求解最值问题的几种思路

求解最值问题的几种思路
最值问题涉及的知识面较广， 解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法， 对发展学生
的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用
.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法
一、禾U 用非负数的性质 在实数范围内，显然有
m 2 + n 2 + P > P ，当且仅当 m = n = 0时，等号成立，即
m^+n^+p 的最小值为 p .
例1形码 设a 、b 为实数，求a2+ab+ b 2
-a-2b 的最小值.
解析 a
2
+ab +b 2 -a-2b =a 2 +(b-1)a + b 2-2b
b-12 3 2 3 1 = (a + -- ) +-b —-b ——
2 4 2 4 b —1 2
3 2
=(a + )+ (b —1) 一1 > -1.
2 4
当a + 口=0山-1 =0,g 卩a=0,b=1时，上式等号成立.
2
2 2
故a +ab +b -a-2b 的最小值为-1. 二、均值代换法
在一些数学问题中，常遇到含有 口 +门=卩型条件的问题，若用m=P + q, n^E-q 来
2 2
代换，往往能获得简捷的妙法
已知x 、y 为实数，且X
2
+ y 2
= 2 ,求J (2 + xy)(2 -xy)的最值.
由2 =x 2
+y 2
3 2xy 得xy 兰1，易得最小值为 43.
=1+ k,y 2 =1-k ,其中一1 <k <1,
/. J (2 + xy)(2 — xy) = .J^x 2y ^ J —^-k 2) = J k 2 +3 ,
2
又 0+ 3<k
2
+3<1 +3 ,
2
即 3 <k 2
+3 <4.
二J (2+xy) (Nxy 的最小值是 J 3，最大值是2.
解析 设x
2
J
三、局部换元法
1
2 2 2
例3若a +b + c =1，求a+b+c的最小值.
解析设a=l-a,b =1-P
3 3
代人上式，得
1
(S 2
+a 2
—2)=(|)2
—(L 2")2
.
则 c = 一 + (a +
P ).
P 2 +(a + P )2
1 >- 3
故a ? +b 2 +c 2
的最小值为 四、积化和差法 完全平方公式（a+b ）
2
=a 2+2ab + b 2
；
2 2 2
(a-b) =a -2ab+b .
将这两个公式的左右两边分别相减，得
2 2
结论 1 4ab = (a+b) —(a —由于（a -b ）
2
>0，故由①又可得如下积化和的完全平方不等式
2
结论2 4ab<（a+b ），当且仅当a =b 时，等号成立.② 结论①、②表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式 独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉
.
•应用上述公式解题，方法
例 4 设 X
2
+ y 2
= a 2
, a 2
<1，求 S J l -X + J -y 2
的最大值.
解把S = J 1 -x 2
+ j 1-y 2
两边平方得
S 2 =2 -(X 2 +y 2) + 2 1-X 2 * 1 %2
-x 2 X J 1 - y 2，
J 1 -X 2
彳 1
由积化和差公式，得
丁1 -X 2
X 一 y 2
=(
J —x 2
+J 1-y 2)2
2
一（
-J —y ' 2
J
1
6 若实数a 、 b
f 满足条 件 a+b + c + d + f =8 和
a 2 +
b 2 +
c 2 +
d 2 + f 2 =16，求 f 的最值.
/. S 2 <4-2a 2
.
QS>0,「. S<j4-2a 2
.
又 x =y
=-a
时,
S =20 号=j4-2a 2
，
注 有时将积化和差公式 4ab =(a + b)2
-(a-b)2
化为如下形式：
/a+b 2 /a+b 2 ab=( )-(
),
2 2
用起来比较方便. 五、配方法
解题时把题中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的 形式;再根据(a±b)2
>0 ,可求出代数式的最小值， 根据-(a±b)
2
<0,可求出代数式的最
大值.
例5求函数y = X 4
+x 2 +1的最值.
