高中物理模块要点回眸7圆周运动的周期性造成多解新人教版必修2

第7点圆周运动的周期性造成

多解

匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动.因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其他周期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性. 一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，才会较快地解决问题.

对点例题如图1所示，小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？

图1

解题指导设P球自由下落到圆周最高点的时间为t，由自由落体运动规律可得

1

gt2＝h，

2

解得t ＝ 2h g . 经过时间t ，Q 球由图示位置转至最高点，才能与P 球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T ，有

t ＝(4n ＋1)T 4

(n ＝0,1,2,3…) 两式联立再由T ＝2πω

得， (4n ＋1)π2ω＝2h g .

所以ω＝π2

(4n ＋1)g 2h (n ＝0,1,2,3…). 答案 π2(4n ＋1)g 2h

(n ＝0,1,2,3…)

1.(多选) 如图2所示，半径为R 的水平圆盘中心轴正上方a 处有一小球，圆盘以角速度ω做匀速转动，现将小球水平抛出，此时圆盘半径Ob 恰好转到如图所示与初速度方向平行的位置，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b ，重力加速度为g ，小球抛出点a 距圆盘的高度h 和小球的初速度v 0可能的取值为( )

A.h ＝g π2ω2，v 0＝Rω2π

B.h ＝8π2

g ω2，v 0＝Rω4π

C.h ＝2g π2ω2，v 0＝Rω6π

D.h ＝32π2g ω2，v 0＝Rω8π

答案 BD

解析 因圆盘转动具有周期性，则当小球落到b 点时，圆盘转过的角度θ＝2πk (k ＝1,2,3，…)，由ω＝θt ，可得圆盘的角速度ω＝2πk t

(k ＝1,2,3，…)，因小球做平抛运动，

则小球下落高度h ＝12gt 2＝2π2gk 2ω2

(k ＝1,2,3，…)，初速 度v 0＝R t ＝Rω

2πk

(k ＝1,2,3，…)，将k 的取值代入可知，当k 取2和4时，B 、D 项正确. 2. 如图3所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F 的作用下由静止开始向右运动，B 物体质量为m ，同时A 物体从图中位置开始在竖直面内由M 点开始逆时针做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动.求力F 为多大时可使A 、B 两物体在某些时刻的速度相同.

图3

答案 2mrω2

(4n ＋3)π

(n ＝0,1,2…) 解析 因为物体B 在力F 的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A 与B 速度相同，则只有当A 运动到圆轨道的最低点时，才有可能.

设A 、B 运动时间t 后两者速度相同(大小相等，方向相同).

对A 物体有： t ＝34T ＋nT ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋342πω

(n ＝0,1,2…)，v A ＝rω. 对B 物体有：F ＝ma ，a ＝F m ，v B ＝at ＝F m

t .

令v B ＝v A ， 得F m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋342πω

＝ωr . 解得F ＝2mrω2

(4n ＋3)π(n ＝0,1,2…).