运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律

1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系

着重明确:

力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）.

JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律

两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上.

2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.

JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理:

如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响.

m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =…

n

a a a a r

L r r r +++=21n

a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i

n F F F F r r L r r 21),,(t r

r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数.

JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力

1）在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度.

2）万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2

2

1

/r m Gm F =3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观

（1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的.

JLU 物理与光电工程学院（2）经典力学时空观：经典力学中认为时间和空间都是均匀的、各向同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时间间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考系的运动而变化.经典力学时空观又称绝对时空观.

（3）伽利略变换：伽利略变换是力学相对性原理和经典力学时空观的集中体现

'

'o v v v r r r −='

'o v v v r r r +=a

a r r ='⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧===−=t t z z y y t v x x o '''''或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+='

'''''t t z z y y t v x x o

JLU 物理与光电工程学院§1.5 质点运动微分方程

一、微分方程建立

1. 自由质点的运动

限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自由质点。)

,(),;(为已知且为合力F t r r F r m r

&v r r &&r =1) 直角坐标系:

()()()⎪⎩⎪

⎨⎧===t z y x

z y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x ,,,,,,,,,,,,,,,,,,&&&&&&&&&&&&&&&三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：

可解得质点的运动规律。

o

r r r r t &r &r r r ===,,0时

JLU 物理与光电工程学院2)平面极坐标:

若质点在xOy 平面上运动:

⎩

⎨⎧==y x F y m F x m &&&&()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=−),,,,(2),,,,(t r r F r r m t r r F r r m r

θθθθθθθθ&&&&&&&&&&&&或2. 非自由质点的约束运动

若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.

一般采用自然坐标系.

R

F r m r r &&r +=主质点运动的约束微分方程：

JLU 物理与光电工程学院1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧+=+==)

3(0)2()1(2

b b n n R F R F v m

F dt

dv

m ρ

τ(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解. b

R

F

τn 2) 非光滑约束

2

(1)(2)0(3)n n b b dv m F R dt v m

F R F R ττρ

⎧=+⎪⎪⎪

=+⎨⎪⎪=+⎪⎩

2

222

2b n b n N R R R R R R R R ++=

+==ττμμ4个方程4个未知数,可解

JLU 物理与光电工程学院二、运动微分方程求解

两类基本问题：1)已知运动求力

2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。解体步骤：1）作图，受力分析;

2）写出方程，选坐标系投影;3）积分求解，分析解的物理意义.