二维形式的柯西不等式CP
二维形式的柯西不等式证明
二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。
柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。
接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。
然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。
因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
二维形式的柯西不等式 课件
知识点二 求最值
3．函数 f(x)＝ 1－cos 2x＋cos x，则 f(x)的最大值是( )
A. 3
B. 2
C．1
D．2
解析：∵f(x)＝ 2· sin2x＋cos x.
又( 2· sin2x＋cos x)2≤(2＋1)(sin2x＋cos2x)＝3，
∴f(x)＝ 2 sin2x＋cos x≤ 2＋1sin2x＋cos2x＝ 3， 当且仅当 cos x＝ 33时取等号， ∴f(x)的最大值为 3. 答案：A
4．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 m2＋n2 的最小值为________．
解析：由柯西不等式得，(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2， 所以 5(m2＋n2)≥52，得 m2＋n2≥5，所以 m2＋n2≥ 5.
答案： 5
知识点三 柯西不等式的向量形式的应用
θ2＋sinb
θ2·
1
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2.
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
≥
a1b1·
ab11＋
a2b2·
a22 b2
＝(a1＋a2)2.
a22 b2
2．设mx22＋ny22＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2.
证明：因为mx22＋ny22＝1， 所以 x2＋y2＝(x2＋y2)mx22＋ny22 ≥x·mx ＋y·ny2 ＝(m＋n)2.
a2＋b2· c2＋d2≥__|_a_c_＋__b_d_| _(a，b，c，d∈R)； a2＋b2· c2＋d2≥_|_a_c_|＋__|b_d_|_(a，b，c，d∈R)．
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
二维形式的柯西不等式
造的,但怎样构造要仔细体
会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、
联系,要有一定的认识.
2.柯西不等式取等号的条件
剖析:柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系
来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点
第三讲 柯西不等式与排序
不等式
一 二维形式的柯
西不等式
学习目标：
1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义.
2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.
1.对柯西不等式的理解
剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因
此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一
错等号成立的条件.
题型一
题型二
题型三
正解:构造两组实数 , , , .
∵x,y,a,b∈R+, + = 1,
∴x+y=[( ) +( ) ]·
2
当且仅当 ∶
即 =
2
=
∶
时,等号成立.
∴(x+y)min=( + )2.
,
2
+
2
≥ ( + )2.
(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,
高中数学 第3讲 第1课时 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4
∴ acos2θ＋ bsin2θ＜ c.
利用柯西不等式求最值
【例 2】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值． 【解题探究】 利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个 函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac＋bd 的形式就能用柯 西不等式求其最大值(|ac＋bd|≤ a2＋b2· c2＋d2)．
结束
语 2020-2021学年高中数学 第3讲 第1课时 二维 形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-52020_2021学年高中数学第3讲第1课时二维
形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5
x21＋y21＋ x22＋y22≥____x1_－__x_2_2_＋___y1_－__y_2_2__. 推论：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3 为任意实数，则
x1－x22＋y1－y22
＋
≥____x_1－__x_3_2_＋___y_1－__y_3_2_.
x2－x32＋y2－y32
1．已知 3x＋y＝10，则 x2＋y2 的最小值为( )
复习课件
2020-2021学年高中数学 第3讲 第1课时 二维形式的柯西不等式课件 新人教 A版选修4-5-2020_2021学年高中数学第3讲第1课时二维形式的柯西不等式
课件新人教A版选修4_5
第1课时 二维形式的柯西不等式
1．定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实 数，则：
第 同课学们时，二下课维休息形十式分钟的。睛现柯，在西是休不息时等间式，你课们休件
教 版选修 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
二维形式的柯西不等式 ppt课件
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
16
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1)≥( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
9
变 式 1 ： 若 2 x 3 y 1 , 求 4 x 2 9 y 2 的 最 小 值 .
解 :由 柯 西 不 等 式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y ) 2 1,
14
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式: ⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
7
例1：已知a,b为实数，求证
(a 4 b 4 )a ( 2 b 2 ) (a 3 b 3 )2
二维形式的柯西不等式CP
(a，b，c，d是实数)
（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
证明它，你 还有其他方
2
ab
2
bc
ca
2
1 2 a b
1 2 b c
c
1
a
2
≥
ab
1 ab
bc
1 bc
ca
c
1
a
2
1
1
12
9
222≥ 9 ab bc ca abc
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
2
2
x2
2
x3 L
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
x2
2a b c a b b c c a 这样就给我们利用柯
西不等式提供了条件。证明：
2a
b
c
a
1
b
b
1
c
c
1
a
a
b
二维形式的柯西不等式课件
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2
+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+
2
2
1
2
+
1
2
1
2
1
1
= ,且 2 + 2 =1,即
≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +
高中数学人教A版选修4-5课件：3-1二维形式的柯西不等式
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知识梳理
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典例透析
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.
解: ∵(4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4,
1 2 2 ∴4x +9y ≥ , 2
当且仅当 2× 2x=3y× 2,即 2x=3y 时,等号成立. 又 2x+3y=1,得 x= , ������ = . 故当 x= , ������ = 时,4x2+9y2 的最小值为 .
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1
2
2.柯西不等式取等号的条件 剖析：柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系 来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点 像a,b,c,d成等比数列时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中 |α· β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从 向量的数量积的角度来理解和记忆.
,此
∴|a· b|≤ (-2)2 + 12 + 22 × 6 = 18,
当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立. ∴-18≤a· b≤18. ∴a· b的最小值为-18, 此时b=-2a=(4,-2,-4). 答案：-18 (4,-2,-4)
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典例透析
1
2
3Байду номын сангаас
3.二维形式的三角不等式
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题型一
高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版
当且仅当 b 1－b2 时，上式取等号，
1－a 2
a
所以 ab 1－a2 1－b2 ,
a2b2 (1－a2 )(1－b2 ),
于是a2+b2=1.
