计算方法课后习题答案之习题五
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L3(2.5)= + + +
≈-2.203125
7.已知 的观测数据如表5-7所示，试求其牛顿均差插值多项式，并分别用牛顿型线性插值和二次插值求 的近似值。
X
0
1
0
3
10
12
10
解
分析题目可知共提供了六个基点，插值多项式的最高次数n等于5，可列均差表：
一阶
二阶
三阶
四阶
五阶
0
1
1
0
-1
2
3
R(x)= (x-x0)2(x-x1)2
=(x-x0)2(x-x1)2
f(1.5)=H3(1.5)=R(1.5)=0.0625
所以在1.5处的截断误差为0.0625
3
2
3
10
7
2
0
5
12
1
-2
-1
6
10
-2
-1
因此牛顿插值为：
线性插值求 ,选取区间 做线性插值
所以
二次插值求 ,选取区间 做二次插值
所以
8.设y n=2n,试求△3yn.
解：△y n=△（2n）=2n+1-2n=2n·2-2n=2n
△2y n=△（△y n）=△（2n）=2n
△3y n=△（△2y n）=△（2n）=2n
ｘ
100 121 144
ｙ
10 11 12
解：由题意知：
又因为：
把三个点代入得
（2）利用 ，分别求 ， 的值。
解
（3）指出（2）是外插还是内插，分别给出截断误差估计，并作比较。
解
差值区间是 ，113属于 ，所以 是内插。
不属于 ，所以 是外插。
截断误差估计：
在本题目中，f（x）即 ，所以：
所以，
所以，
所以，△3y n=2n
12.在区间[1,2]上，求函数f(x)= x4的三次Hermite插值多项式，并用它计算f(1.5)的近似值，估计截断误差。
解：由题意知：x0=1, x1=2
y0=f(x0)=1, y1=f(x1)=16
y0’=f’(x)=4, y1’=f’(x1)=32
(1+2 )( )2+y1(1+2 )( )2
习题五
1.设f（x）=3x3+x2-5，取基点0，1，3，5作为插值多项式的结果是什么？说明理由。
解：由0.1.3.5四个基点得到的插值函数仍然是f（x）本身。
理由：5.1节推论。
推论当f(x)是次数不超过n的多项式时，其n次插值多项式就是f(x)本身。
4.（1）根据y= 在100 121 144处的值建立L2（x）。
+y0’(x-x0)( )2+ y1’(x-x1)( )2
=(2x-1)(x-2)2+16(5-2x)(x-1)2+4(x-1)(x-2)2+32(x-2)(x-1)2
f(1.5)=H3(1.5)=5
估计截断误差：
R(x)= w22(x)= (x-x0)2(x-x1)2
又因为：f(4)(x)=(x4)’’’’=(4*x3)’’’=（12*x2）‘’=（24*x）’=24
5.已知函数y=f(x)的观测数据为f(0)=1,f(2)= -3,f(3)= -1,f(4)=2,试求其拉格朗日多项式并计算f(2.5)的近似值。
解:由题意知，有4个基点，因此可知L3(x)
L3(x)= + + +
= - + +
注意：Lagrang通常不需要化简，计算到上述形式即可。
f(2.5)的近似值即：L3(2.5),
≈-2.203125
7.已知 的观测数据如表5-7所示，试求其牛顿均差插值多项式，并分别用牛顿型线性插值和二次插值求 的近似值。
X
0
1
0
3
10
12
10
解
分析题目可知共提供了六个基点，插值多项式的最高次数n等于5，可列均差表：
一阶
二阶
三阶
四阶
五阶
0
1
1
0
-1
2
3
R(x)= (x-x0)2(x-x1)2
=(x-x0)2(x-x1)2
f(1.5)=H3(1.5)=R(1.5)=0.0625
所以在1.5处的截断误差为0.0625
3
2
3
10
7
2
0
5
12
1
-2
-1
6
10
-2
-1
因此牛顿插值为：
线性插值求 ,选取区间 做线性插值
所以
二次插值求 ,选取区间 做二次插值
所以
8.设y n=2n,试求△3yn.
解：△y n=△（2n）=2n+1-2n=2n·2-2n=2n
△2y n=△（△y n）=△（2n）=2n
△3y n=△（△2y n）=△（2n）=2n
ｘ
100 121 144
ｙ
10 11 12
解：由题意知：
又因为：
把三个点代入得
（2）利用 ，分别求 ， 的值。
解
（3）指出（2）是外插还是内插，分别给出截断误差估计，并作比较。
解
差值区间是 ，113属于 ，所以 是内插。
不属于 ，所以 是外插。
截断误差估计：
在本题目中，f（x）即 ，所以：
所以，
所以，
所以，△3y n=2n
12.在区间[1,2]上，求函数f(x)= x4的三次Hermite插值多项式，并用它计算f(1.5)的近似值，估计截断误差。
解：由题意知：x0=1, x1=2
y0=f(x0)=1, y1=f(x1)=16
y0’=f’(x)=4, y1’=f’(x1)=32
(1+2 )( )2+y1(1+2 )( )2
习题五
1.设f（x）=3x3+x2-5，取基点0，1，3，5作为插值多项式的结果是什么？说明理由。
解：由0.1.3.5四个基点得到的插值函数仍然是f（x）本身。
理由：5.1节推论。
推论当f(x)是次数不超过n的多项式时，其n次插值多项式就是f(x)本身。
4.（1）根据y= 在100 121 144处的值建立L2（x）。
+y0’(x-x0)( )2+ y1’(x-x1)( )2
=(2x-1)(x-2)2+16(5-2x)(x-1)2+4(x-1)(x-2)2+32(x-2)(x-1)2
f(1.5)=H3(1.5)=5
估计截断误差：
R(x)= w22(x)= (x-x0)2(x-x1)2
又因为：f(4)(x)=(x4)’’’’=(4*x3)’’’=（12*x2）‘’=（24*x）’=24
5.已知函数y=f(x)的观测数据为f(0)=1,f(2)= -3,f(3)= -1,f(4)=2,试求其拉格朗日多项式并计算f(2.5)的近似值。
解:由题意知，有4个基点，因此可知L3(x)
L3(x)= + + +
= - + +
注意：Lagrang通常不需要化简，计算到上述形式即可。
f(2.5)的近似值即：L3(2.5),