“用二分法求方程的近似解”教案

“用二分法求方程的近似解”教案

一、教学目标

1．让学生掌握二分法，并能利用计算器或计算机用二分法求方程的近似解；

2．培养和加强函数与方程思想和数形结合思想的运用．

二、教学重点

通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数的观点处理问题的意识．

三、教学难点

１．理解方程实根的本质及几何意义；

２．对方程近似解精确度的把握．

四、教具

以几何画板课件为主．

五、教学过程

１．问题情境（旨在引导学生感知寻求新方法解方程之必要性——为什么）

【问题１】求方程323310x x x -+-=的实根．

【解析】由配方可得3(1)0x -=，所以1x =．

【问题２】解方程321109140x x x ++-=...．

教师：方程左边无法配方，所以我们暂时还无法解此方程．以

前数学家也有像解一元二次方程那样去寻找一元三次方程的求根

公式，但因其推导过程比较复杂且公式不易记忆，所以中学课本 图1

一般都不作介绍．当然，我们现在可以利用几何画板来求解．在几何画板上绘出函数321109140x x x ++-=...的图象，在图象上选取一个点并度量其横坐标以及纵坐标．当移动该点时，函数值就会相应地改变．当函数值为0或接近0时，这个横坐标的值（0.67066）就是此方程的（近似）解（见图1）．

学生：这方法简单，又易操作，很好！

教师：此法虽简单，但其精度无法估算．能否寻找一种比较通用的、特别是可以利用程序让计算机自动求解的其它方法呢？

【问题３】孔子（前551－前479），名丘，字仲尼，

鲁国人．中国春秋末期伟大的思想家和教育家，儒家学派

的创始人．全世界300万姓孔的人都可能被认为是孔子的

后代．孔子的族人传承2550年至今，已繁衍有82代．假

设三代同堂的话，那么一个父母每个世代平均繁衍的数量

是多少？

【解析】设一个父母每代平均繁衍的数量为x 个，则

7980813000000x x x ++=．此方程现在我们也无法解．类

似地，我们用几何画板先绘出函数798081y x x x =++的图 图2

象，然后利用度量功能，估算出当函数值等于或接近3000000时方程的近似解 1.18836x ≈（见图2）．由于指数太大，曲线几乎是垂直上升，所以操作起来很不方便．为了使移动点更方便些，也可把点选在x 轴上，而不是在曲线上，然后再计算其函数值．

一般地，高于4次的一元高次方程就不再有求根公式可寻了，（有兴趣的学生可以自己去阅读有关高次方程解的书籍或上网查找相关的网页）这就更加使得寻找一种新的求解方程方法的必要．（利用二分法解此方程，可得 1.1883x ≈个）

２．新课引入（旨在引导学生怎样寻求一种恰当的方法——怎么样）

【问题１】人们常说“天下乌鸦一般黑”，如果有人对此有怀疑，想要否定它，他该如何做？

教师：当结论只有成立或不成立两种情形时，可用反证法．譬如，我们找到了一只或几只（换句话说就是至少有一只）白乌鸦，那么就可以否定“天下乌鸦一般黑”．

【问题２】当电灯不亮的时候，若要寻找原因，我们是如何做的？

教师：我们一般会检查电灯或开关是否坏了，抑或是保险丝烧了、外部线路坏了，等等．如果是外部线路坏了，而线路又很长（譬如几千米甚至几十千米以上），我们要进一步确定线路究竟坏在那里时，一般有经验的电工总是先根据停电的范围来确定断路的可能区间，再采用对分法来逐段排除，从而很快地找到线路究竟坏在何处．这种方法叫做分类归缪法．

引导：解决问题的途径一般有两种，一是从已知条件→结论（演绎推理），二是从问题的结论→已知信息→与已知条件矛盾．后一种方法又常采用归缪法，它又可细分为：（１）反证法．当结论只有成立或不成立两种情形时．譬如，我们要说明平面内两条直线的位置关系——平行或相交时，即可用反证法．譬如，两直线不相交，它们就必平行；反之，如果它们不平行，它们就必相交．（２）选择法．供选择的结论不多．

【例】下列那一项是三次方程32

47100x x x +--=的解？

A ．－2

B ．－5

C ．4

D ．3

（３）分类归缪法．供选择的结论很多．譬如，要证明有关三角形的某个定理，我们并不是对每个三角形进行论证的，而是分别从锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形等三种情形加以证明．

思考：分类归缪法与方程的解有关系吗？（类比法难在要找出似乎毫无关联的两类事物之间的相同之处）

引导：从前一节我们了解了方程的根与函数零点的关系，事实上，零点就是对应方程的实根，它是方程的精确解．但在实际问题中，这个解一般不易求出，在应用上，我们更多地是求满足一定精确度的近似解．很显然，要找到零点，就像电工师傅一样，可用分类归缪法来寻找，即在一个单调区间内，若两端点处的函数值同号，那么区间内对应方程必定无实根；反之，若两端点处的函数值异号，那么区间内对应方程必定有一实根（为方便起见，一般取其中点作为近似解）．通过逐个排除，从而逐渐缩小区间的范围，直到找出满足精确度的近似解．为了便于计算机计算，在求方程的近似解时，可采用二分法．（其实，如果我们借助几何画板寻找零点时就不一定要用二分法）

３．新课（怎么做）

让学生陈述课前预习时所掌握的二分法的原理以及解题步骤．教师在黑板上作纪录，并

逐步补充完整．

注意：（１）从几何上看，求方程的解其实是找相应函数图象与x 轴交点或两个函数图象交点的横坐标，而二分法并不是直接寻找交点，而是寻找函数值变号的一个尽可能小的区间中的某个值；

（２）求方程的近似解时，精确解（m ）是未知的．当相邻两个近似解满足1||(*)i i x x i N ε--≤∈时，由1()()0i i f x f x -<，说明精确解介于1i x -和i x 之间，故有1||(*)i x m i N ε--≤∈或||(*)i x m i N ε-≤∈，所以1i x -和i x 都已满足精确度，均可作为近似解．所以通过比较相邻两个的近似解可以确定精确度；

（３）如果方程有整数解，那么用二分法解方程反而有可能得不到此解；同样地，如果方程有重根，即相应函数在区间端点的函数值不变号，曲线与x 轴相切时，这个解也可能求不出．

【例１】用二分法求方程32

1109140x x x ++-=...在0与1之间的实根的近似值，使误差不超过0.001．

为方便起见，可借助几何画板的计算功能进行演示（见图3）．

操作过程：①根据精确度要求，通过参数选项选择精确度（如万分之一）；

②绘制函数图象；

③利用函数计算函数值，同时计算区间中点的值；

④计算误差，并确定近似解．

由计算可知，此方程的近似解

为0.670x ≈或0.671x ≈．（事实

上，从函数值来看，0.671x ≈会

更精确些．显然，要得到一个比较

精确的值，其计算次数是比较大

的．（说明其收敛速度慢，所以在

实际应用中比较少用）

练习：

（１）求方程

ln 260x x +-=的近似解，

使误差不超过001.．

（为了减少计算量，可先作出

函数ln y x =和26y x =-+的图

象，确定其交点横坐标的大概值． 图3

练习时，可让同桌同学合作，一个计算，另一个纪录）

（２）借助计算器用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度0.1）．

４．拓展探究（从几何画板方面）

【例２】利用几何画板求方程237x x +=的近似解（精确度0.0001）．

【解析】几何画板中用解析式绘制的函数图象与坐标轴不能构造交点，但利用不是用解析式绘制的图形，那是可以构造交点并度量其坐标的．既然是求方程的近似解，所以我们可