圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及
其推导过程
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圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长
若椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设
过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB .
解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得
y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=⋅⋅-+α，整
理可得αcos 2⋅-=c a b x ，同理可求得αcos 2
⋅+=c a b y ，则
α
αα2222
22cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=⋅++⋅-=+=；
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α
2222
sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴，
b 为短半轴，
c 为半焦距）.
结论：椭圆过焦点弦长公式：
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅
-
⋅
-
=
).
(
sin
2
),
(
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
轴上
焦点在
轴上
焦点在
y
c
a
ab
x
c
a
ab
AB
α
α
二、双曲线的焦点弦长
设双曲线(),0
,0
1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
其中两焦点坐标为)0,(
),
0,
(
2
1
c
F
c
F-，过F1的直线l的倾斜角为α，交双曲线于两点()(),
,
,
,
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A求弦长|AB|.
解：（1）当
a
b
a
b
arctan
arctan-
<
<π
α时，（如图2）
直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连B
F
A
F
2
2
,，设
,
,
1
1
y
B
F
x
A
F=
=，由双曲线定义可得a
y
B
F
a
x
A
F2
,
2
2
2
+
=
+
=，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2)
2
(
)
cos(
2
2
)
2(
,)
2
(
cos
2
2
)
2(a
y
c
y
c
y
a
x
c
x
c
x+
=
-
⋅
⋅
-
+
+
=
⋅
⋅
-
+α
π
α
整理可得
α
cos
2
⋅
+
=
c
a
b
x，
α
cos
2
⋅
-
=
c
a
b
y，则可求得弦长
;
cos
2
cos
cos2
2
2
2
2
2
α
α
αc
a
ab
c
a
b
c
a
b
y
x
AB
-
=
⋅
-
+
⋅
+
=
+
=
（2）时
或
当π
α
π
α<
<
-
<
≤
a
b
a
b
arctan
arctan
0，如图3，
直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上，连F 2A,F 2B,设
,,11y B F x A F ==
则a y B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得
222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α,
整理可得，则,cos ,cos 2
2a c b y a c b x -⋅=+⋅=
αα .cos 2cos cos 2
222
22a c ab a c b a c b x y AB -⋅=+⋅--⋅=-=ααα
因此焦点在x 轴的焦点弦长为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤--<<-=).arctan arctan 0(cos 2),arctan (arctan cos 22222
2222παπααπααa b a b a
c ab a b
a b c a ab AB 或 同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-<<-<<-<≤-=).arctan (arctan sin 2),arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a b
a b c a ab AB πααπαπαα或 其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角. 三、 抛物线的焦点弦长
若抛物线)0(22>=p px y 与过焦点)0,2
(p
F 的直线l 相交于两点
()()2211,,,y x B y x A ，若l 的倾斜角为α，求弦长|AB|.（图4）。