不定积分分部积分法

dx x2 a2
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3.1 不定积分的换元积分法
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln x2 a2 x
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x2 a2 x C1
x2 a2 dx x
2 类似地可得：
x2 a2 a2 ln 2
x2 a2 x C.
解： ln xdx x ln x xd(ln x) x ln x dx
x ln x x C.
（2） arcsin xdx ；
解： arcsin xdx x arcsin x xd(arcsin x)
1 d(1 x2 )
x arcsin x 2 1 x2 x arcsin x 1 x2 C
x2 cos x 2 x cos xdx ——微出来； x2 cos x 2 xd(sin x)
x2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
x2 cos x 2x sin x 2cos x C. ——算积分。
此例的特点在于需要连续用两次分部 积分公式，关键
在于降幂。
。
9
3.1 不定积分的换元积分法
例 7．求 x2 a2 dx (a 0) 。
解 : x2 a2 dx x x2 a2 xd( x2 a2 )
x x2 a2
x2 dx
x2 a2
x
x2 a2
x2 a2 a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 xnaxdx, xn sin xdx, xn arctan xdx, ex cos xdx 等。
2
3.1 不定积分的换元积分法
例 1.求 xexdx 。
解： xexdx
x d ex
第一步：凑微分，选 u, v ；
3.1 不定积分的换元积分法
例 6．求 cos(ln x)dx
解： cos(ln x)dx x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x
cos(ln
x)
x
sin(ln
x)
1 x
dx
x cos(ln x) sin(ln x)dx
x cos(ln x) x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
Pn ( x)
arcsin
x
dx
，取 u
arcsin
x
，dv
Pn ( x)dx
；
arctan x
arctan x
（3）
e ax
sin bx cos bx
dx
，取
u
sin bx
cos
bx
，
dv
eaxdx
（或
u
e axΒιβλιοθήκη ，dvsin bx cos bx
）。
其中
Pn ( x)
为多项式。
有时在 f ( x)dx 中，可选取 u f ( x) ，dv dx 。 8
uv
x e x e xd x
第二步：代公式；
uv u v
xe x e x C.
第三步：算积分。
分部积分的关键是正确选取 u 和 dv ，其选取原则是：
（1）v 要容易求出 ； （2） vdu 要比 udv 容易积出。 3
3.1 不定积分的换元积分法
例 2．求下列不定积分
（1） ln xdx
ex sin xdx 1 ex (sin x cos x) C.
2
7
3.1 不定积分的换元积分法
小结：以下类型的不定积分常可用分部积分
sin ax
sin ax
（1）
Pn
(
x
)
cos
ax
dx
，取 u
Pn ( x)
， dv
cos
ax
dx
；
eax
eax
ln x
ln x
（2）
4.1 不定积分的分部积分法
数学系 贺 丹
3.1 不定积分的换元积分法
一、分部积分公式
设函数 u u( x), v v( x) 有连续导数，则
d[uv] vdu udv, udv d[uv] vdu,
udv d[uv] vdu uv vdu 即 udv uv vdu 。
x
cos(ln
x)
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x cos(ln x) x sin(ln x) cos(ln x)dx
2 cos(ln x)dx x cos(ln x) x sin(ln x) C1,
∴
cos(ln
x)dx
1 2
x[cos(ln
x)
sin(ln
x)]
C
以上两例的特点在于设法使第二个被积函数中，不含
反三角函数或对数函数等超越函数。
4
3.1 不定积分的换元积分法
例 3．求 x2 sin xdx 。
分部积分的步骤：
解： x2 sin xdx x2d(cos x) ——凑微分，选 u, v ；
[x2 cos x cos xd( x2 )] ——代分部积分公式；
1 x2 arctan x 1
2
2
(1
1
1 x
2
)dx
1 x2 arctan x 1 ( x arctan x) C.
2
2
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3.1 不定积分的换元积分法
例 5．求 e x sin xdx
也可以选择
u ex, dv sin xdx
解： ex sin xdx sin xd(ex ) ex sin x exd(sin x)
这题属e“x s转in轱x 辘型ex”co，s x即d从x 一 e个x s积in分x式 出c发os，xd经(e过x ) 分 ex sin x [ex cos x exd(cos x)
部积分 e后x s又in回x到 e了x c原os积x 分 ，ex但si系n x数dx不同，这时可以
移项2，e像x s解in方xd程x那 样ex解si出n x所求e的x c积os分x 。 C1
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3.1 不定积分的换元积分法
例 4．求 x arctan xdx 。
解：
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x2
)
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
2
2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
2
2
1 x2 1 1 x2 dx
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x2 a2 x C .
2
2
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