解析…
2
)%2—(X 车1)弓
Qx 2
>0,
/. x
2
的最小值是0, x 最小也是0.
当X = 0时，y 的最小值为：
增加辅助量
(0
+ 丄)2 +3
=1.
2 4
本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求
b 1
y 的最值，那就错了 .事实上，当
—=-一时，y 取得极小值，这是不可能的。

一般情况下, 2a 2
一定限制，不能轻易套用极值公式， 答案.
而应先通过配方，再求极值, 如果自变量取值范围有 这样做才不会得出错误的
解 Q a + b + c + d + f8,
”a +b +c +d =8 — f .
设 a=1 +a , b-U + P ，
4
4
则 a + P+ Y+ 右=0 , 而 a 2
+b
2
+c 2
+d 2
=4(——)2
+2(a + P + Y + 6)
4
J8-f)2
-4
.•.16-f 2
>(8-f)，即 5f 2
_16f <0.
0 兰 f <16
•
5
七、数形结合法
例 7 已知 a 、b 都是小于 1 的正数，求 J a 2
+b 2 + J a 2+(1-b)2 +J (1-a)2+(1-b)2
+J (1-a)2+b 2
的最小值.
解 对形如J a
2
+b 2的问题，不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件，构造相
应的几何图形，并根据图形中边与边之间的关系解决问题
.
如图1，构造边长为1的正方形ABCD ，P 是正方形内一点，它到 AB 、BC 的距离 分别为a 、
b ，即PG =a ，PH :X J 1+J + P 2
+俨+寸 4 故f 的最大值为 —，最小值为0 .
5
BP =厶2 +b 2
PD
= J (1-a)2
+(1-b)2
AP =J a 2 +(1-b)2
C
=b
，则由勾股定理，易得
P C = J(1-a)2+b2
AC =BD =72.
QAP +PC >AC , PB+PD >BD , 则AP +PB +PC +PD >2AC, /. J a2+b2 +J a2 + (1-b)2 +J(1-a)2 +(1-b)2 + J(1—a)2+b2x2迈即所求最小值2j2.
八、构造一元二次方程
2 2
例8若2x +3xy+2y =1，求x+y+xy的最小值.
2 2
解将2x +3xy+2y =1配方，得
2
2(x + y) =1+xy
设k=x + y+xy
贝y 1 +xy =k -(X +y) +1
•••方程①可构造为以x + y为主元的一元二次方程：
2(x + y)2 +(x + y)-k -1 =0
Qx+y 是实数，.• .V>0
2
即1 -4x2x(-k-1) >0
9 即X + y + xy的最小值一
8
点评此题巧妙运用了构造方程的思想，并利用一元二次方程根的判别式求得值.
九、构造函数
由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，
常利用构造函数法使问题得到解决.
例9求代数式:X & -X2的最值.
解设Q =xJ1-x2(-1 <x<1),
兀兀
再令X =sin a，——< x < —则有
2 2 k的最
因此解决最值问题离不开函数，我们
Q = x j1-x2 =s in a J1 -sin2a
1
=sin ax cos a= sin 2a
2
Q —1 <sin 2a <1
1
/. Q 最小值为-一，最大值为
2
十、零点分段讨论法
y = —X 2 -2x+1 = —(x +1)2 +2
当0 <x <5时,
y / -2x +1 =(x-1)2
故当X =5时，函数y 有最大值16. 对于最值问题，还有更多的方法
（如消元法、共轭配对法、数形结合法、和差代换法、
判别式法、参数法、等式变形法、待定系数法、平均值不等式法等
），这里不再赘述.
例10当x +1 <6时，求函数 y = x X —2x+1的最大值.
分析先由条件X +1
<6，求出X 的取值范围，再用“零点分段讨论法”去掉函数
的绝对值符号，然后求出 最大值.
y 在各个区段上的最大值并加以比较， 从中确定出在取值范围内的 由 x + 1 <66， •••当 —7 <x <0时,。