古塔的变形模型
古塔变形的预测模型
Ｔｈｅ Ｐｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ Ｍｏ ｄｅ ｌ ｏ ｆ Ａｎｃ ｉ ｅ ｎｔ Ｐａ ｇ ｏ ｄ ａ Ｄｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ
平 面 ．且 所 围 图 形 接 近 正 八 边 形 ．这 与 实 际 测 量 情 况 基 本 相
Ｙ坐标 ）的 坐标 图如 图 ｌ 所示 。
《 蚰 。 一 一 一 一 举一 军一 一 ｕ ～ 一
蚪
ｌ
、ｊ
，
符。由 ８ 个 点 构 成 的凸 多 面 体 的 中心 （ 重 心 ）经过 投影 转换 为 求平 面几 何 图形 的 重 心 ．利 用 重 心 推 导计 算公 式并 计算 出古 塔
一
层 的 数 据 导 入 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ软 件 中ｆ ｑ ，得 出 八 个 测 试 点 （ ｘ坐 标 和
（ ３ ） 古塔 将 来 的变 化 趋 势 。对 于 问题 （ １ ） ，资 料 给 出 了 每一 层 ８个 观 测 点 的 坐 标数 据 ，经 过 验 证 发 现 每 组 坐 标 基 本 处 于一 个
Ａ Ｒ Ｔ Ｉ Ｆ Ｉ Ｃ Ｉ Ａ Ｌ Ｉ Ｎ Ｔ Ｅ Ｌ Ｌ Ｉ Ｇ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ Ａ Ｎ Ｄ Ｉ Ｄ Ｅ Ｎ Ｔ Ｉ Ｆ Ｉ Ｃ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｉ Ｑ Ｕ Ｅ Ｓ
人 工 智 能 及 识 别 技 术
古塔 变形 的预测模型
贺永 会
（ 山东英才学院 ，济南 ２ ５ ０ １ ０ ４ ）
摘 要 ：针 对 某一 古塔 １ ９ ８ ６ — ２ ０ １ １ 年４次 测 量 的 数 据 ，利 用操 作 研 究 的预 测 和优 化 方 法 ，对 该 古 塔 的 变形 进 行 了相
2013数学建模——古塔的变形
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5339所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。
因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。
古塔变形情况分析预测模型
发 生 了 微 小 的偏 移 ， 说 明 古 塔 已 发 生 了 变形 。 利 用 塔 尖 的坐 标 和 底 层 中 心 的 坐 标 求 出倾 斜 度 ， 见 表２ ． 分 析 古 塔 的倾 斜 情 况。
网２ ｐ ｑ 年 各层 中心分布雷达图
雷 达 图 是 基 于 一 种 形 似 导 航 雷 达 显 示 屏 上 的 罔形 ． 它 可 以 让我 们 看 到 不 同时 间 段 、 不 同层 次 的 中心 所 在 的 位 置 ，
根据 附 件 １ 提供 的数 据 ， 把 第 一层ｚ 轴坐标（ １ ． ７ ９ ２ ， １ ． ８ １ ８ ， １ ． ７ ８ ３ ， １ ． ７ ６ ９ ， １ ． ７ ７ ２ ， １ ． ７ ７ ， １ ． ７ ９ ４ ， １ ． ８ ０ １ ） 代人式（ １ ） ， 解得ｘ ＝ ５ ６ ６ ． ６ ９ ０ ４ ， ｙ ＝ ５ ２ ２ ． ７ ２ ５ ４ ， ｚ ＝ ７ ． ３ ２ ０ ２ ５ ， 中心 坐标 为（ ５ ６ ６ ． ６ ９ ｏ ４ ， ５ ２ ２ ． ７ ２ ５ ４ ， ７ ． ３ ２ ０ ２ ５ ） ， 以此 类 做 法 即 可求 得 各 层 中心 坐 标 。 ２ 分 析 古 塔倾 斜 、 弯 曲、 扭 曲等 变 形 情 况 ２ ． １倾 斜 利 用 中心 点 的 坐 标 画 出雷 达 图 ， 见 图２ ， 可 以 看 出 中心
第２ １ 卷 第 ７期 鄂
州
大
学
学
报
２ ０ １ ４年 ７ 月
Ｊ ｕ １ ． ２ ０ １ ４
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｅｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
古塔变形情 况分析预 测模 型
焦 云 芳
（ 晋城职业技术学院 教师教育 系， 山西 晋城 ０ ４ ８ ０ ２ ６ ）
关于古塔变形的数学模型
关于古塔变形的数学模型摘 要本文主要研究古塔在自重、气温、风力等因素的影响下产生变形的问题。
采用中垂线求解外切圆圆心的模型以及多次平均除误差的方法，找到了确定古塔中心的通用方法，并用多元线性回归模型及插值拟合等方法对倾斜、弯曲、扭曲等变形情况进行分析，从而通过残差拟合得出预测数据对古塔变形趋势进行描述。
针对问题一：论文采用古塔八个角点中任意三个角点构成的两两连线，取其中垂线的交点得到外接圆圆心，已知正八边形的中心与外接圆圆心一致，但古塔八角点构成的八边形存在轻微不规则，所以我们采用多次取点求外接圆圆心，并用其平均值消除误差，最后对不同取点方式进行了精度分析（答案详见表一）。
