2020年新高一数学一对一辅导讲义：1.2-3集合间的基本关系及运算

1.2-3集合间的基本关系及运算

【知识梳理1】

一、集合间的基本关系： 1、包含关系 （1）包含关系

一般地，对于两个集合A 与B ，若集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集合A 。

记作A B ⊆（或B A ⊆）也说集合A 是集合B 的子集 例1 判断下列集合的关系

(1) _____N Z ; (2)_____N Q ; (3)_____;R Z (4){

}2

(1)0A x x =-= {

}

2

320B y y y =-+= (5) {}1,1A =- {}

2

10B x x =-=

练习1：判断下列两个集合之间的关系 （1）{}1,2,4,{|8}

A B x x ==是的约数

（2）{}|3,,{|6,}A x x k k N B x x m m N ==∈==∈

（3）{}|410,{|20,}A x x B x x n n N +

===∈是与的最小公倍数

（4）{}|05,{|15}A x x B x x =<<=-<<

（5）{}{}(,)|0,(,)|0,0A x y xy B x y x y =>=>>

（2）真子集

一般地，对于两个集合A 与B ，若集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，我们就说集合A 是集合B 的真子集．记作

例2 已知集合{1,3,5}A =，求集合A 的所有子集个数，真子集个数，非空真子集个数。

练习2：集合{x ∈z||x|＜3|}的子集的个数是 ,真子集的个数是 ,非空子集的个数是 ,非空真子集的个数是 。

2、相等关系

①A ={1,3,2,4,5},B ={1,2,3,4,5} ②A=｛x ｜x ²－3x ＋2＝0｝， B=｛1，2｝

一般地,对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 的元素，则称集合A 等于集合B ，记作A =B 。

若A B ⊆且B A ⊆，则A ＝B ；反之，亦然。 注意：

（1）集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时， 记作：A B ⊄ （2）规定：空集是任何集合的子集即对任何集合A ，都有A ∅⊆ ， 空集是任何非空集合的真子集。 （3）对任何集合A ，都有A A ⊆

（4）对于集合A ，B ，C ，若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆（传递性）

【典例剖析1】

一、会判断集合间的关系

例3 设集合,,则( ).

A ．

B ．

C ．

D ．

练习3：用集合关系符号填空：{x|x=2k+1, k ∈Z}___{x|x=2k －1, k ∈Z}。 二、会利用集合关系求解参数（集合中为方程） 例4 设集合

{}222|40,,{|2(1)10,}

A x x x x R

B x x a x a x R =+=∈=+++-=∈，若

B A ⊆,求实数a 的取值范围

},412|{Z k k x x M ∈+=

=},21

4|{Z k k x x N ∈+==N M =N M ⊂N M ⊃∅=N M

练习4：设

{}2|7120,{|10}

A x x x

B x ax =-+==-=，若B A ⊆，求实数a 组成的集合，

并写出它的所有非空真子集。

三、会利用集合关系求解参数（集合中为不等式）

例5 已知集合{|25},{|121}A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若 B ÍA ，求实数 m 的取值范围。

练习5：已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =≤≤=≤，是否存在实数a ，使得A B ⊆?求实数a 的取值范围。

四、子集公式的运用，求解集合元素或参数

例6 已知集合

A ={x |ax 2+2x +a =0,a ÎR }，若集合 A 中有且仅有2个子集，则 a 的

取值范围是___________。

练习6：若集合2{|10,}A x ax ax a R =++=∈若集合 A 中有且仅有2个子集，则 a 的取值范围是___________。 【知识梳理2】

一、交集

1.一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集(intersection).

记作:A ∩B 读作:“A 交B ”,即:A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B}. 2.交集的性质: A B____B A A B ____A A B ____B A ∅____∅

3.若A ∩B ＝A ,则A ⊆B ,反之,若A ⊆B ,则A ∩B ＝A ．即A ⊆B ⇔_________.

⋂⋂⋂⋂⋂

二、并集

1.一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集(Union).

记作:A ∪B 读作:“A 并B ”,即: A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B}. 2.并集的性质: A B ⋃___B A ⋃

A ___ A

B ⋃ B ___A B ⋃

A ⋃∅___A

3.若A ∪B ＝B ,则A ⊆B ,反之,若A ⊆B ,则A ∪B ＝B ．即A ⊆B ⇔________. 三、补集

1.全集:如果一个集合包含我们所要研究的各个集合,这时可以将之看作一个全集,通常记作U.

2.补集:对于全集U 的一个子集A,由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集,简称为A 的补集.记作u C A , 即:u C A =__________.

3.补集的性质

(C U A)∪A=______ (C U A)∩A=______ Cu (A ∪B )= ______ Cu (A∩B )= ______ 【典例剖析2】

一、会用定义求交集

例1 已知集合A,B ，求A ∩B

（1）A={2,4,6,8}，B={3,5,6,7,8,9} ； （2）A={x|x ＞-2}，B={ x|x ≥1} （3）A={x|x ≥-2}，B={ x|x ＜1}； （4）A={x|x ＜-2}，B={ x|x ＞1}

练习1：（1）

A ={0,1,2,5,8},

B ={2,6,5,8}，求A B （2）{1,0,1,2},{|(2)0}A B x x x =-=-=，求A B 。

（3）{0,1,2,3,4},{2,3,4,5}A B ==，求A B 。

二、利用数轴求不等式型的交集

例2 若集合{|21},{|02}A x x B x x =-<<=<<，则集合A B =（ ）

A. {|11}x x -<<

B. {|21}x x -<<

C.{|22}x x -<<

D.{|01}x x <<