巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题

巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题

一、温故知新

如果a , b ∈R +，那么 （当且仅当a =b 时，式中等号成立） 二、 典例精讲

典例1、正数a ，b 满足1a ＋9

b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2

＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A ．[3，＋∞)

B ．(－∞，3]

C ．(－∞，6]

D ．[6，＋∞)

解：a ＋b ＝(a ＋b )

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋

9a

b

≥16⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝4，

b ＝12时取“＝”，故只需－x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.

典例2、已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c ，求n 的最

大值．

解法一：∵1a －b ＋1b －c ≥n

a －c ，且a >

b >

c ，

∴n ≤a －c

a －

b ＋a －

c b －c ＝(a －c )2

(a －b )(b －c )

.

ab b a ≥+2

∵对a 、b 、c 上式都成立，∴n ≤⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

(a －c )2(a －b )(b －c )min

(a －c )2

(a －b )(b －c )≥(a －c )2

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥

⎥⎤(a －b )＋(b －c )22

＝4. ∴n 的最大值为4.

解法二：∵a >b >c ，∴a －c

a －

b ＋a －c

b －c

＝(a －b )＋(b －c )

a －

b ＋

(a －b )＋(b －c )

b －c

＝2＋b －c a －b

＋

a －

b b －c

≥2＋2＝4.

∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 三、 归纳总结

基本不等式中含参数恒成立问题：利用基本不等式性质先求出最值，然后分离参数即可得出参数的范

围。 四、 迎接挑战

1、若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是

________． 2、已知实数a >0，b >0，且

ab ＝1，若不等式(x ＋y )·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a x ＋

b y >m ，对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A ．[4，＋∞)

B ．(－∞，1]

C ．(－∞，4]

D ．(－∞，4)

答案：

1、解析：∵x >0，∴x

x 2＋3x ＋1

＝1

x ＋3＋

1x

≤12＋3＝15 ∴a ≥1

5.

2、解：因为a ，b ，x ，y

为正实数，所以(x ＋y )·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay

x ＝

bx

y

，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.