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技 巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R,
【解析】1.设 a ( 1 , 1 ),
ab bc
b a b, b c ,
由｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜得：
2 1 1 a bb c,
ab bc
即 1 1 4,
ab bc ac
所以kmax=4.
答案：4
2．设m=(3,4)，n (cos x, 1 sin2x )，则根据柯西不等式的向量
所以｜a b｜ 22 22 6 12 2,
当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立， 所以 12 2 a b 12 2, 所以a·b的最小值为 12 2，
此时 b 3 2a 3 2,3 2 . 2
答案：12 2 (3 2,3 2)
1.对二维柯西不等式的向量形式的理解 (1)柯西不等式的向量形式中，| || | 取等号的条件是 是零向量或者 , 共 所以 a b(1 1) [
2
a
b
2
][(
1
)2 (
1
)2 ]
ab
a
b
( a 1 b 1 )2 22 4.
a
b
当且仅当 a 1 b 1 ,
b
a
即a=b时，等号成立.
即 11 4 .
二维形式的柯西不等式大全
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )
y
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2
证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 ,
2.已知2x2 3 y2 6,求证x 2 y 11.
证明：因为2x2 3 y2 6,
所以 x 2 y
2x2 3y2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
4 3
11.
因此x 2 y 11.
3.已知x,
y, a, b
R ,且
a x
b y
1,
求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
二维形式的柯西不等式CP
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
设f ( x) x , p, q 0,且p q 1,求证： pf ( x1 ) qf ( x2 ) f ( px1 qx2 )
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
x2 x3
x3
L
xn1 xn
xn
xn x1
x1
x1 x2 L xn 2 ,
于是
x12 x2
x22 x3
L
x2 n1 xn
xn2 x1
≥
x1
x2 L
xn
.
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维柯西不等式
二维柯西不等式
二维柯西不等式是数学中一条重要的不等式，它是柯西不等式在二维空间中的推广。
根据二维柯西不等式，对于任意给定的两个函数f(x,y)和g(x,y)，在某个定义域上成立的情况下，有以下不等式关系：
[D] (f(x,y))^2 dA * [D] (g(x,y))^2 dA ≥ ([D] f(x,y)g(x,y) dA)^2
其中，D表示定义域，dA表示面积元素。
该不等式描述了两个函数的平方积与乘积的平方之间的关系。
二维柯西不等式可以用于证明其他数学定理，例如，利用该不等式可以推导出二维傅里叶级数的收敛性。
在实际应用中，二维柯西不等式也常用于证明矩阵的正定性或半正定性等性质。
拓展：柯西不等式是一种广泛应用于数学和物理学中的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式
描述了两个向量之间的内积与它们各自的模的乘积之间的关系。
在n维空间中，柯西不等式可以推广为：
|u, v| ≤ ||u|| ||v||，
其中u和v是n维向量，u, v表示其内积，||u||和||v||分别表示两个向量的模。
柯西不等式的重要性在于它提供了衡量向量之间夹角大小的一种方法。
当两个向量的内积为零时，它们被称为正交向量，此时两个向量互相垂直。
而当两个向量的内积为正时，它们的夹角为锐角；当内积为负时，夹角为钝角。
柯西不等式在函数空间中也有广泛应用，例如在泛函分析中，它用于证明内积空间的完备性与可分性。
此外，柯西不等式也是概率论中的重要工具，用于证明随机变量之间的独立性以及其他概率性质。
二维形式的柯西不等式.最全优质PPT
X+2y=2x(1/2)+3y(2/3)≤6 (5/6)=5
思考:阅读课本第31页探究内容
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x y 的最小值. 运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！
=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2 你能写出这个定理的证明？
2
2
你能简明地写出这个定理的证明？
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P2 ( x2 , y2 )
P2 (x2, y2 )
这个图中有什么
O
| x1 - x2 |
x
不等关系? 你能写出这个定理的证明？
定3 理 (二 维 形 式 的) 三 设 x1角 ,y1,x不 2,y2等 R式
那么 x12y12 x2 2y2 2 (x1x2)2(y1y2)2
证明 : ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1 x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1 x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1 x2
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
(x1y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
X+2y=2x(1/2)+3y(2/3)≤6 (5/6)=5
=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式
数学素材：教材梳理二维形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式
庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式)已知a 1，a 2,b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤（a 12+a 22)2(b 12+b 22)2,当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2，以下不等式成立：22212221b b a a +•+≥|a 1b 1+a 2b 2｜； 22212221b b a a +•+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称（a 1,a 2),(b 1，b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0，那么a 1b 2—a 2b 1=0⇔2211b a b a=。
若b 1·b 2=0，我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0，原不等式化为(a 12+a 22）b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0，b 2=0，原不等式和②的道理一样，自然成立。
正是因为b 1·b 2=0时，不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时，总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a ba=,这种写法在表示一般形式（n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α，β是两个向量，则｜α·β｜≤|α｜｜β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时,等号成立.学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a=(b i 为零时，a i 为零，i=1，2）.定理 3 （二维形式的三角不等式）设x 1，x 2,y 1，y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式:用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1,用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式定理 设a i ，b i ∈R （i=1，2， …，n)，则(∑∑∑===≤ni i ni ini ii b a b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ，b 1,b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤（a 12+a 22+…+a n 2)2（b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2，…，n ）中等号成立的条件是2211b a b a==…=nnb a 。