针对问题二：首先是古塔倾斜分析，根据测量学本文取塔尖和塔底的中心连线作为倾斜角计算的倾斜方程，算出塔顶在水平面投影与塔底中心的间距S ∆，引入实测高程数据H ∆，可以得到古塔四次测量的倾斜角（HD∆∆=arctan α），对其倾斜情况经行描述；然后是弯曲情况分析，根据问题一中古塔各层中点坐标，本文对其进行多元回归分析及多项式拟合，得出函数曲线，并将其和倾斜方程进行比较得到最大差值即挠度（材料力学中对弯曲的描述量）；最后是扭曲分析，本文分垂直和水平两个方向进行讨论，垂直方向上涉及高程Z ，即对各层中心点多元线性回归得到的拟合值与实测值进行残差分析，得到扭曲描述量（Ny y r i ∑-=2')(）。
水平方向，本文参考材料力学中扭转角的计算，对古塔各层间的轴向扭转进行分析，得到扭转角对古塔扭曲情况进行描述。
针对问题三：在分析了四次观测值中倾斜、弯曲，扭曲的情况下，本文采用加权平均的方法各产生影响数据进行处理后，进行残差拟合，得到下一次观测的模拟数据，对古塔的变形进行变形趋势描述关键词 多边形中心确定 多元回归分析 多项式拟合 残差分析由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
古塔的变形模型与预测
向 上评 价 的 方 法得 出最 终 的 综 合 评 价 结 果 ， 结果表 明， 太 阳能 光 伏 发 电 项 目基 本 良好 ， 评 价 结 果 客
观合理 ， 实例 也 证 明 该 模 型 操 作 简便 可 行 ．
随后呈 下 降 的趋 势 ， 说 明古 塔 的弯 曲程 度 在 未来 几年 中可 能会有 所 好转 ．
３ ． ３ 古 塔 的 扭 曲趋 势
拟合 曲线 ， 很 明显 随着塔 的层 数 的增 加 ， 相对底 层 的扭 曲程 度逐渐 增 大． 对 四年 中每年 的平 均 扭转 角度 作 线 性 拟合 ， 从图 ７ 可 以看 出 ， 拟合直 线呈 下降趋 势 ， 说 明古 塔
［ ４ ］张志涌 ， 杨祖樱 ， Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ教程 Ｒ ２ ０ １ １ ａ Ｆ Ｍ］ ． 北京 ： 北京航空航天大学 出版社 ， ２ ０ １ １ ： １ ９ ３ — ２ １ ９ ． 编辑 ： 文 心
基于商空间理论的太阳能光伏发电项 目评价研究
孙 群 ， 刘 国璧 。 ， 袁 宏 俊 。
的扭 曲程 度逐年 减小 ．
将 表 ４中古 塔 各 层 扭 曲 数 据进 行 线 性 拟 合 ．
图 ４ 倾斜角趋势 图
图 ５ 平均曲率趋势 图
图 ６ 古塔各层扭 曲及其拟合直线
图 ７ 平均扭转角度趋势 图
参 考 文 献
［ １ ］陈 平 ， 姚谦峰 ， 赵冬． 西 安 大雁 塔 抗 震 能 力 研 究 ［ Ｊ ］ ． 建筑结构学报． １ ９ ９ ９ （ １ ） ： ４ ６ — ４ ９ ．
由于长时 间受 气温 、 风力 、 自重等 各种 因素 的
表 １ 各 层 塔 中心 点 坐 标
ｍ
作用 及偶 然还 要受 地震 、 飓 风的影 响 ， 古塔 会产 生 各种 变 形 ， 如倾 斜 、 弯曲、 扭 曲等． 为 保 护古 塔 ， 文
古塔的变形
古塔的变形摘要本论文研究的是古塔的变形问题，首先对古塔的基本情况进行了解、分析，本文使用了较为简单实用的方法得到了结果，进而对古塔的变形情况进行分析，最后再对古塔在未来几年的变形趋势进行描述。
针对问题一，本文采用平均值等两种算法分别进行求解最终求得古塔各层在1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月时的中心坐标（具体坐标见5.1.3）。
针对问题二，本文对古塔的变形情况粗略地描述了一部分，并根据已知的一部分信息最终选择了以倾斜度为主要指标对古塔的变形成都进行了粗略的描述，结果为：1986199620092011046'33",047'9",048'39",048'46"θθθθ==== 。
针对问题三，本文根据前两问求得的数据作为基础进行分析，仍旧从倾斜变形入手分别对倾斜的方向变化趋势和倾斜增量进行了分析，由于有偶然的大型因素的影响，如2006年的超强台风“桑美”，2008年的汶川地震等，本文将变形趋势分为两类，所得结果如下：（1） 无大型因素影响趋势：古塔有由原本倾斜方向向南倾斜的趋势。
古塔10年倾斜角偏移量为00'35.5"α=（2） 有大型因素影响趋势：古塔有由原本倾斜方向向南倾斜的趋势。
古塔10年倾斜角偏移量为01'17.4"β=对于缺失的数据本文采用了近似值的方法进行补全（详见5.1.1）。
关键词：古塔变形 Matlab 文物保护 变形趋势 Lingo11 Excel一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
基于模型构建的古塔变形研究
曲等一系列变 形情况 ，最后给 出古塔变形趋势 。本 文采用模 型构 建方法研究古塔变 形，计算分析合理 ，提供 了较精
确 的结果，对于维护 古建筑物 的安 全性有着重要 的意义 。
关键 词：古塔变形； Ｍａ ｔ １ ａ ｂ 和Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ 软件； 模型构建； 夹角模 型 中图法 分类号： ０ ２ ９ 文献标 示码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０ ２ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２ ． － ０ ２ ６ ５ ． － ０ ５
