数学分析与高等代数考研真题详解--中山大学卷

∫ ∫ ln
DA
⎡2+ y ⎢⎣1+ x2
⎤⎥⎦dx
+
x( y +1) 2+ y
dy
=
1 y +1dy = 2 − ln 3 −1 2 + y
在直线 AB : y = 1上, dy = 0 , 此时
∗ 解答人： 刘权辉 五邑大学 3
博士家园系列内部资料
∫ ∫ AB
ln
⎡2+ y ⎢⎣1+ x2
⎤⎥⎦dx
∫ 3．（16 分）计算
C
ln
⎡2+ y ⎢⎣1+ x2
⎤⎥⎦dx
+
x( y +1) dy , 2+ y
其中 C 为四条直线 x
= ±1, y
=
±1所围区域
的正向边界．
∑ 4．（16
分）求极限 lim x→0
∞ n=1
x2
(−1)n + 2n
．
n(n +1)
5．（16 分）设函数 f (x, y) 在 a ≤ x ≤ A,b ≤ y ≤ B 上连续, 而函数列{ϕn (x)}在[a, A] 一致 收敛, 且 b ≤ ϕn (x) ≤ B , (n = 1, 2,...) ．证明函数列 Fn (x) = f (x,ϕn (x)) , (n = 1, 2,...) , 在
1
≤ n(n +1)
x2 + 2n
2n
n(n +1)
而利用达朗贝尔判别法, 我们可以知道
∑∞
n=1
n(n +1) 2n
收敛,
∑∞
所以级数
(−1)n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n=1 x2 + 2n
在 x ∈[−1,1] 一致收敛, 于是就有了
n(n +1)
∑ lim
x→0
∞ n=1
x2
(−1)n + 2n
∑ =
∞ n=1
lim
∫ ∫ CD
ln
⎡2+ y ⎢⎣1+ x2
⎤⎥⎦dx
+
x( y +1) 2+ y
dy
=
1 −1
ln
⎡ ⎢⎣1
1 +x
2
⎤⎥⎦dx
=
−
ln
4
+
4
−
π
∫ 所以,
C
ln
⎡2+ y ⎢⎣1+ x2
⎤⎥⎦dx
+
x( y +1) dy 2+ y
= 4 − 4 ln 3 ．
（此题亦可利用格林公式）■
4． 解 由于在 x ∈[−1,1] 时,
x→0
x2
(−1)n + 2n
∑ = ∞ n(n +1) n=1 (−2)n
n(n +1)
n(n +1)
∑ 令 f (x) = x ∞ n(n +1)xn−1 , 则 f (x) 在 x ∈[− 3 , 0] 中一致收敛, 所以有了
n=1
4
∑ f
(x)
=
x
⎛ ⎜⎝
∂2z = sin(x + y) cos2 ( y + z) + sin( y + z) cos2 (x + y) ． ■
∂x∂y
cos3( y + z)
3． 解 令 A = (1,1), B = (−1,1),C = (−1, −1), D = (1, −1) ．
在直线 DA : x = 1上, dx = 0 , 此时
中山大学
2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题
∫x
1．（16 分）讨论 f (x) = (t −1)(t − 3)dt 在[0, 5] 的极值与最值． 0
2．（16 分）已知方程 sin(x + y) + sin( y + z) = 1 确定隐含数 z = z(x, y) , 求 ∂2 z ． ∂x∂y
3
3
2． 解 在等式的两边同时对 x 求偏导数
(Ι) cos(x + y) + cos( y + z) ∂z = 0 ∂x
求得 ∂z = − cos(x + y) ∂x cos( y + z)
(ΙΙ) cos(x + y) + cos( y + z)(1+ ∂z ) = 0 ∂y
求得 ∂z = − cos(x + y) −1 ∂y cos( y + z)
[a, A] 也一致收敛．
2
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2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答∗
1． 解 令 f '(x) = (x −1)(x − 3) = 0 , 得稳定点 x = 1, x = 3
f ''(x) = (x − 3) + (x −1) = 2x − 4 , 从而有 f ''(1) = 2 − 4 = −2 , f ''(3) = 2 × 3 − 4 = 2
0
3t2
0
−
4t
+
3dt
=(1 3
t3
−
2t 2
+
3t)
|30
=
0
∫ ∫ f (5) =
5
(t −1)(t − 3)dt
0
=
5t2
0
− 4t + 3dt
=(1 t3 − 2t2 3
+ 3t) |50 =
20 3
所以 f (x) 在[0, 5] 的极大值为 4 , 极小值为 0, 最小值为 0, 最大值为 20 ． ■
所以 f (x) 在[0, 5] 中存在极大值 f (1) 和极小值 f (3) , 又因为 f (0) = 0
∫ ∫ f (1) =
1
(t
0
−1)(t
− 3)dt
=
1t2
0
− 4t
+ 3dt
=(1 t3 3
− 2t 2
+ 3t) |10 =
4 3
∫ ∫ f (3) =
3
(t −1)(t − 3)dt =
再将等式 (Ι) 的两边同时对 y 求偏导数, 得
− sin(x + y) + [− sin( y + z)(1+ ∂z ) ∂z + cos( y + z) ∂2z ] = 0
∂y ∂x
∂x∂y
将 ∂z = − cos(x + y) , ∂z = − cos(x + y) −1代回上式, 得 ∂x cos( y + z) ∂y cos( y + z)
博士家园系列内部资料
数学分析与高等代数考研真题详解
中山大学考研数学专卷
目录
2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2007 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2008 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》十试题解答 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2009 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 2009 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题
+
x( y +1) 2+ y
dy
=
−1 1
ln
⎡ ⎢⎣1
3 + x2
⎤⎥⎦dx
=
−2
ln
3 2
−
4
+
π
在直线 BC : x = −1上, dx = 0 , 此时
∫ ∫ BC
ln
⎡2+ y ⎢⎣1+ x2
⎤⎥⎦dx
+
x( y +1) 2+ y
dy
=
−1
−
y +1dy
=
2 − ln 3
1 y+2
在直线 CD : y = −1上, dy = 0 , 此时