高中数学人教版必修二直线与圆的方程综合复习题(含答案)

高中数学人教版必修二直线与圆的方程综合复习题(含答案)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
直线与圆的方程综合复习（含答案）
一． 选择题
1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3
B 6
C 23
D 56
2.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ）
A 0
B 2
C -8
D 10
3.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2
a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ） A -1或2 B
2
3
C 2
D -1 4.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )
A.[)π，0
B.⎪
⎭
⎫
⎢⎣⎡ππ43,4 C.⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-4,4ππ
D.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡πππ,4
34,0
6.“m=
1
2
”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）
A 充分必要条件
B 充分而不必要条件
C 必要而不充分条件
D 既不充分也不必要条件
7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且
1
l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）
A x+3y-5=0
B x+3y-15=0
C x-3y+5=0
D x-3y+15=0
9. 过坐标原点且与圆2
x +2
y -4x+2y+52
=0相切的直线方程为（ A ）
A y=-3x 或y= 13x
B y=3x 或y= -13x
C y=-3x 或y= -13
x D y=3x 或y=
13
x 10.直线x+y=1与圆2
x +2
y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）
A (02-1,)
B (2-1, 2+1)
C (-2-1, 2-1)
D (0, 2+1) 11.圆2
x +2
y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差
是（ C ）
A 36
B 18
C 62
D 52
12.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2
x +2
y +2x=0 B 2
x +2
y +x=0 C 2
x +2
y -x=0 D 2
x +2
y -2x-0
13.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所
包围的面积等于（ B ）
A B 4 C 8 D 9
14.若直线3x+y+a=0过圆2
x +2
y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为
（ B ）
A 1
B -1
C 3
D -3
15.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则
b
a 11+的最小值是（ C ） A.41
B.2
C.4
D.2
1
16.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+2
4x -有两个不同的交点，则k 的取值范围
是
（ A ）
A.⎥⎦
⎤
⎝⎛43,125
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,125 C.⎥
⎦
⎤ ⎝⎛43,21
D.⎪⎭
⎫
⎝⎛125,
17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）
A 4
B 42
C 8
D 82
18.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c 的一个值为 （ C ） A.2 B.5
C.3
D.3
5
19.若直线b
y a
x +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则
( D ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C.
221
1b
a +≤1
D.
2211b
a +≥1
20.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)
B.(1,0)
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛05
22， D.
⎪⎭
⎫ ⎝⎛522,0 21.直线y=kx+3与圆2
(3)
x
+2
(2)
y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥3则k 的取值范围是（ A ）
A [-3
4
,0] B [-∞,-34
] [0，∞）33
] D [-23
,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，
{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A
B 的元素个数为（
C ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线
0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33
,33(-
B. )33,0()0,33( -
C. ]33
,33[-
D. ),3
3()33,(+∞--∞
答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线
()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3
3
33=
-
=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)3
3
,0()0,33( -
二．填空题
24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为
10)2(22=+-y x ___________。

25.已知直线l ：x-y+4=0与圆C ：（x-1）2+（y-1）2=2，则C 上各点到l 距离
的最小值为 2 .
26.设直线l 经过点A （-1，1），则当点B （2，-1）与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为 3x-2y+5=0
27.圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是( A )
A.⎥⎦⎤
⎝⎛
∞-41，
B.⎥⎦⎤
⎝⎛410，
C.⎪
⎭⎫ ⎝⎛-0,41
D.⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
∞-41,
28.与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于13的直线方程是 2x+3y+18=0,或2x+3y-8=0 。

29（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点)1,0(E 的最长弦和最短弦分别
是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ B ） A ．25
B ．210
C ．152
D ．220
解：圆的方程标准化方程为10)3()1(22=-+-y x ，由圆的性质可知，最长弦长为
102||=AC ，最短弦长BD 以)1,0(E 为中点，设点F 为其圆心，坐标为)3,1(故5||=EF ，
52)5(102||2=-=∴BD ，210||||2
1
=⋅=∴BD AC S ABCD 。