山东农业 大学学报（ 自然科学版） ． ， ２ ０ １ ５ ， ： ４ ６ （ ２ ） ： ２ ６ ５ ． ． ２ ６ ９ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ａｇ ｒ ｉ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ￣ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ
ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ Ｍａ ｌａ ｆ ｂ ， ． ｔ ｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｕ ｌ ｄ ｂ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ． ｈ ｅ Ｔ ａ ｃ ｃ ｕ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗａ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ
摘 要 ：根据在 １ ９ ８ ６ 年、１ ９ ９ ６ 年、２ ０ ０ ９ 年、２ ０ １ １ 年对 古塔 的实际观测数据 ，通过Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 作图、编程等功能 ，以及Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ
软件 计算分析相关数据 ， 给 出数 据分析的结果并作 出了相应 的图形。首先利用Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 软件 绘制出１ ９ ８ ６ ： 年与２ ０ １ １ 年古塔 形 状的 图形 ，然 后利用模型构建 并求解 ，累加模 型确定古塔各层 次中心位置 ，夹角模 型描绘古塔的倾斜 、弯 曲、扭
古塔变形的模型及预测
古塔变形的模型及预测吉耀武【摘要】Pagodas are the key protected cultural relics of our country. In order to protect pagodas ,the cultural relics department surveies progodas to get all kinds of deflections and to draft the necessary protective measures ,by means of four observation data of the cultural relics department,the author firstly supplements the missing data in 1986 and 1996. With the complete data fitting in each layer,each point can be projected on to the flat surface,and the universal model of the center coordinates in each layer is obtained. Linear fitting the center points ,the measurement tilted model is obtained by using the angle of the central axis and the horizontal plane. Cubic spline fitting the center points is carried out,and the measuring bending model is obtained by using the fitted curve curvature at every point,and the measuring distorted model is obtained by using rotation angle of fitting adjacent planes. Finally using MATLAB programming the deformation data of model are calculated ,and the deformation of each layer can be detected,then the reliable basis for the cultural relics departments corresponding measures is established. The model can also be extended to the other structure deformation measurement.%古塔是我国重点保护文物，为保护古塔，文物部门对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施，借用文物部门的4次观测数据，首先对1986年和1996年缺失数据进行补充，利用完整的数据拟合每层各测量点所在平面，将各点投影到平面上，得到每层各中心点坐标的通用模型。
