等差数列与等比数列的证明方法

(充分条件)
a
2 n
an1
an1
（n≥1） {an} 是等比数列，
注:
b ac且(a c 0) 是 a、b、c 等比数列的充分不必要条件
b ac 是 a、b、c 等比数列的必要不充分条件.
b ac且(a c 0) 是 a、b、c 等比数列的充要条件. 任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.
一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手
的情况，这时可从反面去考虑．
六、等差数列与等比数列的一些常规结论
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，
则
（1）数列{an} {an}（ 为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列；
（2）若{bn}是公比为 q 的等比数列，则数列{an bn}是公比为 qq 的等比数列；
②﹣①得：
………① ………②
1 n1 n an1 an2 a1 an2 a1 an1
两边同以 anan1a1 得： a1 (n 1)an1 nan2 ………③
同理： a1 nan (n 1)an1
………④
③—④得： 2nan1 n(an an2 )
即： an2 an1 an1 an
等差数列与等比数列的证明方法
高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何
处理这些题目呢？
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。
一、 定义法
10 .证明数列是等差数列的充要条件的方法：
an1 an d(常数) an是等差数列
（8）若{logb an} 是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列． 若数列{an}是公差为 d 等差数列，
则 （1）{kan b}成等差数列，公差为 kd （其中 k 0，k，b 是实常数）； （2）{S(n1)k Skn}，（ k N，k 为常数），仍成等差数列，其公差为 k 2d ； （3）若{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为 d1，d2 ，则{an bn}是等差数列，公差 为 d1 d2 ； （4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an} 是公差为 lg q 的等差 数列； （5） m，n，p(m，n，p N) 成等差数列时， am，an，ap 成等差数列．
an an1
q
（常数 0 ）；② n N 时，有 an1 q （常数 0 ）．
an
例 1. 设数列 a1, a2, , an , 中的每一项都不为 0。
证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN，都有
11 1 n 。
a1a2 a2a3
anan1 a1an1
证明：先证必要性
设{an}为等差数列，公差为 d，则
a1 1 q2k 1 q
a1q2k 1 qk 1 q
S2k Sk
2
a12q2k 1 qk (1 q)2
2
Sk
(S3k
S2k
)
a1
1 qk 1 q
a1q2k 1 qk 1 q
a12q2k 1 qk (1 q)2
2
∴
S2k Sk
2
= Sk (S3k S2k )
∴ Sk，S2k Sk，S3k S2k 成等比数列.
当 d =0 时，显然命题成立
当 d ≠0 时，
∵
1 anan1
1 d
1 an
1 an1
∴
再证充分性：
∵1 1 1 1 n
a1 a2 a2 a3 a3 a4
an an1 a1 an1
∴ 1 1 1 1 1 n1
a1 a2 a2 a3 a3 a4
an an1 an1 an2 a1 an2
Sn
n(a时，由题设， Sn1
(n 1)(a1 2
an1 ) , Sn
n(a1 an ) 2
所以 an
Sn
S n 1
n(a1 2
a2 )
(n
1)(a1 2
an1 )
同理有
a n 1
(n
1)(a1 2
an1 )
n(a1 2
an
)
从而 an1
an
(n
1)(a1 2
(1).(充要条件)
若 2an1 an an2 an是等差数列
(注：三个数 a,b, c 为等差数列的充要条件是: 2b a c )
(充分条件)
2 an an1 an1( n 2 ) {an} 是等差数列，
（2）.(充要条件)
若
an an 2
a2 n1
(an
0)
{an} 是等比数列
三、通项公式与前 n 项和法 1. 通项公式法
（1）.若数列通项 an 能表示成 an an b （ a，b 为常数）的形式，
则数列 an 是等差数列。(充要条件)
(2).若通项 an 能表示成 an cqn ( c，q 均为不为 0 的常数， n N )的形式，
则数列 an 是等比数列．(充要条件)
an1 )
n(a1
an )
(n
1)(a1 2
an1 )
整理得：an+1－an=an－an－1，对任意 n≥2 成立. 从而{an}是等差数列.
例 3. 已 知 数 列 an 是 等 比 数 列 （ q 1 ）， Sn 是 其 前 n 项 的 和 ， 则
Sk，S2k Sk，S3k S2k ，…，仍成等比数列。
2. 前 n 项和法 (1).若数列an的前 n 项和 Sn 能表示成 Sn an2 bn (a，b 为常数)的形式，
则数列 an 是等差数列；(充要条件)
(2).若 Sn 能表示成 Sn Aqn A ( A，q 均为不等于 0 的常数且 q≠1)的形式，
则数列an是公比不为 1 的等比数列． (充要条件)
（3）数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列；
（4）{an }是公比为 q 的等比数列；
（5）在数列{an}中，每隔 k(k N) 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍
为等比数列且公比为 qk1 ； （6）若 m，n，p(m，n，p N) 成等差数列时， am，an，ap 成等比数列； （7） Sn，S2n Sn，S3n S2n 均不为零时，则 Sn，S2n Sn，S3n S2n 成等比数列；
证明一：
（1）当 q=1 时，结论显然成立；
（2）当 q≠1 时，
Sk
a1
1 qk 1 q
, S2k
a1
1 q2k 1 q
, S3k
a1
1 q3k 1 q
S2k
Sk
a1
1 q2k 1 q
a1 1 qk 1 q
a1qk 1 qk 1 q
S3k
S2k
a1
1 q3k 1 q
an1 an
q(q
0且为常数，a1
0)
an为等比数列
40 .证明数列是等比数列的充要条件的方法：
an an1
q
（n>2， q 为常数且≠0） an为等比数列
注意事项：用定义法时常采用的两个式子 an an1 d 和 an1 an d 有差别，前者
必须加上“ n≥2 ”，否则 n
1时
a0 无意义，等比中一样有：n≥2 时，有
四、归纳—猜想---数学归纳证明法 先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用
数学归纳法给出证明。 这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“ n k 时
命题成立”到“ n k 1时命题成立”要会过渡．
五、反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过
an 为等差数列
例 2. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，试证{an}为等差数列的充要条件是
Sn
n(a1 an ) , 2
(n N *) 。
证： ）若{an}为等差数列，则 a1 an a2 an1 a3 an2 ……，
故
2Sn (a1 an ) (a2 an2 ) ....... (an a1 )
a2n2 a2n d(常数) a2n是等差数列 a3n3 a3n d(常数) a3n是等差数列
20 .证明数列是等差数列的充分条件的方法：
an an1 d(n 2) an是等差数列
an1 an an an1(n 2) an是等差数列
30 .证明数列是等比数列的充要条件的方法：
证明二： S2k － Sk = (a1 a2 a3 a2k ) － (a1 a2 a3 ak ) = ak1 ak2 ak3 a2k = qk (a1 a2 a3 ak ) = qk Sk 0 同理， S3k － S2k = a2k1 a2k2 a2k3 a3k = q2k Sk 0 ∴ Sk，S2k Sk，S3k S2k 成等比数列。 二、中项法