(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数） （ A 卷）
专业年级： 学号： 姓名：
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的
n m A ⨯0=Ax )(A A T
(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；
(D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式 ，
32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式
1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) 。

4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线
s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是
(A) 向量组线性无关；
s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。

s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是
n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。

A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则
A n )2(>n *
A A 题 号一
二
三
总 分总分人
复分人
得 分
得分评卷人
√
√
(A) ；
(B) ；A A A 1
1||)(-*-=A A A ||)(1=*
-(C) ；
(D) 。

11
1|
|)(--*
-=A A A 1
1||)(-*
-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=2135
212b a A λ则＝ ，＝ ，＝ 。

λa b 7．设阶向量，；矩阵 ,
n T
x x )00(，，，， =α0<x T
E A αα-=且 ，则___ ______。

T x
E A αα1
1+
=-=x 8．已知实二次型正定,则常数的
32212
32
22
132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=a 取值范围为________________。

9．设矩阵，是中元素的代数余子式，，
33)(⨯=j i a A j i A ||A j i a j i j i A a =，已知，则 。

13121132a a a ==011>a =11a 10．设，，已知向量与线性相关，则＝ 。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40321
2221A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=11a ααA αa 三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)
11． (1) 求方程的根，其中 ；0)(=x f 2
12311236
2543122)(2
2--+-----=x x x f 得分评卷人
得分评卷人
(2) 计算阶行列式。

n n
n n n n
n n
n x x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D 121121121121----++++=
12．设实向量，其中，，矩阵()T
a a a 32
1
=α01≠a 3=ααT T
E A αα-=(1)试说明矩阵能相似于对角阵； (2) 求可逆矩阵，使为对角阵，
A P AP P 1
-并写出此对角阵； (3) 求行列式。

||E A +
13．已知线性方程组 ，试讨论：⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=++
=+-+2
)1(2221)1(321
321321kx x k kx x kx kx x x k kx (1) 取何值时，方程组无解； (2) 取何值时,方程有唯一解，并求出其解；k k (3) 取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。

k 14. 设实二次型 ，32312
3212
22
1321845452)(x x x x x x x x x x x x f --+++=，，
求：正交变换，将化为标准型。

y Q x =f
15. 设的基为 ，， 。

3
R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112β⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0013β(1) 试由构造的一个标准正交基 ；321βββ，，
3
R 321ααα，，(2) 求由基 的过渡矩阵；
321321βββααα，，到
，，P (3) 已知向量，求向量在基下的坐标。

321βββα++=α321ααα，，
线性代数 期末试卷（A ）参考答案
一、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A)
二、填空题 6．-1,-3,0； 7. ； 8. ； 9．； 10. －1。

1-2/7||<a 7
6
三、计算题
11．（1），1，－1，3，－3；
（4分）
)9)(1(5)(2
2
---=x x x f =x （2） 。

（10分）
∑=--+-=n
i n i n n y x y D 1
12)
1()()
1(12．(1) 为实对称矩阵，所以相似于对角阵。

(2分)
A (2) 因为，所以是的特征值。

ααααααααα2)()(-=-=-=T
T
E A 21-=λA 又秩，，所以是的另两个特征值。

1)(=T
r αα0||||==-T
A E αα
132==λλA 设为对应的特征向量，则由
T x x x ),,(321=βA 132==λλ，得对应的线性无关的特征向量
0),(332211=++=x a x a x a βαA 132==λλ，令T T a a a a ),0,(,)0,,(132121-=-=ββ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==13
12
32
1
210
0),,(a a a a a a a P ββα则 。

(7分)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-1000100021
AP P (3) 的特征值为－2＋1=－1，1+1=2，1+1=2，因此。

(10分)
E A +4||-=+E A 13．(1) 时， ，无解 (2分)
0=k 3)(2)(=≠=A r A r (2)时，，唯一解 (6分)20≠≠k k ，3)()(==A r A r T T
k
k
x x x )0,1,2(
),,(321-=(3) 时，，无穷多解, 通解 。

(10分)
2=k 2()(==A r A r ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201010321c x x x
14．； (8分) 。

(10分)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
---
=325
34
5
132535
03153252Q 23222110y y y f ++=15．(1),,， （3分）
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111311α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211612α⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=011213α(2) （6分）
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-=
=-30
01202222361),,(),,(3211
321βββαααP (3) （10分）32121
6336123αααα-+=⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=注：本题答案不唯一，如，，，则，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1003α⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=001011111P 3
2123αααα++= （线性代数） （ B 卷）
专业年级： 学号： 姓名：
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设的特征值为1，2，3，是行列式 中元素的代数余子式，
33)(⨯=j i a A j i A ||A j i a 则 ＝
（
)(||3322111A A A A ++－题 号一二三
总 分
总分人
复分人
得 分
得分评卷人
√
√
）a.
； b.
； c.
； d. 6。