基于MATLAB的古塔变形情况数学模型(2013年全国大学生数学建模大赛)
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5448所属学校（请填写完整的全名）：广东科学技术职业学院参赛队员(打印并签名) ：1. 周盛友2. 佘振武3. 王杰峰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：康海刚（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于MATLAB的古塔变形情况数学模型摘要本文以MATLAB软件为核心工具，几何知识为基础，分别建立古塔的几何中心模型、变形情况模型以及变形预测模型。
在模型建立之前，首先对观察数据进行分析观察，以此确定建模目标与建模基础，通过观察发现，古塔塔身为近似正八棱台结构，从而为后续几何中心模型的建立提供了几何基础。
古塔模型
古塔变形问题摘要文物是国家不可再生的文化资源，为了更好地加强对历史文物和国家重要文化遗产的保护，提出具体的保护措施和实施方案，所以分析古建筑的变形情况和变化趋势尤为重要。
本文主要研究国家重点保护文物---古塔的变形情况及变形趋势。
对于问题一：本文运用空间直线方程求解缺失数据，然后将古塔的每一层看做正八边形，将中心看做重心进行求解。
对于问题二：本文运用了投影分析等方法求解出倾斜、弯曲、扭曲的情况。
、对于问题三：由于古塔的变形是长时间积累作用，将各种形变对时间做回归拟合，并进行了验证，在此基础上推测出未来几年的变化情况。
最后为保护古塔，在古塔产生各种变形程度和预测的基础上给管理部门提出了合理建议，为古塔保护做了基础性准备工作，可供以后古塔的纠偏加固工程参考。
一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了四次观测。
请你们根据附录1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3.分析该塔的变形趋势。
二、问题分析2．1问题一的分析：问题一是关于几何图形中心的计算问题，由附录1数据可知，该塔是八边形，在此我们假设其为正八边形。
于是我们首先需要进行的工作是数据补缺，我们利用空间直线方程的求解，计算出了缺失的数据。
然后，我们将古塔的中心假设为正八边形的重心进行求解。
2.2问题二的分析：问题二要求我们利用题目所给的测量数据和问题一求解出的数据，建立模型来度量模型的各种变形程度，要求分别针对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行分析，找到能充分描绘他们的数学量，然后找到计算这些数学量的方法。
2013数学建模——古塔的变形
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5339所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
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）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。
因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。
古塔变形研究
（ ４ ） ｘ 一ｘ ｉ 一 １ ＜ ０ ， Ｙ ｉ －Ｙ ｉ ～ １ ＜ Ｏ ，古塔第 ｉ 层发生逆时 针方 向扭 曲 ； （ ５ ） Ｘ ｉ －Ｘ ｉ 一 ＝ ０ ， 一） ， ｉ 一 ＝ Ｏ ，古 塔第 ｉ 层未 发生 扭
曲。
由上面两个表格 ， 依据弯曲分析标准 ， 可以判断 古塔随时间不断由北往东弯曲， 且呈现楼层越高， 弯
ｘ ６ — — ｘ ０ ｘ ７ 一 ｘ ０ ｘ ８ － ｘ ０ ｘ ９ ～ ｘ ０ Ｘ１ ０ 一 ｘ ０ Ｘ１ ｌ － ｘ ０ ｘ１ ２ 一ｘ ０
０ ． ２ ８ ７ １ ０ ． ３ １ ９ ６ ０． ３ ５ ２ ６ ０ ． ３ ８ ２ ６ ０ ． ４ ３ ６ ３ ０ ． ４ ９ ０ ２ ０ ． ５ ３ ６ ６
＋ （ ｚ 一 ｃ ） 一 Ｒ 】 为 目标函数 ，通过最小二乘法对
数 据进行 拟 合 ， 可得 到未 知参 数半 径 Ｒ 的值 。代入
［ １ ］ 梁 海奎 ． 古 塔变 形测 量方 法探 讨 ［ Ｊ ］ － 城 市勘 测
２ ０ １ １ ， （ ０ ３ ） ： １ １ ３ — １ １ ４ ， １ １ ８ ．
不复杂 ， 可为保护 、 修缮古塔提供有利依据 ， 具有较 强 的应用 背景 。
参 考文献
令 ｆ （ ｚ ， ｂ ， ｃ ， Ｒ） ＝（ Ｘ ｉ —ａ ） （ Ｙ ｉ —ｂ） ２ ＋ （ ｚ ｉ —ｃ ） 一
Ｒ ｚ ， 以ｍ ｉ ｎ ∑． 厂 （ ， ｃ ， ） － Ｆ １ （ ｘ ， － ａ ） ＋ 一 ６ ）
针 方 向扭 曲 ；
ｘ 方向
Ｘ１ － ｘ ０ ｘ ２ － ｘ ０
差值
０ ． ０ ５ ７ ５ ０ ． １ １ ３ ６
古塔变形分析模型
古塔变形分析模型李静;张媛;顾忠;贺欣;王鹏【摘要】根据2013年全国大学生数学建模比赛C题中某古塔4年的观测数据，给出了确定古塔各层中心位置的通用方法，建立了最优化模型，用Lingo软件求得4次测量的古塔的各层中心坐标。
