项式的和，叫做多项式。

A
C
D
O y
x
图1
B
A
C
D
O y
x 图2
B
第10题
A
B
C
P
第11题
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，
=x, =│x│等。

4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);
⑵算术平方根与绝对值
①联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数
⑴( —幂，乘方运算)
①a>0时，>0;②a0(n是偶数)，⑵零指数：=1(a≠0)
负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)
二、运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2.分式的性质
⑴基本性质：= (m≠0)
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)
3.整式运算法则(去括号、添括号法则)
4.幂的运算性质：①· = ;②÷ = ;③= ;④= ;⑤
技巧：
5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6.乘法公式：(正、逆用)
(a+b)(a-b)=
(a±b) =
7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8.因式分解：⑴定义;⑵方法：a.提公因式法;b.公式法;c.十字相乘法;d.分组分解法;e.求根公式法。

9.算术根的性质：= ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)
10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：a. ;b. ;c. .
11.科学记数法：(1≤a<10,n是整数
11。