6
21
6
11
3
11
2．已知，则以下选项中正确的是 （ A AP P a a a a a a a a a A P n m =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=若，，
3332
31
2322211312
11
001010100）
a. ；
b. ；
c. ；
d. 。

45==n m ，55==n m ，54==n m ，44==n m ，3．n 维向量线性无关的充要条件是 （
)3(,,21n s s ≤≤ααα ）
a ．存在不全为零的数，使；
s k k k ,,2102211≠+++s s k k k ααα b ．中任意两个向量都线性无关；
s ααα ,,21c ．中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；s ααα ,,21d ．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。

s ααα ,,214．设是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中为任意常数） （ B A ，21k k ，
）
a. ；
b. ；
c. ；
d. 。

*
*B A ＋*
*
-B A *
*B A **B k A k 21＋5．已知矩阵，伴随矩阵，且有非零解，则
（
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=222222a a a A 0≠*
A 0=*x A ）
a. ；
b. 或；
c. ；
d. 且。

2=a 2=a 4-=a 4-=a 2≠a 4-≠a 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．设行列式
，是中元素的代数余子式，则＝
3
00002010=D j i A D j i a ∑∑==313
1
i j j i A 。

得分评卷人
7．设是实对称可逆矩阵，则将化为的线性变换为A AX X f T =Y A Y f T 1
-=____________________。

8．设矩阵有特征值6，2，2，且能相似于对角阵，则＝______ ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=53342
111x A A x _____。

9．已知是维实列向量，矩阵，为非零常数，则为正交矩阵的充分必
0≠αn T
k E A αα-=k A 要
条件为。

=k 10. 设，，其中互不相同，，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2322
21
321
111a a a a a a A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=111b i a 3,2,1=i 则线性方程组的解是____
_______。

b x A T
=三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)
11．计算阶行列式： 。

n n
n n n n n n n x x x y x x x y x x x y
x x x y
x x x x D 1
2112112
1
1
21----++++=
得分评卷人
12．已知线性方程组 ，⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-=+b
x ax x x x x x 321
31
2
111（1）试问：常数取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？b a ，（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。

13．设，，已知线性方程组有解但不唯一。

试求：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111a a a A ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=211ββ=Ax （1）的值； （2）正交矩阵为对角矩阵。

a AQ Q Q T
使得，
14．设矩阵的伴随矩阵，且。

求矩阵。

A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=80
30010100100001*
A E BA ABA 311+=--
B 15．已知线性空间的基到基的过渡矩阵为，且
3
R 321ααα与与321βββ与与P ，，；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2213α⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=034223122P 试求：(1) 基；(2) 在基 下有相同坐标的全体向量。

321βββ与与321321,,,,βββααα与
线性代数 期末试卷（B ）参考答案
一 选择题 1.b 2.d
3.c
4.a
5.c
二 填空题
6. －11；
7. ；
8. ；
Y A X 1
-=2-=x
9．；
10. ；
2
||2α=
k ()T
001三 计算题11. 。

(10分)
)()
1(1
1
2
)1(∑=--+-=n
i i n n n x y y
D 12. （1）
110101100201A a b ⎛⎫ ⎪
→ ⎪ ⎪--⎝⎭
无穷多解； 唯一解； 无解 （5分）
1,2==b a 2≠a 1,2≠=b a （2） （10分）
R k k x x x ∈⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,11100132113. 解：（1）方程组有解但不唯一，所以，故。

（3分）β=AX 3()(<=A r A r 2-=a （2） 特征值为
，，。

（6分）31=λ32-=λ03=λ， 。

（10分）⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
=316
1
21316
2
316
1
21Q ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=000030003AQ Q T
14．由，有，得。

（3分）1
*
|
|||-=n A A 8||3
=A 2||=A 用，左右乘方程的两端，得
（6分）*
A A E
B A E 6)2(*
=- （10分）
1*)2(6--=A E B ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=-103
0060600600006
603
001010010
000161
15．（1）设,,则，故
),,(321ααα=A ),,(321βββ=B AP B =
，，； （3分）
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101161β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8852β⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1213－β（2）设所求向量的坐标为 ，则，即，
x APx Ax =0)(=-x E P A 因为为可逆矩阵，得 ，由 （6分）
A 0)(=-x E P ⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000110101134213121)(E P 得， （8分）
T
k x 与与与与111(=故 （10分）
T
k k 与与与312()(321=+-=αααα。