以斜率、曲率、投影、均方差、拟合等知识为基础，对倾斜度、弯曲度、扭曲度三个指标进行定义，结合使用Excel和Matlab软件对古塔变形情况进行量化分析，最后根据得到的数据对古塔的变形趋势进行预测。
%According to the 2013 national college students' mathematical modeling competition problem C a pa-goda four years of observation data, gives the general method of the ancient towers layers center position, the optimi-zation model is established, using Lingo software, obtained four times while hiking in the measurement of each layer center coordinates;And by slope, curvature, projection, the mean square error, fitting, such as knowledge, slope, bending and torsion degrees "define" the three indexes and combined with using Excel and Matlab software, the quantitative analysis of the deformation of the tower, and according to the data to predict the deformation trend of tower.【期刊名称】《郑州铁路职业技术学院学报》【年(卷),期】2016(028)004【总页数】6页(P15-20)【关键词】倾斜度;弯曲度;扭曲度;均方差;优化模型;曲率;拟合【作者】李静;张媛;顾忠;贺欣;王鹏【作者单位】郑州铁路职业技术学院，河南郑州450052;郑州铁路职业技术学院，河南郑州 450052;郑州铁路职业技术学院，河南郑州 450052;郑州铁路职业技术学院，河南郑州 450052;郑州市金水区教育体育局，河南郑州 450008【正文语种】中文【中图分类】O29由于古塔长时间受自身或外界因素影响，会发生各种变形，包括倾斜、弯曲、扭曲。
古塔变形模型分析
古塔变形模型分析摘要本文研究的是古塔变形的相关问题，根据给出的1986年、1996年、2009年、2011年不同的观测数据，应用垂直投影法计算出了各次测量古塔的中心坐标；在分析古塔的倾斜程度时，我们采用的是空间直线拟合的方法，对比了中心点与其余几个观测点的倾斜程度，发现该古塔经过多年洗礼，215年里并为倾斜；古塔的弯曲我们主要从古塔是否发生沉降变形来分析考虑，发现古塔有沉降迹象，在1mm～2mm之间。
在分析古塔扭曲情况时，我们将每年的中心坐标做了均值处理，假设其为定点，进而分析了每年底层同一观测点的夹角变化，由此来分析该古塔的扭曲情况，发现4年间古塔的偏移角度在0.6°左右。
关键词古塔的变形；垂直投影法；空间直线拟合；matlab计算1 问题分析古塔的变形问题在建筑学中已经是个很成熟的问题了，中国是个文明古国，各式古塔是先人遗留给我们的宝贵遗产，千年以来，未了保护好他们，很多人献出了生命；在这个科技发达的和平年代，国家越来越重视对其的保护，更是有很多学者多年来一直致力于古塔的变形原因研究及保护措施研究。
本文给出的数据只是一个个例，数据来源于2013年全国大学生数学建模竞赛C题，根据给出的四组数据确定古塔各层中心位置的通用方法，并计算出各次测量的古塔各层中心坐标，然后分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况、最后对塔的变形趋势做详细的分析。
在文中分析很多方法也是借鉴于其他优秀学者的研究成果，结合实际数据对此做出的分析。
2 模型假设1）不考虑古塔地基的影响，假设各种自然条件包括地震、飓风等对古塔地基无影响；2）假设此古塔建筑材料为砖；3）忽略古塔本身的形制结构的影响。
3 模型的建立与求解3.1各层中心坐标的模型与求解由于文中附件1给出的数据1986年、1996年古塔的13层第5个观测点的数据缺失，我们做了均值化处理，将该层其余观测点的均值做其坐标，计算得出1986年第5个观测点的坐标为（566.916，522.886，52.88），1996年第5个观测点的坐标为（569.9704，523.1144，52.796）。
数学建模古塔的变形
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）日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对古塔变形问题的数学建模摘要中国古语有云，“救人一命胜造七级浮屠”，所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。
在中国辽阔的大地上，古塔的踪影随处可见。
它们造型精美、结构巧妙，成为可多得的独特景观。