三．解答题
30.已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m 取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1）， 又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，
∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得 |AB|=2
2
2CM r -=.54]）21（）13（[25222=-+--
此时，k t =-
CM
k 1,从而k t =-3
1121
--=2.
∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
31.已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.
解 将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C （1，1），半径r=1,如图，由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =2×2
1×|PA|×
r=
12
-PC .
∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC|最小. 当点P 恰为圆心C 在直线3x+4y+8=0上的正射影时,
|PC|最小,由点到直线的距离公式,得 |PC|min =5
843++=3,
故四边形PACB 面积的最小值为22
.
32（全国课标20）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值.
【解析】（Ⅰ）曲线261,y x x =-+与y 轴交于点(0,1)，与与x 轴交于点
(3+-
因而圆心坐标为),,3(t C 则有22223(1),1t t t +-=+∴=. 半径为3)1(322=-+t ，所以圆方程是9)1()3(22=-+-y x .
（Ⅱ）解法一：设点),(),,(2211y x B y x A 满足22
0,
.(3)(1)9x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩ 解得：012)82(222=+-+-+a a x a x .
0416562>--=∆∴a a
4
41656)28(22
,1a a a x --±-=
2121221
4,2
a a x x a x x -+∴+=-⋅=
12121122,0,,OA OB x x y y y x a y x a ⊥∴+==+=+. 212122()0,x x a x x a ∴+++=
解得1a ∴=-，满足0>，
1a ∴=-
解法二：设经过直线0x y a -+=和圆9)1()3(22=-+-y x 的交点的圆的方程为
0)(12622=+-++-+-a y x y y x x λ，若OA OB ⊥，则以AB 为直径的圆过坐标
原点
设上述圆就是这样的圆，则圆过原点，所以01=+a λ ① 同时，该圆的圆心)2
2
,26(
+-λλ在直线0x y a -+=上，化简得2+=a λ ② 由①②求得1-=a 。

33（上海理23）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l ．
⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；
⑵设l是长为2的线段，求点的集合{|(,)1}
D P d P l
=≤所表示图形的面积；【解析】⑴设(,3)
Q x x-是线段:30(35)
l x y x
--=≤≤上一点，则
||5)
PQ x
==≤≤，
当3
x=
时，
min
(,)||
d P l PQ
==
⑵不妨设(1,0),(1,0)
A B
-为l的两个端点，
则D为线段
1
:1(||1),
l y x
=≤线段
2
:1(||1)
l y x
=-≤，………６分
半圆22
1
:(1)1(1),
C x y x
++=≤-半圆22
2
:(1)1(1)
C x y x
-+=≥
所围成的区域．这是因为对(,),1,
P x y x≤则(,);
d P l y
=而对(
P x
(,)
d P l=对(,),1,
P x y x>
则(,)
d P l=………９分
于是D所表示的图形面积为4π
+．………１０分
34.（12分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
解（1）（x-1)2+(y-2)2=5-m,∴m＜5.
（2）设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），
则x
1
=4-2y
1
，x
2
=4-2y
2
，
则x
1
x
2
=16-8（y
1
+y
2
）+4y
1
y
2
∵OM⊥ON，∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
∴16-8（y
1
+y
2
）+5y
1
y
2
=0
①
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
-
-
+
-
=
4
2
2
4
2
2m
y
x
y
x
y
x
得5y2-16y+m+8=0
∴y
1
+y
2
=
5
16,y
1
y
2
=
5
8m
+,代入①得，m=
5
8.
（3）以MN为直径的圆的方程为
（x-x
1
）(x-x
2
)+(y-y
1
)(y-y
2
)=0
即x 2+y 2-(x 1+x 2)x-(y 1+y 2)y=0 ∴所求圆的方程为x 2+y 2-5
8x-5
16y=0.
35．已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线
l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点． (1)求圆C 的方程；
(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值； (3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．
解：(1)设圆心C (a ，a )，半径为r . 因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)， 所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2. 所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.
(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos 〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠
POQ ，
所以cos ∠POQ ＝－1
2，∠POQ ＝120°，
所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，
又d ＝1
k 2＋1
，所以k ＝0.
(3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，
根据勾股定理，有d 21＋d 2
＝1.
又易知|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，
所以S ＝1
2·|PQ |·|MN |，
即S ＝1
2×2×4－d 2×2×4－d 21＝
216－4(d 21＋d 2)＋d 21·
d 2
＝ 212＋d 21·d 2
≤212＋⎝
⎛⎭
⎪⎫d 2
1＋d 222＝212＋14＝7， 当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.。