中学物理习题中辅助圆

巧构辅助圆 妙解物理题

浙江海盐元济高级中学（314300）王建峰 浙江海盐高级中学（314300）马永芬

解物理习题时，若能巧借辅助圆，将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“矢量圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆”。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。

1 矢量圆

矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆 ”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。

例1 一条宽为L 的河流，水流速为u ，船在静水中划行的速度为

v ，且v ＜u 。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？

解析 水流速u 、船在静水中的速度v 与船的合速度v 1构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD 与矢量圆相切时，船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角u

v arccos

=θ。 2 等时圆

如图2所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦加速下滑，其下滑的时间相等，且时间g

R

t 4=

（R 为圆环的半径，g 为重力加速度），这样的圆环称之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而

且能激发学生的解题思维。

例2 两光滑斜面的高度都为h ，OC 、OD 两斜面的总长度都为l ，只是OD 斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？

解析 （解法1）本题往往采用v-t 图象求解，作出物体分别沿

OC 、OD 斜面运动的v-t 图象（如图所示4），由图象可得乙球先到达斜面底端。

（解法2）构建如图5所示的等时圆，交OC 于A 点，交OD 于B 点。由“等时圆”可知，B OA t t 0=。由机械能守恒定律可知：A B v v >，D C v v =，所以AC BD v v >。又因为两斜面的总长度相等，所以AC BD s s <，根据t

s

v =

得，AC BD t t <，所以有乙甲t t >，即乙球先到达斜面底端。 3 等势圆

点电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化难为易。

例3 （2002年江苏等省理综第30题）如图6所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC 长为2L ，

D

图1

图2

C

D

图3

处在水平位置，斜边AC 是光滑绝缘的，在底边中点O 处放置一正电荷Q ，一个质量为m ，电量为q 的带负电的质点从斜面顶端A 沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D 时速度为v 。则：该质点运动到非常挨近斜边底端C 点时速度v c 为多

少？没斜面向下的加速度a c 为多少？ 解析 点电荷沿斜面AC 下滑时，电场力在不断变化，无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解，从而使解题陷入困境。

由几何关系可引入图7所示的等势圆，由于D 、C 二点位于同一等势圆上，电荷从D 运动到C 电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷在D 点的机械能与C 点的机械能相等，即：

gl v v CD mg mv mv C D C 330sin 2121202

2+=⇒+=

对电荷在C 点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得：

mac L Qq

k

mg =︒-︒30cos 30sin 2，解得：

22321ml kQq g a C

⋅-=。 4 动态圆

带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“动态圆”，构建系列动态圆能化俗为奇。

例4 半径为R=10cm 的圆形匀强磁场，区域边界与y 轴相切于坐标原点，磁感应强度B=0.332T ，方向垂直纸面向里。在原点O 处有一放射源S ，可沿纸面向各个方向射出速率均为s m v /102.36

⨯=的α粒子，已知已知α粒子的质量为Kg m 271064.6-⨯=，电量c q 19102.3-⨯=，试确定α粒子通过磁场的最大偏向角。

解析 α粒子在磁场中作半径为r 的匀速圆周运动，可得：

cm m qB mv r 20332

.0102.3102.31064.619

627=⨯⨯⨯⨯⨯==-- 从而可构建一系列半径为20cm 并交于O 点的旋转动态圆（如图9所示），由各动态圆不难得到要使

α粒子的偏向角最大，必然α粒子在磁场区域内的弦最长。

所以α粒子的最大偏向角060arcsin

2==r

R

α 例5 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图10所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R 1=0.5m ，外半径R 2=1.0m ，磁场的磁感强度B =1.0T ，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m =4×7

10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

解析 （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，在磁场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定，

C O

图6 C 图

10

图8

N

构建如图10所示的半径不同的动态圆，要使粒子不能穿越磁场，从各动态圆中不难得到粒子的临界动态圆必须与外圆相切。

由图中知2122121)(r R R r -=+，解得m r 375.01=

由1

211

r V m BqV =得s m m Bqr V /105.171

1⨯== 所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为

s m V /105.171⨯=。

（2）所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的动态圆，在所有动态圆中粒子以V 2的速度沿与内

圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时，则以V 2速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界（如图11所示）。由图中知m R R r 25.02122=-=

，算出对应的速度s m m

Bqr V /100.172

2⨯==，这一速度即为所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

5 谐振圆

当一个物体（质点）在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动，这个圆通常称为“谐振圆”。利用谐振圆，可以把振动这部分知识融为一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点，降低了学生的认知难度。利用谐振圆，能使问题直观明了，在求解振动的时间问题时尤显优势。

例题6 如图12所示，一只椭球形的鸡蛋长轴是6cm ，短轴是4cm ，鸡蛋在x 轴上做简谐运动，运动过程中椭球的焦点在x 轴上，鸡蛋的端点正好不碰到A 、B 两点，即在A 、B 之间往复运动，现有一支枪固定在支架上，以垂直于x 轴的方向射出子弹正好瞄准x=12cm 处，

子弹可看成质点，子弹的速度比鸡蛋的速度大得多，现有

一个瞎子扣动扳机，那么他击中鸡蛋的概率是多大？

解析 鸡蛋中心在cm x cm x 2121=-=到之间作简

谐运动，但只有在cm x cm x 159==到之间时能被击中。构建如图13所示的谐振圆，要击中鸡蛋相当于质点位于弧CD 之间。

其对应的相位为

21

9arccos

=C θ, 2115arccos =D θ

则击中鸡蛋的概率为

π

πθθπθ2115arccos

219arccos -=

-==D C p 辅助圆在解中学物理习题时有其独特的魅力，不仅能使抽象的物理问题更形象、直观，求解过程简洁

明了，而且还具有创新意识，对提高解题能力和发展求异思维无疑有很大的帮助。

图11

x/cm

v 图12