早起的古塔，主要是阁楼式的建筑，从唐朝经过两宋至辽、金，是我国古塔发展的高峰时期，特别是唐和两宋，古塔的建造达到了空前繁荣度，总量较以前大增，材料也更为丰富，除了木材和砖、石以外，还使用了铜、铁、琉璃等、材料上有木塔为主转为以石塔为主，平面则由四方形逐渐演变为六角和八角形。
古塔变形的数学模型
古塔变形的数学模型摘要古塔被誉为中国古代杰出的高层建筑物，历史悠久，值得并需要我们的保护。
本文研究了关于古塔变形的问题，古塔的变形与塔身的中心紧密相关，具体分析了古塔倾斜、弯曲、扭曲的变形情况及趋势。
对于问题一，建立中心位置模型，采用多边形组合形心的算法，求的结果是表6，7，8，9中的数据；对于问题二，我们将古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别给予合理的数学描述。
对于倾斜变形，我们定义了倾斜角，即塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值；对于弯曲变形，我们定义了弯曲率K ，即用中心点所拟合出的空间曲线的曲率来描述古塔各处弯曲率；对于扭曲变形，我们定义了相对扭曲度，利用坐标的旋转变换角度描述古塔的扭曲变形情况。
利用空间曲线拟合、坐标变换等方法以及MATLAB 程序，分别求出了三个变形刻画量的量化指标。
对于问题三，我们考虑通过古塔的倾斜、弯曲及扭曲程度来分析古塔的变形趋势，由于数据较少，我们利用灰色预测法来分析这三种变形，利用matlab得到的数据来分析古塔的变形趋势关键词：关键词：组合图形的形心拟合中心变形曲线灰色预测一．问题重述古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
现有一古塔已上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请根据题目提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3. 分析该塔的变形趋势。
二、模型假设1，参照中国古塔的塔身样式假设塔身水平面是正八角形；2，假设古塔是均质物体，形心就是中心；3，以地平面为X轴，建立空间直角坐标系X，Y，Z；4，假设塔尖面积极小，近视为一个点；5，假设模型4中古塔所在地不存在地震等这种偶然事件；6，假设古塔所在的地平面是水平面。
关于古塔变形的数学研究
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）日期：2013 年9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于古塔变形的分析摘要古塔建筑，其形态千奇百态，巍巍壮观。
在中国，有的塔是一个地区或一个城市的标志，如杭州雷锋塔、西安大雁塔等。
古塔变形
古塔变形摘要本文主要通过对倾斜、弯曲、扭曲三个角度研究，来分析古塔的变形趋势。
针对问题一，由于观测数据缺失现象，本文先进行数据的预处理，再采用空间圆的拟合方法，建立空间球体和斜平面所组成的方程组来求解。
同时结合运用MATLAB软件，计算出4次测量的古塔各层中心坐标，并以列表形式给出。
针对问题二，本文假设古塔的第一层是水平的，首先过古塔的塔顶的中心点作第一层的垂线，作出射影，构建直角三角形，得到射影和垂线的比值作为衡量古塔倾斜程度的指标。
发现随着年份增加，古塔倾斜程度越大，但1986年—1996年、2009年—2011年的变化幅度不大，1996年—2009年的变化幅度较大。
对于研究弯曲度，将各层的中心连线向X-Z平面及Y-Z平面进行投影，分别比较两者的方差得出向X-Z平面投影的研究价值更大。
通过曲线拟合求得4年曲线对应的方程，利用曲率公式求得曲线上各点的曲率值来分析古塔的弯曲程度，得出从1968年到1996年，各层的曲率有增长趋势，从1996年-2011年各层的曲率逐渐递减。
最后，将相邻两层的中心连线投影到第一层中，得到的夹角大小来确定古塔的扭曲情况，得到各年各层的扭曲率不存在明显的递变规律。
针对问题三，本文从倾斜、弯曲、扭曲三个方面采用灰色预测模型GM(1,1) 进行拟合与预测，并得出各因素相对于各层的时间响应函数，经检验得出扭曲程度最容易预测，其次是倾斜程度，而弯曲程度不易预测。
关键词：古塔变形；空间圆拟合；投影；灰色预测模型GM(1,1)一．问题重述塔，作为一种古代高层建筑，不但标志着古代人们征服自然的胜利，同时也记录了当时的历史和工艺。
塔的挺拔高耸的姿态，对佛寺组群甚至城市轮廓面貌都起着一定的美化作用，也成为今天的地标性建筑。
塔采用多种结构，也有变化多端的造型，在中国建筑史上独树一帜，是我国古代优秀的文化遗产。
但是这类建筑物由于长细比大、重心高，且由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响等。
古塔的变形数学建模课程答辩
古塔的变形数学建模课程答辩摘要：一、古塔变形数学建模课程简介1.古塔变形数学建模课程的背景与意义2.课程的主要内容和教学方法二、古塔变形数学建模课程答辩的意义1.答辩对课程学习成果的检验2.答辩对个人能力的提升三、古塔变形数学建模课程答辩的过程1.答辩前的准备2.答辩过程中的表现3.答辩后的总结与反思四、古塔变形数学建模课程答辩的收获与启示1.对课程知识的巩固2.对团队合作与沟通能力的提升3.对未来学习和职业发展的启示正文：古塔变形数学建模课程是一门针对高中生的数学课程，旨在通过数学建模的方法，培养学生的创新思维和实际问题解决能力。
