高三理科数学专题复习课后练习46

8．5 椭 圆
一、选择题
1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，
离心率为1
3，则椭圆方程为( )
A.x 2144＋y 2128＝1
B.x 236＋y 2
20＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 2
32＝1
解析：由题意可设椭圆的方程为x 236＋y 2
b 2＝1
e ＝c a ＝
36－b 26
＝1
3 ∴b 2＝32，故选D.
答案：D
2．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为
直线x ＝3a
2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
A.12
B.23
C.34
D.45 解析：根据题意知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，直线PF 2的倾斜角是60°，所以32a －c ＝c ⇒e ＝3
4，所以选C.
答案：C
3．若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2
＝12
，则此椭圆的离心率e ＝( ) A.53 B.23 C.13 D.12
解析：由PF 1
→·PF
2
→＝0得PF 1
→⊥PF 2
→.则 tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1
|＝1
2.
设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝5m .
所以e ＝c a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝5
3.
答案：A
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点
B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )
A.32
B.22
C.13
D.12
解析：由题意知，因为AP
→＝2PB →，则OA ＝2OF ， ∴a ＝2c ，∴e ＝1
2. 答案：D
5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P
为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8
解析：由椭圆x 24＋y 2
3＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，
－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14
(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP
→取得最大值6. 答案：C
6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝1
2，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )
A ．必在圆x 2＋y 2＝2内
B ．必在圆x 2＋y 2＝2上
C ．必在圆x 2＋y 2＝2外
D ．以上三种情形都有可能
解析：∵e ＝12，∴c a ＝1
2.
∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3
4a 2.
∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－c
a ，
∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2
＝b 2
a 2＋1＝74a 2a 2＝74＜2.
∴P 点在圆x 2＋y 2＝2内．
答案：A 二、填空题
7．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为______．
解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，
整理得5c 2＝a 2
，所以e ＝c a ＝55.
答案：5
5
8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，
F 2在x 轴上，离心率为2
2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．
解析：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝22，∴c a ＝2
2，
根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭
圆方程为x 216＋y 2
8＝1.
答案：x 216＋y 2
8＝1.
9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，1
2)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．
解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －1
2＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2
＋4
＝1，解得k ＝－3
4，
所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A (35，4
5)，
易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭
圆方程为x 25＋y 2
4＝1.
答案：x 25＋y 2
4＝1 三、解答题
10．如图，设P 是圆x 2
＋y 2
＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上
的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
解析：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
x P ＝x
y P ＝5
4y
，
∵P 在圆上，
∴x 2＋(54y )2＝25，即C 的方程为x 225＋y
2
16＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为4
5的直线方程为 y ＝4
5(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 225＋(x －3)2
25
＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段
AB
的长度为|AB |＝
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝
(1＋16
25)(x 1－x 2)2＝ 4125×41＝415.
11．设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程． 解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以
(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2(c a )2＋c a －1＝0.得c a ＝－1(舍)，或c a ＝1
2.
所以e ＝1
2.
(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．
A ，
B 两点的坐标满足方程组⎩⎨
⎧
3x 2＋4y 2＝12c 2，
y ＝3(x －c ).
消去y 并整理，
得5x 2
－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝8
5c .得方程组的解⎩⎨⎧
x 1＝0y 1＝－3c
，
⎩⎨⎧
x 2＝85c
y 2
＝335c
，不妨设A (85c ，33
5c )，B (0，－3c )，
所以|AB |＝
(85c )2＋(335c ＋3c )2
＝165c .
于是|MN |＝5
8|AB |＝2c .
圆心(－1，3)到直线PF 2的距离
d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2
. 因为d 2＋(|MN |2)2＝42，所以3
4(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c
－52＝0，得c ＝－26
7(舍)，或c ＝2.
所以椭圆方程为x 216＋y 2
12＝1.
12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1
和C 2
上，OB
→＝2OA →，求直线AB 的方程．
解析：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2
4＝1(a ＞2)，其离心
率为32，故a 2－4a ＝3
2，则a ＝4，
故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4＝1.
(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝4
1＋4k 2
， 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2
B ＝164＋k 2
又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A
，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB
→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24＋y 2
＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，
所以x 2A ＝4
1＋4k
2
， 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k
2，
将x2B，y2B代入y2
16＋x2
4
＝1中，得
4＋k2
1＋4k2
＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.。