课程内容涵盖了古塔建筑、几何学、代数学等多个领域的知识，并结合实际案例进行教学，使学生在学习过程中能够深入理解数学建模的思想和方法。
古塔变形数学建模课程答辩是课程的重要组成部分，是对学生学习成果的检验。
通过答辩，学生需要将所学知识运用到实际问题中，展示自己的分析问题和解决问题的能力。
同时，答辩过程也是对学生个人能力的锻炼，如表达能力、沟通能力、团队合作能力等。
古塔变形数学建模课程答辩的过程分为答辩前的准备、答辩过程中的表现和答辩后的总结与反思。
在答辩前，学生需要对自己的作品进行充分的准备，包括熟悉自己的模型、了解相关领域的知识等。
在答辩过程中，学生需要清晰地阐述自己的观点，准确地回答评委的问题，并能够对自己的作品进行深入的分析和反思。
在答辩后，学生需要对整个过程进行总结，找出自己的不足之处，并思考如何改进。
通过古塔变形数学建模课程答辩，学生不仅可以巩固所学知识，提升自己的能力，还可以从中获得对未来学习和职业发展的启示。
例如，学生可以意识到理论知识和实践能力的结合的重要性，以及团队合作和沟通在解决问题中的作用等。
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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、我网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：sm063所属学校（请填写完整的全名）：山东现代职业学院参赛队员(打印并签名) ：1. 马昱轩2. 李倩3. 梁帅健指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：宋祖芳日期：2013年 9月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：sm063032013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形模型摘要某古塔是我国重点保护文物,已有上千年历史。
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
基于附件1提供的4次观测数据：对于问题1，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据（因MATLA B程序中用的是循环语句，所以计算时赋予0值），其它各层均给出8个点的观测值，为使所得数据更具真实性，确定古塔各层中心位置的方法更具适用性，本文将每层所给8点构成的图形看做不规则八边形，用中垂线求交点法求得古塔各层中心坐标。
对于问题2，结合问题1的分析，采用垂直投影法[1]求古塔的倾斜度，根据所得数据，分析古塔的倾斜程度（因1986年和1996年13层赋予值后所得数据偏差较大，为使所得数据更具真实性，所以本问题起1986年和1996年13层数据予以舍弃）；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过x轴、z轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在x轴、z轴的界面的弯曲程度。
同理，也可分析y轴、z轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法[1]求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。
对于问题3，利用问题1、2所得数据，进行合理的分析与猜想，进而分析出古塔塔身的倾斜、弯曲、扭曲等变化趋势。
本文的模型解决了题目给出的问题，计算过程中充分尊重观测数据，给出更符合实际的结果。
本文所得结果大部分由图表给出，结合图像，较为直观地表现出古塔变形情况。
结果表明，采用MATLAB数学软件可得出可靠结论。
关键词：古塔变形监测MATLAB垂直投影法倾斜度一、问题的重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1 986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3. 分析该塔的变形趋势。
二、问题的分析2.1问题的背景某古塔是我国重点保护文物。
已有上千年历史，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。
对现存历史文物古塔的保护，掌握古塔的形变，显得尤为重要，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
2.2问题的分析基于附件1提供的4次观测数据：2.2.1问题一的分析本题建立模型是利用中垂线（即中垂线相交于一点为中点)法，求解古塔各层中心的坐标，以确保古塔中心坐标的准确性。
2.2.2问题二的分析根据层与层之间的中心点，塔体倾斜变化采用垂直投影法[1](即垂线法，利用相对位移量进行监测)；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过x轴、z 轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在x 轴、z 轴的界面的弯曲程度。
同理，也可分析y 轴、z 轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。
2.2.3问题三的分析我们在对古塔进行安全性监测方面要满足两个方面：①塔体的倾斜变化；②塔身各段的变化[1]。
针对上述几个方面就采取对应的监测方法。
三、问题的假设1.假设求解古塔各层中心坐标时纵坐标先不予以考虑；2.假设古塔的地基土抗压能力强、韧性大、不易收缩，对古塔的变形不产生任何影响；3.假设对古塔观测数据的缺失可忽略不计；四、符号及文字说明x 表示建立古塔坐标轴的横坐标i x 表示古塔各层的第i (i =1,2,...,8）个点的横坐标y 表示建立古塔坐标轴的纵坐标i y 表示古塔各层的第i （i =1,2，...,8)个点的纵坐标z 表示建立古塔坐标轴竖坐标i z 表示古塔各层的第i (i =1,2,...,8)个点的竖坐标 i k 表示古塔的第i l 条直线的斜率'x 表示两个x 点之间的中点'y 表示两个y 点之间的中点H 表示古塔中心点到水平面的距离 D 表示古塔中心点的位移量Q表示古塔的倾斜度j表示古塔的第j(j=1,2,...,13)层数（MATLAB程序中）i表示古塔各层的第i(i=1,2,...,8）个点（MATLAB程序中）13⨯矩阵（MATLAB程序中）X表示关于横坐标的813⨯矩阵（MATLAB程序中）Y表示关于纵坐标的8K表示各层每两点之间中垂线的斜率（MATLAB程序中）xx表示每层8条中垂线两两相交所得交点的关于横坐标的813⨯矩阵（MATLAB程序中）13⨯矩阵（MATLAB程序yy表示每层8条中垂线两两相交所得交点的关于纵坐标的8中）五、模型的建立与求解（一）问题一的模型建立与求解1.通过中垂线的方法对古塔各层中心坐标进行求解，根据附件1表格数据，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据计算时赋予0值。
然后观察数据，古塔的每i层八个点的高度变化不大，假设把古塔的每一层的点看作是在一个平面上，求解古塔各层中心坐标时纵坐标先不予以考虑，之后用平均值的方法计算出。
分析过程如下图1-1：（用MATLAB软件作图（附件1，程序1））1-1 根据上图，做出任意两边的中垂线，交与一点O，如下图所示1-2（在上图上用画图工具作图）：1-2由图可知，'A 点坐标为()','y x ，'B 点坐标)","(y x 。
根据公式2'21x x x +=，得:2'21x x x +=，2'21y y y +=；2"32x x x +=，2"32y y y += ① 根据直线的斜率公式，求出直线AB l 的斜率A k 。
同理，求出直线BC l 的斜率B k 。
1212x x y y k A --=2323x x y y k B --=再根据中垂线定理1'-=kk ，求出中垂线1l ，2l 的斜率1k ，2k ； 122111y y x x k k A --=-=233221y y x x k k B --=-= ② 设中垂线的直线方程1l 为：)'('1x x k y y -=- ③ 设中垂线的直线方程2l 为：)"("2x x k y y -=- ④ 通过方程③、④建立方程组:⎩⎨⎧-=--=-)"(")'('21x x k y y x x k y y解得： 2121"''"k k x k x k y y x -+--=； ''21y x k x k y +-= ⑤再把①、②式中所求的数据代入⑤中，即可解出两中垂线交点O 坐标。
同理，通过数学软件MATLAB 编程求解（附录1，程序2）可得出每层八条中垂线两两相交的八个交点坐标，得出数据并对这八个中垂线的交点求平均值，因1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据计算时赋予0值得出的数据偏差太大，此时予以舍弃。
塔顶数据是塔顶的四个点求平均值而得。
各层中心坐标如下表：而每层古塔都有一定的高度差，因此，假设每层古塔的中心高度为每层八点的平均高度，即：),,(i i i i z y x O ，因此，古塔每层的中心坐标是：（二）问题二的模型建立与求解1，根据问题一求出的每层的中心坐标数据，通过分析古塔的倾斜、弯曲、扭曲及层与层之间的中心点，确定了塔体倾斜变化采用垂直投影法[1](即垂线法，利用相对位移量进行监测);弯曲、扭曲即为塔身各段的变化采用求倾斜度的方法。
用MATLAB数学软件编程（附件1，程序3）和画图工具画图，如下图2-1：2-1 通过对上图的观察与分析，每层的中心大致在一条倾斜的直线上，采用垂直投影的方法，对古塔的倾斜角进行求解，如下图通过MATLAB数学软件编程和画图工具并用作图（附件1，程序4），建立的数学模型，如下图2-2；2-2通过对图形的观察，()o o o z y x A ,,点为古塔塔顶的中心坐标，()111,,z y x O 点为古塔第一层的中心坐标，()1,,z y x B o o 点是A 点在O 点所在水平面上的投影， 根据倾斜度公式DH Q =,[3]计算出Q 的值：2112121)()(z z y y x x D o o -+-+-）（1z z H o - 21121211)()()(z z y y x x z z Q o o o -+-+--=比较数据：2011200919961986Q Q Q Q >>>分析数据，Q 的值越小，倾斜程度越严重，古塔随着年代的增加而越来越倾斜。